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7.4　三角函数应用
学习任务 核心素养
1．会用三角函数解决一些简单的实际问题． (重点) 2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(难点) 1．通过建立三角函数模型解决实际问题，培养数学建模素养． 2．借助实际问题求解，提升数学运算素养．
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替、四季轮回、潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！我们需要学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象．
知识点1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念
设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；往复运动一次所需的时间T＝称为这个运动的周期；单位时间内往复运动的次数f＝＝称为运动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相位．
1．简谐运动y＝sin 的振幅为________，周期为________，频率为________，初相位为________．
　6　　－　[由简谐运动的相关概念可知，
A＝，T＝＝6，f＝＝，初相位φ＝－．]
知识点2　三角函数的应用
(1)三角函数模型的应用
①根据实际问题的图象求出函数解析式．
②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．
(2)解答三角函数应用题的一般步骤
在函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b与函数的最值有何关系？
[提示]　A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：
(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；
(2)A＝，b＝．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2sin 的初相位是． (　　)
(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm． (　　)
(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin ，则当t＝ s时，电流强度I为 A． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
类型1　三角函数模型在物理学中的应用
【例1】【链接教材P214例1】
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化规律为s＝4sin ，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[解]　列表如下：
t －
2t＋ 0 π 2π
sin 0 1 0 －1 0
s 0 4 0 －4 0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin ，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm．
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm．
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s．
【教材原题·P214例1】
例1在图7-4-2中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．求：
(1)物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系；
(2)该物体在t＝5 s时的位置．
解：(1)设x和t之间的函数关系为
x＝3sin (ωt＋φ)(ω>0，0≤φ<2π)．
则由T＝＝3，可得ω＝．
当t＝0时，有x＝3sin φ＝3，即sin φ＝1．
又0≤φ<2π，可得φ＝．
因此所求函数关系为x＝3sin ，即x＝3cos t．
(2)令t＝5，得x＝3cos ＝－1.5，故该物体在t＝5 s时的位置是在O点的左侧且距O点1.5 cm处．
　在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
[跟进训练]
1．已知电流I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
[解]　(1)由题图知，A＝300．
＝＝，
∴T＝，∴ω＝＝150π．
I＝300sin (150πt＋φ)．
由为第一个关键点，
∴150π·＋φ＝0，∴φ＝，
∴所求解析式为I＝300sin ，t∈[0，＋∞)．
(2)由题意T≤，即，
∴ω≥300π≈942.5，
∴所求ω的最小正整数值是943．
类型2　三角函数模型的实际应用
【例2】【链接教材P215例2】
已知某海滨浴场的海浪高度y(单位：m)是时间t(单位：h)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1 m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
[解]　(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝，又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，∴振幅为，函数解析式为y＝cos t＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y>1时，才对冲浪爱好者开放，
∴y＝cos t＋1>1，cos t>0，2kπ－[母题探究]
(变条件)若将本例中“大于1 m”改为“大于1.25 m”，结果又如何？
[解]　由y＝cos t＋1>1.25得cos t>，2kπ－又0≤t≤24，所以0≤t<2或10【教材原题·P215例2】
例2　一半径为3 m的水轮如图7-4-3所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P到水面的距离z(单位：m．在水面下，则z为负数)表示为时间t(单位：s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
解：(1)如图7-4-3，建立平面直角坐标系．
设角是以Ox为始边，OP0为终边的角．
由OP在t s内所转过的角为t＝t，可知以Ox为始边，OP为终边的角为t＋φ，故P点纵坐标为3sin ，则
z＝3sin ＋2．
当t＝0时，z＝0，可得sin φ＝－．
因为－<φ<0，所以φ≈－0.73，故所求函数关系式为z＝3sin ＋2．
(2)令z＝3sin ＋2＝5，得sin ＝1．
取t－0.73＝，解得t≈5.5．
故点P第一次到达最高点大约需要5.5 s．
　解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
类型3　数据拟合模型的应用
【例3】某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝A sin ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出y＝A sin ωt＋b的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)
[解]　(1)从拟合曲线可知：函数y＝A sin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此＝12，ω＝．
又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，
∴b＝10，A＝13－10＝3，
∴所求函数的表达式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．
(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．
令y＝3sin t＋10≥11.5，
可得sin t≥，
∴2kπ＋t≤2kπ＋(k∈Z)，
∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．
取k＝0，则1≤t≤5，取k＝1，则13≤t≤17；
而取k＝2时，25≤t≤29(不合题意，舍)．
从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h．
　用三角函数解决实际问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用．解决这类题目的步骤如下：
(1)搜集实际问题的数据，作出“散点图”；
(2)观察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型；
(3)通过图象或解析式研究函数的性质；
(4)用得到的性质解决提出的实际问题．
[跟进训练]
2．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(单位：m)随着时间t(0≤t≤24，单位：h)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)试在图中描出所给点；
(2)观察图，从y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b，y＝A cos (ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8 m时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
[解]　(1)描出所给点如图所示．
(2)由(1)知选择y＝A sin (ωt＋φ)＋b较合适．
令A＞0，ω＞0，|φ|＜π．
由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，
所以ω＝＝．
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin ＋1，得φ＝0．
故所求拟合模型的解析式为
y＝0.4sin t＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sin t＋1≥0.8，则sin t≥－，
则－＋2kπ≤＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24．
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
1．函数y＝3sin的周期、振幅、初相位分别是(　　)
A．3π，　　　　　B．6π，
C．3π，3，－ D．6π，3，
D　[y＝3sin 的周期T＝＝6π，振幅为3，初相位为．]
2．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动往返一次需要的时间是(　　)
A．0.2 s B．0.4 s
C．0.8 s D．1.2 s
C　[由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次．]
3．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间(单位：分钟)，则此人每分钟心跳的次数为________．
80　[因为T＝＝，所以f＝＝80．]
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于________．
　[∵函数s＝3cos 的周期
T＝＝1，∴＝(2π)2，
∴l＝．]
5．(教材P216习题7.4T1改编)电流I随时间t变化的关系式是I＝A sin ωt，t∈[0，＋∞)，若ω＝10π rad/s，A＝5，则电流I变化的周期是________，当t＝ s时，电流I＝________．
　[由已知得I＝5sin 10πt，∴T＝＝．
当t＝ s时，I＝5sin ＝5sin ＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．本节课重点讲解了哪几类三角函数模型？
[提示]　(1)三角函数在物理中的应用．
(2)三角函数在实际问题中的应用．
(3)建立三角函数模型解决实际问题．
2．在处理曲线拟合和预测问题时，通常需要几个步骤？
[提示]　(1)根据原始数据画出散点图．
(2)借助散点图画出与其“最贴近”的直线或曲线．
(3)求出拟合直线或曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式对所给问题预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
振幅、周期、频率、相位
人体就是一个包含各种周期运动的生物体，医学上把周期为24小时的生理运动称为中周期运动，如血压、血糖浓度的变化；小于24小时的叫短周期运动，如心跳、脉搏每分50～70次、呼吸每分16～24次；大于24小时的叫长周期运动，如人的情绪、体力、智力等．
声音中也包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y＝A sin ωt．音有四要素：音调、响度、音长和音色．这都与正弦函数的参数有关．响度与振幅有关，即与声波的能量有关，振幅越大，响度越大．音长也与振幅有关，声音消失过程是由于声波在传播过程中受阻尼振动，系统的机械能随时间逐渐减小，振动的振幅也逐渐减小．音调与声波的振动频率是有关的，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来．所以我们听到的声音的函数是y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋sin 4x＋…．
音色一般是由基音和谐音的综合作用所决定的，不同乐器、不同人发出的音调可以相同，但音色不同，人们由此分辨出不同的声音．
周期函数产生了美妙的音乐！
课时分层作业(四十)　三角函数应用
一、选择题
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin 来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为(　　)
A． s B． s
C． s D． s
B　[最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期，T＝ s＝ s．]
2．(多选题)如图所示，为一质点做简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．该简谐运动的振动周期为0.8 s
B．该简谐运动的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时振动速度为零
AB　[由图象知，振幅为5 cm，＝(0.7－0.3)s＝0.4 s，故T＝0.8 s，故AB正确；该质点在0.1 s和0.5 s离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故C错误；该质点在0.3 s和0.7 s时正好回到平衡位置，而不是振动速度为零，故D错误．]
3．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足函数关系y＝A sin (ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0)，则有(　　)
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
A　[由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2 A＝3．T＝15，则ω＝．故选A．]
4．如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(　　)
A　　　　　B　　 　　C　　　　D
A　[当x∈时，f(x)＝π－2x；
当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A．]
5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k．据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
C　[由图象知周期T＝12，最低点的坐标为(9，2)，
代入得×9＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ(k∈Z)，不妨取φ＝0，
当x＝6＋＝15时，y最大，
列式得＝3sin ＋k，
∴＝3sin ＋k，
∴k＝5，
∴＝k，ymax＝8．]
二、填空题
6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃．
20.5　[由题意可知A＝＝5，a＝＝23．从而y＝5cos＋23，故10月份的平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5．]
7．如图，某地一天从6 h到14 h的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(ω>0，0≤φ<2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．
y＝10sin ＋20，x∈[6，14]　[由图象可知B＝20，A＝＝10，
＝14－6＝8，T＝16＝，解得ω＝．
将(6，10)代入y＝10sin ＋20可得
sin ＝－1，
由0≤φ<2π可得φ＝，
所以y＝10sin ＋20，x∈[6，14]．]
8．动点A(x，y)在单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数关系式为________，该函数的增区间为________．
y＝sin 　[0，1]，[7，12]　[由题意可知，y＝sin (ωt＋φ)．
又t＝0时，A，∴φ＝，
又由T＝12可知，ω＝＝，
∴y＝sin ．
令2kπ－t＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z，
∵0≤t≤12，∴令k＝0，1，
得0≤t≤1或7≤t≤12，
故动点A的纵坐标y关于t的函数的增区间为[0，1]，[7，12]．]
三、解答题
9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解]　(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃．所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃．
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin ＝－．
而x∈[4，16]，所以x＝．
令10sin＋20＝25，
可得sin ＝，
而x∈[4，16]，所以x＝．
故该细菌的存活时间为＝小时．
10．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解]　(1)动物种群数量y关于t的解析式为
y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，
则
解得A＝100，b＝800．
又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝＝，
∴y＝100sin ＋800．
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin ＋800，
∴sin (π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，
∴取φ＝－，
∴y＝100sin ＋800．
(2)当t＝2时，
y＝100sin ＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750．
11．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
A　　　　　B　　 　　C　　　　　D
C　[令所对圆心角为θ，由OA＝1，得l＝θ，
sin ＝，∴d＝2sin ＝2sin ，
即d＝f(l)＝2sin (0≤l≤2π)，它的图象为C．]
12．(多选题)如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有(　　)
A．经过3分钟，点P首次到达最低点
B．第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米
ABD　[以O为原点，过O且平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，⊙O为摩天轮，P为圆上的动点，设P到地面的高为h．
由题设有P，
故h＝40sin ＋45＝40cos t＋45，其中t≥0．
对于A，令h＝5，则cos t＝－1，解得t＝6k＋3，k∈N，
故点P首次到达最低点所需的时间为3分钟，故A正确．
对于B，当t＝4时，h1＝40cos ＋45，当t＝8时，h2＝40cos ＋45，
因为cos ＝cos ＝－，故h1＝h2，故B正确．
对于C，当7≤t≤10，t≤，
而2π<<3π＜<且y＝cos u在(2π，3π)单调递减，在单调递增，
故h＝40cos t＋45在[7，10]上不具有单调性，故C错误．
对于D，考虑0≤t≤6时不等式40cos t＋45≥65的解，故cos t≥，
解得0≤t≤1或5≤t≤6，
故摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米，故D正确．故选ABD．]
13．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
y＝2sin ，t∈[0，＋∞)　[由题图可设y＝A sin (ωt＋φ)，则A＝2，
又T＝2×(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝＝π，
所以y＝2sin，
将点(0.1，2)代入y＝2sin 中，
得sin ＝1，
所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得φ＝，
所以y＝2sin ，t∈[0，＋∞)．]
14．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0，60]．
10sin 　[t s后秒针转过的弧度的大小为，过O作AB的高(图略)，△OAB为等腰三角形，
所以d＝2×5sin ＝10sin ．]
15．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00．每天涨潮落潮时，水的深度d(单位：m)与时间t(单位：h)近似满足关系式d＝A sin (ωt＋φ)＋h．
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d和时间t之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m
[解]　(1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin ＋12.2．
又因为t＝4时，d＝16，
所以sin ＝1，又|φ|<，
所以φ＝－，
所以d＝3.8sin ＋12.2．
(2)t＝17时，d＝3.8sin ＋12.2
＝3.8sin ＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin ＋12.2<10.3，
即sin <－，
因此2kπ＋所以2kπ＋所以12k＋8令k＝0，得t∈(8，12)；
令k＝1，得t∈(20，24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m．
1 / 197.4　三角函数应用
学习任务 核心素养
1．会用三角函数解决一些简单的实际问题． (重点) 2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(难点) 1．通过建立三角函数模型解决实际问题，培养数学建模素养． 2．借助实际问题求解，提升数学运算素养．
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替、四季轮回、潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！我们需要学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象．
知识点1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念
设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A表示物体运动时离开______位置的__________，称为振幅；往复运动一次所需的______T＝称为这个运动的______；单位时间内往复运动的______f＝＝称为运动的______；ωt＋φ称为______，t＝___时的相位φ称为________．
1．简谐运动y＝sin 的振幅为________，周期为________，频率为________，初相位为________．
知识点2　三角函数的应用
(1)三角函数模型的应用
①根据实际问题的图象求出函数解析式．
②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．
(2)解答三角函数应用题的一般步骤
在函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b与函数的最值有何关系？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2sin 的初相位是． (　　)
(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm． (　　)
(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin ，则当t＝ s时，电流强度I为 A． (　　)
类型1　三角函数模型在物理学中的应用
【例1】【链接教材P214例1】
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化规律为s＝4sin ，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
[跟进训练]
1．已知电流I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
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类型2　三角函数模型的实际应用
【例2】【链接教材P215例2】
已知某海滨浴场的海浪高度y(单位：m)是时间t(单位：h)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1 m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
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[母题探究]
(变条件)若将本例中“大于1 m”改为“大于1.25 m”，结果又如何？
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　解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
类型3　数据拟合模型的应用
【例3】某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝A sin ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出y＝A sin ωt＋b的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　用三角函数解决实际问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用．解决这类题目的步骤如下：
(1)搜集实际问题的数据，作出“散点图”；
(2)观察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型；
(3)通过图象或解析式研究函数的性质；
(4)用得到的性质解决提出的实际问题．
[跟进训练]
2．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(单位：m)随着时间t(0≤t≤24，单位：h)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)试在图中描出所给点；
(2)观察图，从y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b，y＝A cos (ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8 m时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
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1．函数y＝3sin的周期、振幅、初相位分别是(　　)
A．3π，　　　　　B．6π，
C．3π，3，－ D．6π，3，
2．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动往返一次需要的时间是(　　)
A．0.2 s B．0.4 s
C．0.8 s D．1.2 s
3．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间(单位：分钟)，则此人每分钟心跳的次数为________．
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于________．
5．(教材P216习题7.4T1改编)电流I随时间t变化的关系式是I＝A sin ωt，t∈[0，＋∞)，若ω＝10π rad/s，A＝5，则电流I变化的周期是________，当t＝ s时，电流I＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．本节课重点讲解了哪几类三角函数模型？
2．在处理曲线拟合和预测问题时，通常需要几个步骤？
振幅、周期、频率、相位
人体就是一个包含各种周期运动的生物体，医学上把周期为24小时的生理运动称为中周期运动，如血压、血糖浓度的变化；小于24小时的叫短周期运动，如心跳、脉搏每分50～70次、呼吸每分16～24次；大于24小时的叫长周期运动，如人的情绪、体力、智力等．
声音中也包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y＝A sin ωt．音有四要素：音调、响度、音长和音色．这都与正弦函数的参数有关．响度与振幅有关，即与声波的能量有关，振幅越大，响度越大．音长也与振幅有关，声音消失过程是由于声波在传播过程中受阻尼振动，系统的机械能随时间逐渐减小，振动的振幅也逐渐减小．音调与声波的振动频率是有关的，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来．所以我们听到的声音的函数是y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋sin 4x＋…．
音色一般是由基音和谐音的综合作用所决定的，不同乐器、不同人发出的音调可以相同，但音色不同，人们由此分辨出不同的声音．
周期函数产生了美妙的音乐！
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