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8.2.2　函数的实际应用
学习任务 核心素养
1．了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点) 2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用．(重点) 通过学习本节内容，提升数学建模和数学运算的核心素养．
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题．
某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000 m2，该中心每块球场的建设面积为1 000 m2，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关．当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用函数f(x)＝400来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
生活中经常会遇到这种成本最低、利润最高等问题，如何处理这些问题呢？
知识点　函数的实际应用
1．常见的函数模型
(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)；
(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；
(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；
(6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；
(7)分段函数模型；
(8)对勾函数模型：f(x)＝x＋．
“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质
①该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
②当x>0时，x＝时取最小值2；
当x<0时，x＝－时取最大值－2．
2．解决实际问题的一般流程
―→―→―→
其中建立数学模型是关键．
3．用函数模型解决实际问题的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质． (　　)
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性． (　　)
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(单位：只)与时间x(单位：年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2019年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2025年冬有越冬白鹤(　　)
A．4 000只 B．5 000只
C．6 000只 D．7 000只
C　[当x＝1时，由3 000＝alog3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2025年冬，即第7年，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000．故选C．]
类型1　利用已知函数模型解实际问题
【例1】【链接教材P241例4】
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，有以下公式：
f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？
[解]　(1)当0f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9．
故f(x)在(0，10]上单调递增，最大值为
f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；
当16f(x)<－3×16＋107＝59．
因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min．
(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f(5)．
因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些．
(3)当0则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49．
所以x＝20或x＝6，但0故x＝6．
当16则－3x＋107＝55．
所以x＝17．
因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17－6＝11<13(min)，
所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．
【教材原题·P241例4】
例4物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃，需要多长时间(结果精确到0.1)？
解：由题意知
40－24＝(88－24)，
即＝．
解得h＝10，故
T－24＝．
当T＝35时，代入上式，得
35－24＝，
即＝．
两边取对数，用计算器求得t≈25.4．
因此，约需要25.4 min咖啡可降温到35 ℃．
　已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
[跟进训练]
1．科学家发现某种特别物质的温度y(单位：℃)随时间x(单位：min)的变化规律满足关系式：y＝m·2x＋21-x(0≤x≤4，m＞0)．
(1)若m＝2，求经过多少分钟，该物质的温度为5 ℃；
(2)如果该物质温度总不低于2 ℃，求m的取值范围．
[解]　(1)由题意知，当m＝2时，2·2x＋21-x＝5，
解得x＝1或x＝－1，又x≥0，
所以x＝1．
故经过1 min，该物质的温度为5 ℃．
(2)由题意得m·2x＋21-x≥2对一切0≤x≤4恒成立，
则由2x＞0，得m≥，
令t＝2－x，则≤t≤1，
则f(t)＝－2t2＋2t＝－2＋，
当t＝时取得最大值，为，
所以m≥．
故m的取值范围为．
类型2　自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】【链接教材P240例3】
牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值．
[解]　(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(0(2)对原二次函数配方，
得y＝－(x2－mx)＝－＋，
即当x＝时，y取得最大值．
[母题探究]
1．(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”，又如何表示出y关于x的函数解析式？
[解]　根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝(02．(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围．
[解]　由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0因为当x＝时，ymax＝，
所以0<解得－2又因为k>0，所以0【教材原题·P240例3】
例3某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3 000元，每台计算机的售价为5 000元．分别写出总成本C(单位：万元)、单位成本P(单位：万元)、销售收入R(单位：万元)以及利润L(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系式．
解：总成本与总产量的关系为
C＝200＋0.3x，x∈N*．
单位成本与总产量的关系为
P＝＋0.3，x∈N*．
销售收入与总产量的关系为
R＝0.5x，x∈N*．
利润与总产量的关系为
L＝R－C＝0.2x－200，x∈N*．
　自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
[跟进训练]
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有数量约1 000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大致数量；
(2)写出y(珍稀鸟类的数量)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的数量达到现有数量的3倍或以上？(结果保留整数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解]　(1)依题意，一年后这种鸟类的数量约为
1 000＋1 000×8%＝1 080(只)，
两年后这种鸟类的数量约为
1 080＋1 080×8%≈1 166(只)．
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有数量约1 000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N．
(3)令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，两边取常用对数得
lg 1.08x≥lg 3，即x lg 1.08≥lg 3，
考虑到lg 1.08>0，故x≥，
故x≥＝，
因为lg 108＝lg (33×22)＝3lg 3＋2lg 2，所以
x≥≈≈14.3．因此约经过15年以后，这种鸟类的数量达到现有数量的3倍或以上．
类型3　拟合数据构建函数模型解决实际问题
【例3】某企业常年生产一种出口产品，自2019年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2019年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2019～2022年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2024年(即x＝6)因受到某种因素的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2024年的年产量为多少？
[解]　(1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
由已知得
解得∴f(x)＝1.5x＋2.5．
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1．
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2024年的年产量为f(6)＝1.5×6＋2.5＝11.5(万件)，又年产量减少30%，即11.5×70%＝8.05(万件)，即2024年的年产量为8.05万件．
　函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
[跟进训练]
3．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高 /cm 60 70 80 90 100 110
体重 /kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50
身高 /cm 120 130 140 150 160 170
体重 /kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
[解]　(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y＝a·bx得：
用计算器算得a≈2，b≈1.02．
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x．
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98．由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以这个男生偏胖．
1．已知：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋　　　　　　　 B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logb x D．y＝a·bx
D　[由表知x可以取“0”，排除A，C．
对于B，当x＝0时，y＝a＝1，∴a＝1，
当x＝1时，y＝a＋b＝2.02，b可以取1，
当x＝2时，y＝1＋2＝3；
当x＝3时，y＝1＋3＝4与表中各数据相差较大，可知只有D正确．]
2．根据日常生活中的四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出散点图(如选项图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是(　　)
A　　　B　　　C　　　　D
[答案]　B
3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝·m　　
B．y＝)·m
C．y＝0.9550-x·m
D．y＝(1－0.0550-x)·m
A　[设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%．由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝，所以从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝·m．]
4．某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________．
1.0211　[设1月份利润为x，则12月份的利润y＝x(1＋2%)11＝kx，∴k＝1.0211．]
5．在一定范围内，某种产品的购买量y(单位：吨)与单价x(单位：元)之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________元．
860　[依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
由x＝800，y＝1 000及x＝700，y＝2 000，
可得k＝－10，b＝9 000，
即y＝－10x＋9 000，
将y＝400代入得x＝860(元)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．什么是数据拟合？
[提示]　数据拟合是研究变量之间的关系，并给出一种近似数学表达式的一种方法．
2．用数据拟合法如何建立函数模型？
[提示]　一般是先作出散点图，近而根据散点趋势选择相关模型予以拟合．
3．函数模型的应用举例主要包括哪些方面？
[提示]　(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
课时分层作业(四十四)　函数的实际应用
一、选择题
1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(　　)
A．y＝2x　　　　　　 B．y＝2x-1
C．y＝2x D．y＝2x+1
D　[分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后得到4×2＝23个，……，分裂x次后得到y＝2x+1个．]
2．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列函数模型中可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化规律的是(　　)
A．y＝mx2＋n(m>0)
B．y＝mx＋n(m>0)
C．y＝max＋n(m>0，a>0，a≠1)
D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)
C　[由函数的图象可知，符合条件的只有指数函数模型y＝max＋n，其中m>0，03．有一组实验数据如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
C　[散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C．]
4．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)
A．y＝100x　 B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x 　 D．y＝100log2x＋100
C　[根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C．]
5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt．已知新丸经过50天后，体积变为．若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)
A．60　　　 B．75
C．90　　　 D．100
B　[由已知，得a＝a·e-50k，∴e－k＝．
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝，∴＝＝，∴＝，t1＝75．]
二、填空题
6．已测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1．若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
甲　[对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．]
7．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km．
9　[设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9．]
8．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若最初含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
8　[设至少过滤n次才能达到市场需求，则
2%≤0.1%，即，
所以n lg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8．]
三、解答题
9．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最适合反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt，并求出具体函数；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[解]　(1)由所提供的数据可知，种植成本Q随t的增大先变小，后变大，而函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，
可得
解得a＝，b＝－，c＝．
所以反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋，t>0．
(2)由(1)可得，函数Q的图象为开口向上，对称轴为t＝－＝150的抛物线，
所以当t＝150(天)时，芦荟种植成本最低，最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)．
10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的．
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[解]　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0即(1－x)10＝，
解得x＝1－．
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，
即＝，＝，
解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，再砍伐n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n．
令a(1－x)n≥a，
即(1－x)n≥，
解得n≤15．故今后最多还能砍伐15年．
11．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天定价 200元 180元 160元 140元
住房率 65% 75% 85% 95%
要使每天收入达到最高，则每间应定价为(　　)
A．200元　　　　　　 B．180元
C．160元 D．140元
C　[每天的收入在四种情况下分别为200×65%×100＝13 000(元)，180×75%×100＝13 500(元)，160×85%×100＝13 600(元)，140×95%×100＝13 300(元)．故每间应定价为160元．]
12．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10-10.1
A　[根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26.7，m2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，把m1与m2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝lg ，得lg ＝10.1，所以＝1010.1，故选A．]
13．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
60，16　[因为组装第A件产品用时15分钟，
所以＝15，①
所以必有4联立①②解得c＝60，A＝16．]
14．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝a lg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
　[由记录的部分数据可知
x＝1.6×1019时，y＝5.0，
x＝3.2×1019时，y＝5.2．
所以5.0＝a lg (1.6×1019)＋b，①
5.2＝a lg (3.2×1019)＋b，②
②－①得0.2＝a lg ，0.2＝a lg 2．
所以a＝≈＝．]
15．已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(单位：万美元)关于年产量x(单位：万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
[解]　(1)当0＜x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝＋384x－40；
当x＞40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360．
所以W＝
(2)①当0＜x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6 104，
所以Wmax＝W(32)＝6 104．
②当x＞40时，W＝－－16x＋7 360＝7 360－≤7 360－2＝5 760，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，等号成立，
即W的最大值为5 760．
综上可知，当年产量为32万部时，取得最大利润，为6 104万美元．
1 / 188.2.2　函数的实际应用
学习任务 核心素养
1．了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点) 2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用．(重点) 通过学习本节内容，提升数学建模和数学运算的核心素养．
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题．
某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000 m2，该中心每块球场的建设面积为1 000 m2，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关．当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用函数f(x)＝400来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
生活中经常会遇到这种成本最低、利润最高等问题，如何处理这些问题呢？
知识点　函数的实际应用
1．常见的函数模型
(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)；
(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；
(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；
(6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；
(7)分段函数模型；
(8)对勾函数模型：f(x)＝x＋．
“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质
①该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
②当x>0时，x＝时取最小值2；
当x<0时，x＝－时取最大值－2．
2．解决实际问题的一般流程
―→―→―→
其中建立数学模型是关键．
3．用函数模型解决实际问题的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质． (　　)
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性． (　　)
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了． (　　)
2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(单位：只)与时间x(单位：年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2019年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2025年冬有越冬白鹤(　　)
A．4 000只 B．5 000只
C．6 000只 D．7 000只
类型1　利用已知函数模型解实际问题
【例1】【链接教材P241例4】
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，有以下公式：
f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
[跟进训练]
1．科学家发现某种特别物质的温度y(单位：℃)随时间x(单位：min)的变化规律满足关系式：y＝m·2x＋21-x(0≤x≤4，m＞0)．
(1)若m＝2，求经过多少分钟，该物质的温度为5 ℃；
(2)如果该物质温度总不低于2 ℃，求m的取值范围．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】【链接教材P240例3】
牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”，又如何表示出y关于x的函数解析式？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
[跟进训练]
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有数量约1 000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大致数量；
(2)写出y(珍稀鸟类的数量)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的数量达到现有数量的3倍或以上？(结果保留整数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　拟合数据构建函数模型解决实际问题
【例3】某企业常年生产一种出口产品，自2019年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2019年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2019～2022年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2024年(即x＝6)因受到某种因素的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2024年的年产量为多少？
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
[跟进训练]
3．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高 /cm 60 70 80 90 100 110
体重 /kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50
身高 /cm 120 130 140 150 160 170
体重 /kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．已知：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋　　　　　　　 B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logb x D．y＝a·bx
2．根据日常生活中的四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出散点图(如选项图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是(　　)
A　　　B　　　C　　　　D
3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝·m　　
B．y＝)·m
C．y＝0.9550-x·m
D．y＝(1－0.0550-x)·m
4．某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________．
5．在一定范围内，某种产品的购买量y(单位：吨)与单价x(单位：元)之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________元．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．什么是数据拟合？
2．用数据拟合法如何建立函数模型？
3．函数模型的应用举例主要包括哪些方面？
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