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1.1　集合的概念与表示
第1课时　集合的概念
学习任务 核心素养
1．通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点) 1．通过集合概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养．
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类……
你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类．
知识点1　元素与集合的概念
(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．
(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性．反过来一组对象若不具备这三个特性中任何一个，则这组对象不能构成集合．集合中元素的三个特性是判断一组对象能否构成集合的重要依据．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)接近于－1的数可以组成集合． (　　)
(2)一个集合中可以找到两个相同的元素． (　　)
(3)组成集合的元素一定是数． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
知识点2　元素与集合
1．元素与集合的表示
(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．
2．元素与集合的关系
(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．
(2)不属于(符号： 或)，a不是集合A中的元素，记作a A或aA，读作“a不属于A”．
2．已知集合A中有两个元素2和a－1且3∈A，则实数a＝________．
4　[由题意知a－1＝3，即a＝4．]
知识点3　常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
3．用“∈”或“ ”填空．
3.5________N；－4________Z；0.5________R；
________N*；________Q．
　∈　∈　 　∈　[因为3.5不是自然数，故3.5 N；
因为－4是整数，故－4∈Z；
因为0.5是实数，故0.5∈R；
因为不是正整数，故 N*；
因为是有理数，故∈Q．]
类型1　集合的概念
【例1】(1)观察下列每组对象，能构成集合的是(　　)
①中国各地的美丽乡村；
②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
(2)下列说法中，正确的有________．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
(1)B　(2)②　[(1)①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③中的元素标准明确，均可构成集合，故选B．
(2)①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3．
②正确．集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．
③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．]
　判断一组对象为集合的依据
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
[跟进训练]
1．判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－2＝0在实数范围内的解；
(3)某校2025年在校的所有高个子同学；
(4)的近似值的全体．
[解]　(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．
(2)能构成集合．
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数(如“2”)是不是它的近似值，所以不能构成集合．
类型2　元素与集合的关系
【例2】(1)下列所给关系正确的个数是(　　)
①π∈R；②∈R；③ Q；④0∈N*；⑤|－2|∈Z．
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)已知集合A含有三个元素2，4，6，当a∈A，有6－a∈A．则a的值为________．
(1)C　(2)2或4　[(1)π是无理数，∴π∈R，故①正确．是无理数，∴∈R，②正确．是无理数，∴ Q，③正确．0是自然数，是非负整数，0∈N，故④错误．|－2|＝2∈Z，⑤正确．故选C．
(2)集合A含有三个元素2，4，6且当a∈A，有6－a∈A．
a＝2∈A，6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，所以a＝4．综上所述，a＝2或4．]
　判断元素与集合关系的方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
[跟进训练]
2．(1)用符号“∈”或“ ”填空：
①设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国________A，美国________A，印度________A，英国________A；
②若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；
③若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3______B；
④若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8__________C，
9.1________C．
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，求集合A中的元素个数．
(1)①∈　 　∈　 　② 　③ 　④∈　
(2)[解]　∵∈N，
∴3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6，
即x＝2或1或0或－3．又x∈N，故x＝0或1或2，即集合A中的元素个数为3．
类型3　集合中元素的特性及应用
【例3】(1)已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
(2)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求a的值．
[解]　(1)由题意可知，a＝1或a2＝a．
①若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1．
②若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)．又当a＝0时，A中含有元素1和0满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0．
(2)若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1．
①当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1．
②当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性．
所以a＝－1．
　由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
[跟进训练]
3．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
[解]　因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．
若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3和－1，符合要求．
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合要求．
综上所述，a的值为0或－1．
1．下列给出的对象中，能组成集合的是(　　)
A．一切很大的数　　　　 B．好心人
C．漂亮的小女孩 D．方程x2－1＝0的实数根
D　[“很大”“好心人”“漂亮”的标准不明确，不符合确定性．故选D．]
2．(教材P8习题1.1T1改编)下列结论不正确的是(　　)
A．0∈N B． Q
C．0 Q D．8∈Z
C　[0是有理数，故0∈Q，所以C错误．]
3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
A　[由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．]
4．若集合A中的元素是由方程x2－2x－3＝0的解构成的，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________．
2　[因为方程x2－2x－3＝0的解为3和－1，所以a＋b＝2．]
5．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则m＝________．
3　[由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0．这与m2－3m＋2≠0相矛盾．若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时与m≠0相矛盾．
当m＝3时，集合中含有3个元素0，2，3．
故m的值为3．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．元素与集合是怎样定义的？它们之间的关系是什么？
[提示]　一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素．元素与集合之间为属于(或不属于)关系．
2．利用集合中元素的特性解题时应注意什么？
[提示]　不要忽视集合中元素的互异性．
课时分层作业(一)　集合的概念
一、选择题
1．以下各组对象不能组成集合的是(　　)
A．中国古代四大发明
B．地球上的小河流
C．方程x2－7＝0的实数解
D．周长为10 cm的三角形
B　[因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．]
2．(多选题)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)
A．3.14 B．π
C． D．
BD　[由题意知a应为无理数，故a可以为，也可以为π．]
3．有下列说法：
①集合N中最小的数为1；②若－a∈N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
A　[N中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N，而－2 N可知②错；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A．]
4．已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是(　　)
A．3∈A且－3 A B．3∈A且－3∈A
C．3 A且－3 A D．3 A且－3∈A
D　[∵3－1＝2>，∴3 A，
又－3－1＝－4<，∴－3∈A．]
5．设不等式x－a>0的解集为集合P，若2 P，则a的取值范围是(　　)
A．a≥2 B．a>2
C．a≥1 D．a>1
A　[因为2 P，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2．]
二、填空题
6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的．若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“ ”)
　∈　[∵a是偶数，b是奇数，∴a＋b是奇数，ab是偶数．
故a＋b A，ab∈A．]
7．设直线y＝2x＋3上的点的集合为P，则点(1，5)与集合P的关系是________，点(2，6)与集合P的关系是________．
(1，5)∈P　(2，6) P　[点(1，5)在直线y＝2x＋3上，点(2，6)不在直线y＝2x＋3上．]
8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且26　[∵x∈N，2三、解答题
9．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
[解]　∵a∈A且3a∈A，
∴解得a<2．又a∈N，
∴a＝0或1．
10．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x．
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
[解]　(1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3．
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2．
由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2．
经检验，知x＝－2符合互异性．故x＝－2．
11．(多选题)已知x，y为非零实数，代数式的值组成的集合为M，则M中的元素可能为(　　)
A．1 B．3
C．－1 D．－3
BC　[①当x，y均为正数时，代数式的值为3；②当x，y为一正一负时，代数式的值为－1；③当x，y均为负数时，代数式的值为－1，所以集合M的元素有－1，3．]
12．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是(　　)
A．1∈M B．0∈M
C．－1∈M D．－2∈M
C　[由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2．
所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2．
故方程的另一根为－1．故选C．]
13．已知集合P中含有0，2，5三个元素，集合Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素为a＋b，其中a∈P，b∈Q，则集合P＋Q中所有元素的和为________．
42　[由a∈P，b∈Q得a＋b的取值分别为1，2，3，4，6，7，8，11．
故集合P＋Q中所有元素的和为42．]
14．已知集合A中的元素满足x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈”或“ ”)
[答案]　∈　∈
15．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
[证明]　(1)若a∈A，则∈A．
∵2∈A，∴＝－1∈A．
∵－1∈A，∴＝∈A．
∵∈A，∴＝2∈A．
∴A中还有另外两个元素．
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，
∴集合A不可能是单元素集．
1 / 101.1　集合的概念与表示
第1课时　集合的概念
学习任务 核心素养
1．通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点) 1．通过集合概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养．
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类……
你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类．
知识点1　元素与集合的概念
(1)一般地，一定范围内某些________、________对象的全体组成一个集合．集合中的________对象称为该集合的元素，简称元．
(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性．反过来一组对象若不具备这三个特性中任何一个，则这组对象不能构成集合．集合中元素的三个特性是判断一组对象能否构成集合的重要依据．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)接近于－1的数可以组成集合． (　　)
(2)一个集合中可以找到两个相同的元素． (　　)
(3)组成集合的元素一定是数． (　　)
知识点2　元素与集合
1．元素与集合的表示
(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．
2．元素与集合的关系
(1)属于(符号：____)，a是集合A中的元素，记作______，读作“a属于A”．
(2)不属于(符号：____或__)，a不是集合A中的元素，记作______或aA，读作“a不属于A”．
2．已知集合A中有两个元素2和a－1且3∈A，则实数a＝________．
知识点3　常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ___ _____或_____ ___ ___ ___
3．用“∈”或“ ”填空．
3.5________N；－4________Z；0.5________R；
________N*；________Q．
类型1　集合的概念
【例1】(1)观察下列每组对象，能构成集合的是(　　)
①中国各地的美丽乡村；
②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
(2)下列说法中，正确的有________．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　判断一组对象为集合的依据
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
[跟进训练]
1．判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－2＝0在实数范围内的解；
(3)某校2025年在校的所有高个子同学；
(4)的近似值的全体．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　元素与集合的关系
【例2】(1)下列所给关系正确的个数是(　　)
①π∈R；②∈R；③ Q；④0∈N*；⑤|－2|∈Z．
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)已知集合A含有三个元素2，4，6，当a∈A，有6－a∈A．则a的值为________．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　判断元素与集合关系的方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
[跟进训练]
2．(1)用符号“∈”或“ ”填空：
①设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国________A，美国________A，印度________A，英国________A；
②若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；
③若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3______B；
④若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8__________C，
9.1________C．
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，求集合A中的元素个数．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　集合中元素的特性及应用
【例3】(1)已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
(2)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求a的值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
[跟进训练]
3．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．下列给出的对象中，能组成集合的是(　　)
A．一切很大的数　　　　 B．好心人
C．漂亮的小女孩 D．方程x2－1＝0的实数根
2．(教材P8习题1.1T1改编)下列结论不正确的是(　　)
A．0∈N B． Q
C．0 Q D．8∈Z
3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
4．若集合A中的元素是由方程x2－2x－3＝0的解构成的，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________．
5．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则m＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．元素与集合是怎样定义的？它们之间的关系是什么？
合中的每一个对象称为该集合的元素．元素与集合之间为属于(或不属于)关系．
2．利用集合中元素的特性解题时应注意什么？
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