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7.2.3　三角函数的诱导公式
第1课时　三角函数的诱导公式(一～四)
学习任务 核心素养
1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点) 2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点) 1．通过公式运算，培养数学运算素养． 2．借助公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养．
结合单位圆，思考：与角α终边相同的角的表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？与角α的终边关于x轴对称的角表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？
知识点1　诱导公式(一)
终边相同的角的诱导公式(公式一)：
sin (α＋2kπ)＝________(k∈Z)；
cos (α＋2kπ)＝________(k∈Z)；
tan (α＋2kπ)＝________(k∈Z)．
1．终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．sin ＝________．
知识点2　诱导公式(二)
终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：
sin (－α)＝__________；
cos (－α)＝________；
tan (－α)＝__________．
2．角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．tan ＝________．
知识点3　诱导公式(三)
终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)：
sin (π－α)＝________；
cos (π－α)＝__________；
tan (π－α)＝__________．
3．π－α与α的终边什么关系？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3．cos ＝________．
知识点4　诱导公式(四)
终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)：
sin (π＋α)＝__________；
cos (π＋α)＝__________；
tan (π＋α)＝________．
4．π＋α与α的终边有什么关系？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4．cos ＝________．
类型1　给角求值
【例1】【链接教材P189例9】
求下列各三角函数式的值：
(1)sin (－660°)；(2)cos ；
(3)2cos 660°＋sin 630°；(4)tan ·sin ．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　利用诱导公式求任意角的三角函数值
[跟进训练]
1．求下列各三角函数式的值．
(1)sin 1 320°；(2)cos ；(3)tan (－945°)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　化简求值
【例2】化简下列各式．
(1)；
(2)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝．
[跟进训练]
2．化简：(1)；
(2)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　给值求值问题
【例3】求值．
(1)已知sin ＝－，求sin 的值；
(2)已知cos ＝，求cos 的值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件)本例(1)条件变为“已知sin ＝”，求sin 的值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变结论)本例(2)已知条件不变，求cos 的值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　解决给值求值问题的技巧
(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．
(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
[跟进训练]
3．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．－
4．已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．sin 的值为(　　)
A．－　　 B．　　 C．－　　 D．
2．已知sin (θ＋π)<0，cos (θ－π)>0，则角θ的终边落在(　　)
A．第一象限　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°＝______．
4．已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值为________．
5．若sin (π＋α)＝－，则sin (4π－α)的值是______．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．诱导公式中角α只能是锐角吗？
2．诱导公式一～四改变函数的名称吗？作用分别是什么？
1 / 67.2.3　三角函数的诱导公式
第1课时　三角函数的诱导公式(一～四)
学习任务 核心素养
1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点) 2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点) 1．通过公式运算，培养数学运算素养． 2．借助公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养．
结合单位圆，思考：与角α终边相同的角的表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？与角α的终边关于x轴对称的角表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？
知识点1　诱导公式(一)
终边相同的角的诱导公式(公式一)：
sin (α＋2kπ)＝sin α(k∈Z)；
cos (α＋2kπ)＝cos α(k∈Z)；
tan (α＋2kπ)＝tan α(k∈Z)．
1．终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？
[提示]　相等．
1．sin ＝________．
　[＝sin ＝sin ．]
知识点2　诱导公式(二)
终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：
sin (－α)＝－sin α；
cos (－α)＝cos α；
tan (－α)＝－tan α．
2．角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？
[提示]　关于x轴对称．
2．tan ＝________．
1　[＝－tan ＝－tan ＝＝tan ＝1．]
知识点3　诱导公式(三)
终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)：
sin (π－α)＝sin α；
cos (π－α)＝－cos α；
tan (π－α)＝－tan α．
3．π－α与α的终边什么关系？
[提示]　关于y轴对称．
3．cos ＝________．
－　[＝cos ＝－cos ．]
知识点4　诱导公式(四)
终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)：
sin (π＋α)＝－sin α；
cos (π＋α)＝－cos α；
tan (π＋α)＝tan α．
4．π＋α与α的终边有什么关系？
[提示]　终边在同一条直线上，且关于原点对称．
4．cos ＝________．
－　[＝cos ＝－cos ．]
类型1　给角求值
【例1】【链接教材P189例9】
求下列各三角函数式的值：
(1)sin (－660°)；(2)cos ；
(3)2cos 660°＋sin 630°；(4)tan ·sin ．
[解]　(1)因为－660°＝－2×360°＋60°，
所以sin (－660°)＝sin 60°＝．
(2)因为＝6π＋，
所以cos ＝cos ＝cos ＝－cos ．
(3)原式＝2cos (720°－60°)＋sin (720°－90°)
＝2cos 60°－sin 90°＝2×－1＝0．
(4)tan ·sin
＝tan ·sin
＝tan ·sin ．
【教材原题·P189例9】
例9求值：
(1)sin ；(2)cos ；
(3)tan (－1 560°)．
解：(1)sin ＝sin ＝－sin ．
(2)cos ＝cos ＝cos ＝cos
＝－cos ．
(3)tan (－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan (4×360°＋120°)
＝－tan 120°＝－tan (180°－60°)
＝tan 60°＝．
　利用诱导公式求任意角的三角函数值
[跟进训练]
1．求下列各三角函数式的值．
(1)sin 1 320°；(2)cos ；(3)tan (－945°)．
[解]　(1)sin 1 320°＝sin (4×360°－120°)
＝sin (－120°)＝－sin (180°－60°)
＝－sin 60°＝－．
(2)cos ＝cos ＝cos
＝－cos ．
(3)tan (－945°)＝－tan 945°
＝－tan (225°＋2×360°)＝－tan 225°
＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1．
类型2　化简求值
【例2】化简下列各式．
(1)；
(2)．
[解]　(1)原式＝＝1．
(2)原式＝
＝．
　三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝．
[跟进训练]
2．化简：(1)；
(2)．
[解]　(1)＝1．
(2)原式＝
＝＝－1．
类型3　给值求值问题
【例3】求值．
(1)已知sin ＝－，求sin 的值；
(2)已知cos ＝，求cos 的值．
[解]　(1)∵＝2π，
∴sin ＝sin ＝sin ＝－.
(2)∵＝π，
∴cos ＝cos
＝－cos ＝－.
[母题探究]
1．(变条件)本例(1)条件变为“已知sin ＝”，求sin 的值．
[解]　∵＝6π，
∴sin ＝sin
＝sin ＝.
2．(变结论)本例(2)已知条件不变，求cos 的值．
[解]　∵＝－π，
∴cos
＝cos
＝cos
＝－cos ＝－.
　解决给值求值问题的技巧
(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．
(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
[跟进训练]
3．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．－
A　[∵sin (α－360°)－cos (180°－α)＝sin α＋cos α＝m，
∴sin (180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝＝.故选A.]
4．已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
[解]　∵cos (α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin (α－75°)＝－
＝－
＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝.
1．sin 的值为(　　)
A．－　　 B．　　 C．－　　 D．
A　[sin ＝－sin ＝－.]
2．已知sin (θ＋π)<0，cos (θ－π)>0，则角θ的终边落在(　　)
A．第一象限　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B　[由sin (θ＋π)＝－sin θ<0 sin θ>0，cos (θ－π)＝－cos θ>0 cos θ<0，由可知θ是第二象限角．]
3．sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°＝______．
4　[原式＝sin (2×360°＋90°)＋tan (2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos (0°＋360°)＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 0°＝4.]
4．已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值为________．
　[∵sin (π＋α)＝，∴sin α＝－，
又α是第四象限角，
∴cos α＝＝＝，
∴cos(α－2π)＝cos α＝.]
5．若sin (π＋α)＝－，则sin (4π－α)的值是______．
－　[由题知，sin α＝，所以sin (4π－α)＝sin [2π＋(2π－α)]＝sin (2π－α)＝－sin α＝－.]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．诱导公式中角α只能是锐角吗？
[提示]　诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠π＋，∈Z.
2．诱导公式一～四改变函数的名称吗？作用分别是什么？
[提示]　诱导公式一～四不改变函数名称．
各诱导公式的作用分别为：
诱导公式 作用
公式一 将角转化为0～2π之间的角求值
公式二 将负角转化为正角求值
公式三 将角转化为0～之间的角求值
公式四 将角转化为0～之间的角求值
课时分层作业(三十三)　三角函数的诱导公式(一～四)
一、选择题
1．sin 600°＋tan 240°的值是(　　)
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
D　[sin 600°＋tan 240°＝sin (360°＋180°＋60°)＋tan (180°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝－＝.]
2．已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan (π＋α)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
A　[因为α为第二象限角，
所以cos α＝－＝－，
所以tan (π＋α)＝tan α＝＝－.]
3．已知sin ＝，则sin ＝(　　)
A． B．－ C． D．－
C　[sin ＝sin
＝sin ＝.]
4．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
B　[由题意得tan 600°＝－，又因为tan 600°＝tan (360°＋240°)＝tan 240°＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝，
所以－＝，所以a＝－.]
5．(多选题)现有下列三角函数式，其中值与sin 的值相同的是(　　)
A．sin (n∈Z)
B．sin (n∈Z)
C．sin (n∈Z)
D．sin (n∈Z)
BD　[对于A，sin ＝
对于B，sin ＝sin ＝(n∈Z)，
对于C，sin ＝sin ＝(n∈Z)，
对于D，sin ＝sin ＝(n∈Z)．
又sin ＝，故BD中式子的值与sin 的值相同．]
二、填空题
6．＝________．
sin 2－cos 2　[
＝＝|sin 2－cos 2|，
∵<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0，
∴原式＝sin 2－cos 2．]
7．已知cos (508°－α)＝，则cos (212°＋α)＝________．
　[由于cos (508°－α)＝cos (360°＋148°－α)＝cos (148°－α)＝，
所以cos (212°＋α)＝cos (360°＋α－148°)＝cos (α－148°)＝cos (148°－α)＝．]
8．已知sin (α＋π)＝，且sin αcos α<0，则tan α＝________，＝________．
－　－　[因为sin (α＋π)＝－sin α＝且sin αcos α<0，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，
所以．]
三、解答题
9．若cos (α－π)＝－，
求的值．
[解]　原式＝
＝－tan α．
∵cos (α－π)＝cos (π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，
cos α＝，sin α＝，
∴tanα＝，∴原式＝－．
当α为第四象限角时，
cos α＝，sin α＝－，
∴tanα＝，∴原式＝．
综上，原式＝±．
10．已知，求[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos (π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
[解]　由，
得tan θ＝2＋2，
所以tan θ＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos (π－θ)＋2sin2(θ－π)]·
＝(cos2θ＋sinθcos θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan θ＋2tan2θ
＝1＋．
11．(多选题)在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是(　　)
A．sin(A＋B)＋sin C
B．cos (A＋B)＋cos C
C．sin (2A＋2B)＋sin 2C
D．cos (2A＋2B)＋cos 2C
BC　[A中，sin (A＋B)＋sin C＝2sin C，
B中，cos (A＋B)＋cos C＝cos (π－C)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0，
C中，sin (2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(A＋B)]＋sin 2C＝sin [2(π－C)]＋sin 2C＝sin (2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0，
D中，cos (2A＋2B)＋cos 2C＝cos [2(A＋B)]＋cos 2C＝cos [2(π－C)]＋cos 2C＝cos (2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C．]
12．已知函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)
A．－1 B．
C．－ D．1
D　[函数的定义域为{x|x≠－1且x≠a}．
因为f(x)＝为奇函数，所以定义域关于原点对称，则a＝1，
所以f(x)＝，
因为f(－x)＝＝－f(x)，满足f(x)为奇函数，所以a＝1．]
13．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝________．
－1　[∵cos (π－θ)＝－cos θ，∴cos θ＋cos (π－θ)＝0，
即cos 1°＋cos 179°＝cos 2°＋cos 178°＝…＝cos 90°＝0．
∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos 180°＝－1．]
14．已知α∈(0，π)，若cos (－α)－sin (－α)＝－，则sin αcos α＝________，tan α＝________．
－　－　[∵cos (－α)－sin (－α)＝cos α＋sin α＝，①
∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－<0，∴sin αcos α＝－．
又∵sin α>0，
∴cos α<0，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝，②
由①②得sin α＝，cos α＝－，
∴tan α＝－．]
15．已知f(α)＝．
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解]　(1)f(α)＝＝－cos α．
(2)∵sin (α－π)＝－sin α＝，
∴sin α＝－．
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，∴f(α)＝．
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f＝－cos ＝－cos ＝－cos ．
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