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第2课时　正弦、余弦函数的图象与性质
学习任务 核心素养
1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点) 3．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(重点、易错点) 1．通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养． 2．借助函数图象，培养直观想象素养．
回顾正、余弦函数的图象，尝试探究函数y＝sin 的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、对称轴、对称中心．
知识点　正弦函数、余弦函数的图象与性质
函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R
图 象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1]
最 值 当__________________ 时，取得最大值___； 当__________________ 时，取得最小值_____ 当________________时， 取得最大值___； 当_______________________时， 取得最小值_____
周期性 周期函数，最小正周期T＝____ 周期函数，最小正周期T＝____
奇偶性 ____函数，图象关于原点对称 ____函数，图象关于y轴对称
单 调 性 在____________上单调递增； 在__________上单调递减 在_________________________上单调递增； 在_____________________________上单调递减
对 称 性 关于_________________成轴对称，关于___________________成中心对称 关于_______________成轴对称，关于__________成中心对称
1．正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin 是奇函数． (　　)
(2)函数y＝3sin 2x是周期为π的奇函数． (　　)
(3)y＝sin x在上单调递减． (　　)
(4)y＝cos x的值域为(－1，1)． (　　)
2．函数y＝sin x＋1的值域是________．
3．函数y＝sin (2x＋π)的对称中心是______．
类型1　求正弦、余弦函数的单调区间
【例1】求函数y＝2sin 的单调区间．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
求函数y＝2sin 的减区间．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　求正弦、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．
[跟进训练]
1．求下列函数的增区间：
(1)y＝cos 2x；(2)y＝sin ，x∈．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　比较三角函数值的大小
【例2】【链接教材P202例5】
用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 194°与cos 160°；
(2)cos ，sin ，－cos ；
(3)sin 与sin ．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数；
(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
(3)利用函数的单调性比较大小．
[跟进训练]
2．比较大小：(1)cos 与cos ；
(2)sin 与cos ．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　与三角函数有关的值域问题
【例3】(1)求函数y＝2sin 的最大值和最小值；
(2)求函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈的值域．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件)将本例(1)中“－≤x≤”改为“－≤x≤”，求y＝2sin 的最值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变条件)本例(2)中“y＝－2cos2x＋2sinx＋3”改为“y＝－2cos2x＋2cosx＋3”，其他条件不变，求值域．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．求形如y＝A sin x＋B或y＝A cos x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．
2．求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(或y＝a cos2x＋b cosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
[跟进训练]
3．求下列函数的值域．
(1)y＝cos ，x∈；
(2)y＝cos2x－4cosx＋5．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．函数y＝－cos x在区间上是(　　)
A．增函数　　　　　　　 B．减函数
C．先减后增函数 D．先增后减函数
2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　)
A．y轴 B．x轴
C．直线x＝ D．直线x＝π
3．函数y＝sin 的增区间是________．
4．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．
5．(教材P212习题7.3T4改编)函数y＝2cos ，x∈，函数的最小正周期为______，值域为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．如何求函数y＝sin x，x∈上的值域？
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B，x∈R的最大值为A＋B吗？
3．如何比较三角函数值的大小？
4．求函数单调区间时若x的系数为负，应怎样处理？
1 / 7第2课时　正弦、余弦函数的图象与性质
学习任务 核心素养
1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点) 3．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(重点、易错点) 1．通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养． 2．借助函数图象，培养直观想象素养．
回顾正、余弦函数的图象，尝试探究函数y＝sin 的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、对称轴、对称中心．
知识点　正弦函数、余弦函数的图象与性质
函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R
图 象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1]
最 值 当x＝2kπ＋(k∈Z) 时，取得最大值1； 当x＝2kπ－(k∈Z) 时，取得最小值－1 当x＝2kπ(k∈Z)时， 取得最大值1； 当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时， 取得最小值－1
周期性 周期函数，最小正周期T＝2π 周期函数，最小正周期T＝2π
奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 偶函数，图象关于y轴对称
单 调 性 在 (k∈Z)上单调递增； 在(k∈Z)上单调递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上单调递减
对 称 性 关于x＝kπ＋(k∈Z)成轴对称，关于(kπ，0)(k∈Z)成中心对称 关于x＝kπ(k∈Z)成轴对称，关于(k∈Z)成中心对称
1．正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？
[提示]　不正确．正弦函数在每个闭区间(k∈Z)上单调递增，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，并不是在整个定义域上是减函数．
2．y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0[提示]　由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin 是奇函数． (　　)
(2)函数y＝3sin 2x是周期为π的奇函数． (　　)
(3)y＝sin x在上单调递减． (　　)
(4)y＝cos x的值域为(－1，1)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．函数y＝sin x＋1的值域是________．
　[因为sin x∈[－1，1]，所以sin x∈，所以sin x＋1∈．]
3．函数y＝sin (2x＋π)的对称中心是______．
，k∈Z　[y＝sin (2x＋π)＝－sin 2x，
由2x＝kπ得x＝(k∈Z)，
所以y＝sin (2x＋π)的对称中心为，k∈Z．]
类型1　求正弦、余弦函数的单调区间
【例1】求函数y＝2sin 的单调区间．
[解]　令z＝x－，则y＝2sin z．
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z是增(减)函数时，
函数y＝2sin 也是增(减)函数．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin 的增区间为(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin 的减区间为(k∈Z)．
[母题探究]
求函数y＝2sin 的减区间．
[解]　y＝2sin ＝－2sin ，
令z＝x－，而函数y＝－2sin z的减区间是(k∈Z)．
∴原函数递减时，得－＋2kπ≤x－＋2kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴原函数的减区间是
(k∈Z)．
　求正弦、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．
[跟进训练]
1．求下列函数的增区间：
(1)y＝cos 2x；(2)y＝sin ，x∈．
[解]　(1)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，
所以kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，
所以函数y＝cos 2x的增区间为(k∈Z)．
(2)因为y＝sin ＝－sin ，
所以函数y＝sin 的增区间就是函数y＝sin 的减区间，
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得
2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z．
因为x∈，
所以所求函数的增区间为．
类型2　比较三角函数值的大小
【例2】【链接教材P202例5】
用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 194°与cos 160°；
(2)cos ，sin ，－cos ；
(3)sin 与sin ．
[解]　(1)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos (90°＋70°)＝－sin 70°．
∵0°<14°<70°<90°，函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，
∴sin 14°∴－sin 14°>－sin 70°，
∴sin 194°>cos 160°．
(2)sin ＝cos ，－cos ＝cos ，
∵0<π－<<<π，
函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，
∴cos >cos >cos ，
即－cos >sin >cos ．
(3)cos ＝cos ＝sin ．
∵0<<<，函数y＝sin x在内单调递增，
∴sin 而0函数y＝sin x在(0，1)内单调递增，
∴sin 【教材原题·P202例5】
例5不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1)sin 与sin ；
(2)cos 与cos ．
解：(1)因为y＝sin x在区间上单调递增，且－>－，
所以sin >sin ．
(2)因为y＝cos x在区间上单调递减，且
<，
所以cos >cos ．
　比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数；
(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
(3)利用函数的单调性比较大小．
[跟进训练]
2．比较大小：(1)cos 与cos ；
(2)sin 与cos ．
[解]　(1)cos ＝cos ＝cos ＝
－cos ，而cos ＝－cos ，
∵0<<<，∴cos >cos ．
∴－cos <－cos ，
∴cos (2)∵cos ＝sin ，
<<<π，
又y＝sin x在上单调递减，
∴sin >sin ＝cos ，
即sin >cos ．
类型3　与三角函数有关的值域问题
【例3】(1)求函数y＝2sin 的最大值和最小值；
(2)求函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈的值域．
[解]　(1)∵－≤x≤，
∴0≤2x＋，
∴0≤sin ≤1，
∴当sin ＝1时，取得最大值2；
当sin ＝0时，取得最小值0．
(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3
＝2sin2x＋2sinx＋1
＝2＋．
∵x∈，∴≤sin x≤1．
当sin x＝1时，取得最大值5；
当sin x＝时，取得最小值．
∴函数y＝－2cos2x＋2sinx＋3的值域为．
[母题探究]
1．(变条件)将本例(1)中“－≤x≤”改为“－≤x≤”，求y＝2sin 的最值．
[解]　∵－≤x≤，
∴－≤2x＋，
∴－≤sin ≤1，
∴当sin ＝1时，取得最大值2，
当sin ＝－时，取得最小值－．
2．(变条件)本例(2)中“y＝－2cos2x＋2sinx＋3”改为“y＝－2cos2x＋2cosx＋3”，其他条件不变，求值域．
[解]　y＝－2＋，
∵x∈，∴－≤cos x≤．
当cos x＝时，取得最大值．
当cos x＝－时，取得最小值．
∴函数y＝－2cos2x＋2cosx＋3的值域为．
　1．求形如y＝A sin x＋B或y＝A cos x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．
2．求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(或y＝a cos2x＋b cosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
[跟进训练]
3．求下列函数的值域．
(1)y＝cos ，x∈；
(2)y＝cos2x－4cosx＋5．
[解]　(1)由y＝cos ，x∈可得x＋∈，
因为函数y＝cos x在区间上单调递减，所以函数的值域为．
(2)y＝cos2x－4cosx＋5，
令t＝cos x，则－1≤t≤1．
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1，函数取得最大值10；
t＝1时，函数取得最小值2，
所以函数的值域为[2，10]．
1．函数y＝－cos x在区间上是(　　)
A．增函数　　　　　　　 B．减函数
C．先减后增函数 D．先增后减函数
C　[因为y＝cos x在区间上先增后减，
所以y＝－cos x在区间上先减后增．]
2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是(　　)
A．y轴 B．x轴
C．直线x＝ D．直线x＝π
C　[当x＝时，y取最大值，所以x＝是一条对称轴．]
3．函数y＝sin 的增区间是________．
(k∈Z)　[令－＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤＋kπ(k∈Z)．]
4．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．
cos 150°＜cos 760°＜sin 470°　[cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，
cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，
所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°．]
5．(教材P212习题7.3T4改编)函数y＝2cos ，x∈，函数的最小正周期为______，值域为________．
π　[－1，2]　[由T＝知T＝＝π，即函数最小正周期为π．
∵x∈，∴2x＋∈，
∴cos ∈，
∴函数的值域为．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．如何求函数y＝sin x，x∈上的值域？
[提示]　借助函数y＝sin x在上的单调性求解．
2．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B，x∈R的最大值为A＋B吗？
[提示]　不一定．A>0时最大值为A＋B，A<0时最大值应为B－A．
3．如何比较三角函数值的大小？
[提示]　若函数名称相同，直接利用诱导公式化到同一个单调区间上利用函数单调性比较．若函数名称不同，应先化为同名三角函数，再化到同一单调区间，最后比较大小．
4．求函数单调区间时若x的系数为负，应怎样处理？
[提示]　利用诱导公式将x的系数化为正再求单调区间．
课时分层作业(三十七)　正弦、余弦函数的图象与性质
一、选择题
1．(多选题)函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的可能取值为(　　)
A．－ B．－
C．0 D．
ABC　[y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以a∈(－π，0]．
故选ABC．]
2．下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°C　[由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，所以sin 11°3．y＝sin2x－4sinx＋5，x∈的值域为(　　)
A．(－1，1) B．(2，3)
C．(－2，5] D．[2，5]
D　[令t＝sin x，由x∈，得0≤t≤1．
所以y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1．
当t＝0，即sin x＝0时，最大值为5，
当t＝1，即sin x＝1时，最小值为2．
所以该函数的值域是[2，5]．]
4．设函数f(x)＝sin ωx(ω>0)．已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[因为f(x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2．]
5．下列函数中，周期为π，且在区间上单调递减的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos x
C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x
D　[A选项，函数y＝sin 的周期为2π，不符合条件；
B选项，函数y＝cos x的周期为4π，不符合条件；
C选项，函数y＝sin 2x的周期为π，但是在上不单调，不符合条件；
D选项，函数y＝cos 2x的周期为π，且在上单调递减，符合条件．故选D．]
二、填空题
6．函数y＝sin 取最大值时自变量的取值集合是________．
　[当＝2kπ＋，即x＝4kπ＋，k∈Z时，ymax＝1，所以函数y＝sin 取最大值时自变量的取值集合为
．]
7．函数f(x)＝3sin 在区间上的值域为________．
　[由0≤x≤，得0≤2x≤π，于是
－≤2x－，所以－≤sin ≤1，
即－≤3sin ≤3．]
8．y＝的定义域为________，增区间为________．
[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)　(k∈Z)　[由题意知sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．
∵当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增，
∴其增区间为(k∈Z)．]
三、解答题
9．(1)比较sin 与sin 的大小；
(2)求函数y＝2sin (－x)的增区间．
[解]　(1)∵sin ＝－sin π，
sin ＝－sin ＝－sin π，
由于<π<π<π，且y＝sin x在上单调递减，∴sin π>sin π，
∴－sin π<－sin π，
即sin (2)∵y＝2sin ＝－2sin x，
∴函数y＝2sin (－x)的增区间就是函数u＝2sin x的减区间．
∴函数y＝2sin (－x)的增区间为．
10．设函数f(x)＝sin ，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期和增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
[解]　(1)最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
∴当t＝，即x＝时，
ymin＝＝－1，
当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝．
11．(多选题)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下面结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
ABC　[∵y＝sin ＝－cos x，∴T＝2π，即A正确．y＝cos x在上单调递减，则y＝－cos x在上单调递增，即B正确．由图象知y＝－cos x的图象关于x＝0对称，即C正确．y＝－cos x为偶函数，即D不正确．]
12．已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos
C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos
B　[对于A，f(x)＝sin ，最小正周期为＝4，因为f(2)＝sin π＝0，所以函数f(x)＝sin 的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f(x)＝cos ，最小正周期为＝4，因为f(2)＝cos π＝－1，所以函数f(x)＝cos 的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数f(x)＝sin 和f(x)＝cos 的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D．综上，故选B．]
13．函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的最小值为________，最大值为________．
－　[令t＝cos x，x∈，
∴t∈，
y＝3t2－4t＋1＝3－．
∵y＝3－在t∈上单调递减，
∴ymax＝3×－＝，
ymin＝3×－＝－．]
14．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上单调递增，则ω的取值范围是______．
　[由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－≤x≤，
∴f(x)的增区间是，k∈Z．
根据题意，
得 ，
从而有
解得0＜ω≤．
故ω的取值范围是．]
15．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系．
[解]　由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上单调递增，
所以函数f(x)在[0，1]上单调递增．
又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞，
即＞α＞－β＞0，
因为y＝sin x在上单调递增，
所以sin α＞sin ＝cos β，
又sin α∈(0，1)，cos β∈(0，1)，
所以f(sin α)＞f(cos β)．
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