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7.3　三角函数的图象和性质
7.3.1　三角函数的周期性
学习任务 核心素养
1．理解周期函数的定义．(难点) 2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点) 3．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)以及y＝A tan (ωx＋φ)的周期．(重点) 通过学习本节内容，提升数学运算和逻辑推理核心素养．
观察下列图象，这些图象具有怎样的共同规律？
知识点1　周期函数的定义
(1)设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个____________T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且___________________，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．
(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个____________，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期)
(3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，___________________都是它们的周期，它们的最小正周期都是____．
1．单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．
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2．所有的周期函数都有最小正周期吗？
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1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)周期函数都一定有最小正周期． (　　)
(2)周期函数的周期只有唯一一个． (　　)
(3)周期函数的周期可以有无数多个． (　　)
知识点2　正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
一般地，函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为__．函数y＝A tan (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为__．
3.6π是函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？
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2．函数y＝sin 的最小正周期是________．
类型1　求三角函数的周期
【例1】求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝2sin ；
(2)f(x)＝2tan ；
(3)y＝|sin x|；
(4)f(x)＝－2cos (a≠0)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　利用公式求y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝．
[跟进训练]
1．求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝－2cos ；
(2)f(x)＝tan ；
(3)f(x)＝|cos x|；
(4)f(x)＝3sin ．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　周期性的应用
【例2】【链接教材P195例1】
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
(变结论)本例条件不变，求f的值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　函数的周期性与其他性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解．
[跟进训练]
2．若函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝6，则f(1)＋f(6)＝________．
1．函数y＝3sin 的最小正周期为(　　)
A． B．
C．π　　　　 D．2π
2．函数f(x)＝tan 的最小正周期为(　　)
A．2π B．4π
C． D．π
3．(教材P196练习T3改编)若函数y＝cos (ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________．
4．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________．
5．若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，则f的值为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．求三角函数周期的方法是什么？
2．若函数f(x＋a)＝(a≠0)，则函数的周期是多少？
1 / 57.3　三角函数的图象和性质
7.3.1　三角函数的周期性
学习任务 核心素养
1．理解周期函数的定义．(难点) 2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点) 3．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)以及y＝A tan (ωx＋φ)的周期．(重点) 通过学习本节内容，提升数学运算和逻辑推理核心素养．
观察下列图象，这些图象具有怎样的共同规律？
知识点1　周期函数的定义
(1)设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．
(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期)
(3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π．
1．单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．
[提示]　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin (2π＋x)＝sin x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．
2．所有的周期函数都有最小正周期吗？
[提示]　并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)周期函数都一定有最小正周期． (　　)
(2)周期函数的周期只有唯一一个． (　　)
(3)周期函数的周期可以有无数多个． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
知识点2　正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
一般地，函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为．函数y＝A tan (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为．
3.6π是函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？
[提示]　是．
2．函数y＝sin 的最小正周期是________．
2　[T＝＝2．]
类型1　求三角函数的周期
【例1】求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝2sin ；
(2)f(x)＝2tan ；
(3)y＝|sin x|；
(4)f(x)＝－2cos (a≠0)．
[解]　(1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π．
(2)T＝＝，∴最小正周期为．
(3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π．
验证：∵|sin (x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，
∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的最小正周期是π．
(4)T＝＝，∴最小正周期为．
　利用公式求y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝．
[跟进训练]
1．求下列函数的最小正周期．
(1)f(x)＝－2cos ；
(2)f(x)＝tan ；
(3)f(x)＝|cos x|；
(4)f(x)＝3sin ．
[解]　(1)T＝＝，∴函数f(x)＝－2cos 的最小正周期为．
(2)T＝，∴函数f(x)＝tan 的最小正周期为．
(3)T＝π，∴f(x)＝|cos x|的最小正周期为π．
(4)T＝＝8π，∴f(x)＝3sin 的最小正周期为8π．
类型2　周期性的应用
【例2】【链接教材P195例1】
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
[解]　∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f．
又∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin ＝，∴f＝．
[母题探究]
(变结论)本例条件不变，求f的值．
[解]　∵f(x)的最小正周期为π，
∴f＝f＝f，
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin ＝．
∴f＝．
【教材原题·P195例1】
例1已知作周期性运动的钟摆的高度h(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图7-3-1所示．
(1)求该函数的周期；
(2)求t＝10 s时钟摆的高度．
解：(1)由图象可知，该函数的周期为1.5 s．
(2)设h＝f(t)，由函数f(t)的周期为1.5 s，可知
f(10)＝f(1＋6×1.5)＝f(1)＝20．
所以t＝10 s时钟摆的高度为20 mm．
　函数的周期性与其他性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解．
[跟进训练]
2．若函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝6，则f(1)＋f(6)＝________．
－6　[因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝6，则f(1)＝－6．
因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，
所以f(2)＝f(－2)，f(－2)＝－f(2)，
所以f(2)＝f(－2)＝0，
所以f(6)＝f(2)＝0，即f(1)＋f(6)＝－6．]
1．函数y＝3sin 的最小正周期为(　　)
A． B．
C．π　　　　 D．2π
C　[T＝＝π．]
2．函数f(x)＝tan 的最小正周期为(　　)
A．2π B．4π
C． D．π
A　[T＝＝2π．]
3．(教材P196练习T3改编)若函数y＝cos (ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________．
2　[T＝＝π，ω＝±2．∵ω＞0，∴ω＝2．]
4．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________．
2　[f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2．]
5．若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，则f的值为________．
－1　[∵f(x)是以为周期的奇函数，
∴f＝－f＝－f＝－f
＝f＝f＝－f，
又∵f＝1，∴f＝－f＝－1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．求三角函数周期的方法是什么？
[提示]　(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，T＝．
(3)观察法，观察函数的图象．
2．若函数f(x＋a)＝(a≠0)，则函数的周期是多少？
[提示]　∵f((x＋a)＋a)＝＝f(x)，
∴f(x＋2a)＝f(x)．
∴函数的周期为2a．
课时分层作业(三十五)　三角函数的周期性
一、选择题
1．(多选题)下列函数中，周期为的是(　　)
A．y＝sin 2x B．y＝cos 4x
C．y＝tan 2x D．y＝|sin 2x|
BCD　[A中周期为T＝＝π，B，C，D周期均为．]
2．已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为2，则f的值为(　　)
A． B．
C．－ D．－
D　[函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为2，则＝2，解得ω＝π．
所以f＝sin ＝sin ＝－sin ＝－．]
3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
B　[∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1．]
4．函数y＝sin 的周期不大于4，则正整数k的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
C　[由T＝得T＝＝．
∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，
∴正整数k的最小值为4．]
5．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin x；当x∈时，f(x)＝cos x，则f＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
A　[∵T＝π，x∈时，f(x)＝cos x，
∴f＝f＝f＝cos
＝cos ＝－cos ＝－．]
二、填空题
6．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式________．
f(x)＝tan x(答案不唯一)　[f(x)＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域为R，是奇函数，也是周期函数，周期T＝π，符合题意．]
7．若f(x)＝2sin (ω>0)的最小正周期为，则g(x)＝tan (ω>0)的最小正周期为________．
　[由正弦型函数的周期公式可得＝，解得ω＝8．
所以g(x)的最小正周期为＝．]
8．若函数f(x)＝2cos 的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则正整数ω的最大值是________．
6　[T＝，又T∈(1，3)，∴1<<3，又ω∈N*，则ω＝3，4，5，6，∴ω的最大值为6．]
三、解答题
9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．
(1)求f(4)的值；
(2)若－2＜x≤－1时，f(x)＝sin ＋1，求2＜x≤3时，f(x)的解析式．
[解]　(1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0．
(2)设2＜x≤3，则－2＜－4＋x≤－1，
∴f(－4＋x)＝sin ＋1＝sin ＋1，
∴f(x)＝f(－4＋x)＝sin ＋1．
10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11 s时，单摆中小球相对于静止位置的位移是多少？
[解]　(1)从题图可以看出，单摆运动的周期是0.4 s．
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm．
11．(多选题)下列是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的是(　　)
A　　　　　　　　 　　B
C　　　　　　　　 　　D
ABC　[根据周期函数图象特征可知A，B，C都是周期函数，D不是周期函数．]
12．已知函数f(x)＝sin ，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝(　　)
A．1 B．－1
C． － D．
D　[f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin ＋sin ＋sin π＋sin ＋sin ＋sin 2π＝0．
原式＝337[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝．故选D．]
13．设函数f(x)＝3sin ，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sin α的值为________．
±　[∵f(x)的最小正周期为，ω>0，
∴ω＝＝4．
∴f(x)＝3sin ．
由f＝3sin ＝3cos α＝，
∴cos α＝．∴sin α＝±＝±．]
14．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且x∈时，f(x)＝sinx，则f＝________，方程f(x)＝0的解集为________．
－　[定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，最小正周期是π，
且x∈时f(x)＝sin x，
故x∈时，f(x)＝sin x．
则f＝f＝f＝－f＝－sin ＝－．
∵f＝f＝f＝－f，
∴f＝0，
∴f＝0，k∈Z．
故f(x)＝(k∈Z)，
如图，
故f(x)＝0的解集为．]
15．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
[解]　(1)证明：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是f(x)的一个周期，
∴f(5)＝f(1)＝－5，
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝－＝－＝．
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