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类型1　任意角的三角函数概念
任意角和弧度制是三角函数的基础，是后续学习的重要保障．在高考中主要涉及三角函数的概念，常以选择题和填空题的形式考查，主要考查学生的数学运算素养．难度为容易题．三角函数线是解决三角函数问题的有力工具，应用较广，主要利用其判断三角函数值的符号．借助三角函数线求三角函数的定义域以及与三角函数有关的证明问题．
【例1】(1)已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．
(2)函数y＝的定义域是________．
(1)或－　(2)
[(1)r＝OP＝＝5|m|．
当m>0时，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，∴2sin α＋cos α＝．
当m<0时，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，∴2sin α＋cos α＝－．
故2sin α＋cos α的值是或－．
(2)由得
如图，结合三角函数线知：
解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为．]
类型2　同角三角函数的基本关系与
诱导公式
同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：
(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．
(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．
(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式．
常与方程、函数相结合命题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养．考查难度以中、低档为主．
【例2】已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π)．求：
(1)；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
[解]　 由根与系数的关系，得
sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝．
(1)原式＝＝sin θ＋cos θ＝．
(2)由sin θ＋cos θ＝，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝，把sin θcos θ＝代入得1＋2×＝1＋，
∴m＝．
(3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0，
得两根为．
∴
∵θ∈(0，2π)，∴θ＝．
类型3　三角函数的图象与性质
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．主要考查学生的数学运算，数据分析逻辑推理素养．考查难度以中低档为主．具体要求：
(1)用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π．
(2)对于y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
(3)已知函数图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．
【例3】已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋1的周期为π，f＝＋1，且f(x)的最大值为3．
(1)写出f(x)的表达式；
(2)写出函数f(x)图象的对称中心、对称轴方程及单调区间；
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解]　(1)∵T＝π，
∴ω＝＝2．
∵f(x)的最大值为3，
∴A＝2．
∴f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1．
∵f＝＋1，
∴2sin ＋1＝＋1，
∴cos φ＝．
∵0<φ<，
∴φ＝．
∴f(x)＝2sin ＋1．
(2)由f(x)＝2sin ＋1，
令2x＋＝kπ，得x＝(k∈Z)，
∴其图象的对称中心为(k∈Z)．
由2x＋＝kπ＋，得x＝(k∈Z)，
∴其图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的增区间为(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的减区间为(k∈Z)．
(3)当0≤x≤时，≤2x＋，
∴－≤sin ≤1，
∴f(x)在上的最大值为3，最小值为0．
类型4　数形结合思想
数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中．考查难度以中低档为主．
本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法．
【例4】已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R在一个周期内的简图如图所示，求函数y＝f(x)与y＝lg x图象的交点个数．
[解]　显然A＝2．
由图象过(0，1)点，则f(0)＝1，即sin φ＝，
又|φ|＜，则φ＝．
又是图象上的点，则f＝0，
即sin ＝0，由图象可知，是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．
∴ω＋＝2π，∴ω＝2，
∴所求函数的解析式为f(x)＝2sin ．
在同一坐标系中作函数y＝2sin 和函数y＝lg x的示意图如图所示，
∵f(x)的最大值为2，令lg x＝2，得x＝100，令π＋kπ＜100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而π＋31π＞100，∴在区间(0，100]内有31个形如(k∈Z，0≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有2个交点，故这两个函数图象在上有2×31＝62个交点，另外在上还有1个交点，
∴函数y＝f(x)与y＝lg x图象的交点个数为63个．
章末综合测评(七)　三角函数
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数中，最小正周期为π的函数是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin D．y＝cos
D　[正、余弦函数的周期为T＝，故选D．]
2．已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为(　　)
A． cm2 B．π cm2
C．2π cm2 D．4π cm2
C　[弧长为π的弧所对的圆心角为，所以r＝＝4(cm)，所以扇形面积为S＝lr＝×π×4＝2π(cm2)．]
3．已知点 P(3，4) 在角α的终边上，则cos 的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
D　[因为点 P(3，4) 在角α的终边上，所以OP＝＝5，cos ＝－sin α＝－，故选D．]
4．代数式sin (－330°)cos 390°的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
B　[sin (－330°)·cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝＝．]
5．已知tan ＝，则tan ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
B　[tan ＝tan
＝－tan ＝－．]
6．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角约等于(　　)
A． B．
C． D．
A　[依题意知AB＝BC＝6，设∠ABC＝2θ，
则sin θ＝＝0.866≈，∴θ≈，2θ≈．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α，则α＋2θ＝π，∴α≈．]
7．设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则(　　)
A．a>c>b B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
A　[sin ＝sin ＝－sin ＝sin ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos ＝cos ，
∵y＝cos x在上单调递减，
∴cos >cos >cos ，
即a>c>b．]
8．已知函数f(x)＝sin πx和函数g(x)＝cos πx在区间上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是(　　)
A． B．
C． D．
C　[由题意得sin πx＝cos πx，所以tan πx＝1，
所以πx＝＋kπ(k∈Z)，即x＝＋k(k∈Z)．
又因为x∈，所以x＝－，
因此A，B，C，
所以△ABC的面积是＝，故选C．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是(　　)
A．tan α＝－
B．＝sin α－cos α
C．cos α＝－
D．n α＋cos α
BC　[由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，故A错误；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以＝＝sin α－cos α，故B、C正确，D错误．故选BC．]
10．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于g(x)说法错误的是(　　)
A．最小值为－1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递减，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期是π，图象关于点对称
BCD　[将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)＝sin ＝cos 2x的图象，
关于g(x)，显然它是偶函数，最大值为1，周期为＝π，故B不正确；
由于当x＝时，g(x)＝－1，为最小值，故g(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；
由于在上，2x∈，g(x)没有单调性，故C不正确；
由于当x＝时，g(x)＝－≠0，故g(x)的图象不关于点对称，故D不正确．]
11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)
A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
AC　[∵sin (π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，若α＋β＝，则β＝－α．
A中，sin β＝sin ＝cos α＝±，故A符合条件；
B中，cos (π＋β)＝－cos ＝－sin α＝－，故B不符合条件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±， 即C符合条件；
D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，故D不符合条件．故选AC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，则tan α＝________．
－　[因为sin α＋cos α＝，①
两边平方得1＋2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝－，
因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，
所以sin α－cos α＝
＝＝＝，②
联立①②得sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝－．]
13．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________．
－　[对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点，所以ω＋φ＝2π．　①
由题知|AB|＝xB－xA＝，又y＝，则两式相减，得ω(xB－xA)＝，
即ω＝，解得ω＝4．
代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin ＝－sin ＝－．]
14．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________，f＝________．(本题第一空2分，第二空3分)
3　0　[由图象知T＝π，∴T＝，
又∵T＝，∴ω＝3，
将点代入f(x)＝2sin (3x＋φ)得，
sin ＝0，取φ＝－π，
∴f(x)＝2sin ，
∴f＝2sin ＝2sin π＝0．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(1)已知角α的终边经过点P(5，－12)，求2sin α＋cos α的值；
(2)已知角α终边上一点P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．
[解]　(1)∵r＝＝13，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－＝－．
(2)当点P在第一象限时，
sin α＝，cos α＝，2sin α＋cos α＝2；
当点P在第二象限时，
sin α＝，cos α＝－，2sin α＋cos α＝；
当点P在第三象限时，
sin α＝－，cos α＝－，2sin α＋cos α＝－2；
当点P在第四象限时，sin α＝－，cos α＝，
2sin α＋cos α＝－．
16．(15分)已知
f(α)＝．
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限的角，且cos ＝，求f(α)的值．
[解]　(1)f(α)＝
＝
＝－cos α．
(2)因为cos ＝－sin α，
所以sin α＝－．
又α是第三象限的角，
所以cos α＝－＝－．
所以f(α)＝．
17．(15分)如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(单位：米)与时间t(单位：分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
[解]　(1)可以用余弦型函数来表示该函数的关系式，由已知，可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝．所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－，所以t0＝或＝，解得t0＝4或8．所以t＝8分钟时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
18．(17分)已知f(x)＝2sin(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求tan 的值．
[解]　(1)由于直线x＝是函数f(x)＝2sin 的图象的一条对称轴，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝k＋(k∈Z)，
又0<ω<1，所以ω＝，
所以f(x)＝2sin ．
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的增区间为(k∈Z)．
(2)由题意可得g(x)＝2sin ，
即g(x)＝2cos ，
由g＝2cos＝2cos＝，得cos ＝．
又α∈，故<α＋<．
所以sin ＝，
所以tan ＝＝．
19．(17分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：
x －
f(x) －1 1 3 1 －1 1 3
(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
[解]　(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝＝2π．由T＝，得ω＝1．
又解得
令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即φ＝－＋2kπ，k∈Z．
又|φ|＜，解得φ＝－，
∴f(x)＝2sin ＋1．
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin ＋1的周期为，又k＞0，∴k＝3．
令t＝3x－，
∵x∈，∴t∈．
如图，sin t＝s在上有两个不同的解的条件是s∈，∴方程f(kx)＝m在x∈时恰有两个不同的解的条件是m∈[＋1，3)，即实数m的取值范围是[＋1，3)．
13 / 14类型1　任意角的三角函数概念
任意角和弧度制是三角函数的基础，是后续学习的重要保障．在高考中主要涉及三角函数的概念，常以选择题和填空题的形式考查，主要考查学生的数学运算素养．难度为容易题．三角函数线是解决三角函数问题的有力工具，应用较广，主要利用其判断三角函数值的符号．借助三角函数线求三角函数的定义域以及与三角函数有关的证明问题．
【例1】(1)已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．
(2)函数y＝的定义域是________．
类型2　同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：
(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．
(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．
(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式．
常与方程、函数相结合命题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养．考查难度以中、低档为主．
【例2】已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π)．求：
(1)；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
类型3　三角函数的图象与性质
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．主要考查学生的数学运算，数据分析逻辑推理素养．考查难度以中低档为主．具体要求：
(1)用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π．
(2)对于y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
(3)已知函数图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．
【例3】已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋1的周期为π，f＝＋1，且f(x)的最大值为3．
(1)写出f(x)的表达式；
(2)写出函数f(x)图象的对称中心、对称轴方程及单调区间；
(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
类型4　数形结合思想
数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中．考查难度以中低档为主．
本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法．
【例4】已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R在一个周期内的简图如图所示，求函数y＝f(x)与y＝lg x图象的交点个数．
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