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第2课时　全集、补集
学习任务 核心素养
1．了解全集的意义，理解补集的含义．(重点) 2．能在给定全集的基础上求已知集合的补集． (难点) 1．通过补集的运算，培养数学运算素养． 2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养．
某学习小组学生的集合为S＝{甲，乙，丙，丁}，其中在学校应用文写作比赛与数学建模大赛中获得过奖的学生集合为A＝{甲，乙}，那么没有获奖的学生有哪些？若用集合B表示没有获奖的同学，则集合B与S，集合A、B和S之间有怎样的关系？
知识点1　补集
(1)定义：设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为 SA(读作“A在S中的补集”)．
(2)符号表示
SA＝{x|x∈S，且x A}．
(3)图形表示
(4)补集的性质
① S ＝S，② SS＝ ，③ S( SA)＝A．
知识点2　全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U．
两个不同的集合A、B在同一个全集U中的补集可能相等吗？
[提示]　不可能相等．因为集合A、B是两个不同的集合，所以必定存在元素在集合A的补集中，但不在集合B的补集中．
补集符号 SA有三层含义：
(1)A是S的一个子集，即A S；
(2) SA表示一个集合，且 SA S；
(3) SA是S中所有不属于A的元素构成的集合．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全集一定含有任何元素． (　　)
(2)集合 RA＝ QA． (　　)
(3)一个集合的补集一定含有元素． (　　)
(4)研究A在S中的补集时，A可以不是S的子集． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．已知全集U＝{－1，0，1}，且 UA＝{0}，则A＝(　　)
A．{－1，1}　　 B．{－1，0，1}
C．{0，1} D．{－1，0}
A　[∵U＝{－1，0，1}， UA＝{0}，
∴A＝{－1，1}．]
3．若集合A＝{x|x>1}，则 RA＝________．
{x|x≤1}　[∵A＝{x|x>1}，
∴ RA＝{x|x≤1}．]
类型1　全集与补集
【例1】【链接教材P10例4】
(1)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，则集合B＝________．
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则 UA＝________．
(1){2，3，5，7}　(2){x|x<－3或x＝5}　[(1)∵A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}，∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}．
又 UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}．
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集定义可得 UA＝{x|x<－3或x＝5}．]
【教材原题·P10例4】
例4设全集U＝R，不等式组的解集为A，试求A及 UA，并把它们分别表示在数轴上．
解：A＝{x|2x－1>0，且3x－6≤0}＝，
UA＝，在数轴上分别表示如下(图1-2-4)．
　常见补集的求解方法
(1)列举求解．适用于全集U和集合A可以列举的简单集合．
(2)画数轴求解．适用于全集U和集合A是不等式的解集．
(3)利用Venn图求解．
[跟进训练]
1．(1)若全集U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，则 UA等于(　　)
A．{x|0C．{x|0(2)设全集U＝{1，2，6，8，9}，集合A＝{1，|a－6|，9}， UA＝{6，8}，则a的值是(　　)
A．4 B．8
C．－4或8 D．4或8
(1)C　(2)D　[(1)∵U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，∴ UA＝{x|0(2)A＝ U( UA)＝{1，2，9}＝{1，|a－6|，9}，
∴|a－6|＝2，解得a＝4或8，故选D．]
类型2　补集与子集的综合应用
【例2】已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A UB，求实数a的取值范围．
[思路点拨]　首先应对B是否为空集进行讨论，得出 UB，然后再利用A UB得关于a的不等式求解即可．
[解]　若B＝ ，则a＋1>2a－1，所以a<2．
此时 UB＝R，所以A UB；
若B≠ ，则a＋1≤2a－1，即a≥2，
此时 UB＝{x|x2a－1}，
由于A UB，如图，
则a＋1>5，所以a>4．
所以实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}．
[母题探究]
(变条件)若将本例中的“A UB”改为“B UA”，求实数a的取值范围．
[解]　 UA＝{x|x<－2或x>5}．
因为B UA，
当a＋1>2a－1，即a<2时，B＝ ，B UA．
当a＋1≤2a－1，即a≥2时，B≠ ．
所以2a－1<－2或a＋1>5，即a>4．
综上，实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}．
　1．解决此类问题应注意以下几点
(1)空集作为特殊情况，不能忽略；
(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；
(3)端点值能否取到，应注意分析．
2．U是由集合A与 UA的全体元素所构成，对于某一个元素a，a∈A与a∈ UA中恰好只有一个成立，即集合中的元素具有确定性．
[跟进训练]
2．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2(1)求 UA， UB；
(2)若集合C＝{x|x>a}，A C，求a的取值范围．
[解]　(1)因为A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2所以借助于数轴知 UA＝{x|x<3，或x≥10}，
UB＝{x|x≤2，或x>7}．
(2)要使A C，只需a<3即可．
所以a的取值范围为{a|a<3}．
1．设全集为U，M＝{0，2，4}， UM＝{6}，则U等于(　　)
A．{0，2，4，6}　　　　　 B．{0，2，4}
C．{6} D．
A　[∵M＝{0，2，4}， UM＝{6}，
∴U＝{0，2，4，6}，故选A．]
2．(多选题)设集合S＝{x|x>－2}，集合A RS，则集合A中的元素可能是(　　)
A．－2　　　　B．2　　　　C．－3　　　　D．3
AC　[因为S＝{x|x>－2}，
所以 RS＝{x|x≤－2}，结合选项知选AC．]
3．已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}．用列举法表示集合 SA＝________．
{(0，0)}　[ SA＝{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0，0)}．]
4．已知集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，B＝{x|4{3，4}　[由题意知A＝{3，4，5，6，7}，B＝{5，6，7}，∴ AB＝{3，4}．]
5．(教材P11习题1.2T4(1)改编)已知U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，m}，且 UA＝{1，3，5}，则m＝________．
4　[由已知m∈U，且m UA，故m＝2或4．
又A＝{2，m}，由元素的互异性知m≠2，故m＝4．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．求集合的补集前提是什么？同一集合在不同全集下的补集相同吗？
[提示]　求集合的补集前提是必须明确全集．同一集合在不同全集下的补集不同．
2．本节课主要学习哪些内容？通过内容的学习，哪些核心素养有所提高？
[提示]　补集和全集的概念及运算．数学运算．
3．本节课主要运用了哪些数学方法？你认为哪些地方易出错？
[提示]　数形结合．求补集时忽视全集，求参数时忽视端点的取舍．
课时分层作业(四)　全集、补集
一、选择题
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|1A． B．{1，2，5}
C．{1，5} D．{1，4，5}
C　[∵12．设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，a－5}，M U， UM＝{5，7}，则实数a＝(　　)
A．3 B．5
C．7 D．8
D　[由题知a－5＝3，a＝8．]
3．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
C　[∵ U( UA)＝{x|3≤x≤4}＝A＝{x|a≤x≤b}，∴a＝3，b＝4，∴a＋b＝7．]
4．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则 UP等于(　　)
A．{x|0≤x<1或x>1} B．{x|x<1}
C．{x|x<1或x>1} D．{x|x>1}
A　[因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以 UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．]
5．已知全集U，M，N是U的非空子集，且 UM N，则必有(　　)
A．M UN B． UN M
C． UM＝ UN D．M N
A　[依据题意画出Venn图，
观察可知，M UN．]
二、填空题
6．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}．则 UA与 UB的包含关系是________．
UA? UB　[由题意 UA＝{x|x<0}， UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}，故 UA? UB．]
7．已知全集A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}．则集合B＝________， AB＝________．
{－2，－1}　{0，1，2}　[全集A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}＝{－2，－1}．
∴ AB＝{0，1，2}．]
8．已知全集U＝{2, 0, 3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}， UP＝{－1}，则实数a的值为________．
2　[由已知，得－1∈U，且－1 P，
因此解得a＝2． 当a＝2时，U＝{2，0，－1}，P＝{2，0}， UP＝{－1}，满足题意．因此实数a的值为2．]
三、解答题
9．已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4，6}，且集合A，B均是U的子集．
(1)若 U( UB)＝{0，1}，求实数a的值；
(2)若 UA＝{3，4}，求实数a的值．
[解]　(1)∵ U( UB)＝{0，1}，
∴B＝{0，1}，且B U，
∴得a无解；
或得a＝2．
∴a＝2．
(2)∵ UA＝{3，4}，又 UA U，
∴|a－1|＝3或(a－2)(a－1)＝3，
∴a＝4或a＝－2或a＝．
经验证，当a＝4时，不合题意，舍去．
∴所求实数a的值为－2或．
10．设全集U＝R，A＝{x|3m－1[解]　由题意知， UB＝{x|x≥3或x≤－1}．
①若A? UB，且A≠ 时，则3m－1≥3或2m≤－1，∴m≥或m≤－．
又A≠ ，∴3m－1<2m，
∴m<1，即m≤－．
②若A＝ ，则3m－1≥2m，得m≥1．
综上所述，实数m的取值范围是{m|m≤－或m≥1}．
11．已知集合A＝{x|x<－1或x>5}，C＝{x|x>a}，若 RA C，则a的取值范围为(　　)
A．a<－1 B．a≤－1
C．a<－2 D．a≤－2
A　[由题知 RA＝{x|－1≤x≤5}，要使 RA C，则a<－1，故选A.]
12．设全集U和集合A，B，P，满足A＝ UB，B＝ UP，则A与P的关系是(　　)
A．A＝P B．A P
C．P A D．A≠P
A　[由A＝ UB，得 UA＝B.
又∵B＝ UP，∴ UP＝ UA，即A＝P.]
13．设U＝{1，2，3，4}，A＝{x|x2－mx＋n＝0，x∈U}．若 UA＝{2，3}，则m＋n的值为________．
9　[因为 UA＝{2，3}，U＝{1，2，3，4}，
所以A＝{1，4}，即m＝1＋4＝5，n＝1×4＝4，所以m＋n＝9.]
14．设全集U＝{1，2，x2－2}，A＝{1，x}，则 UA＝________．
{2}　[若x＝2，则x2－2＝2与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍)，故U＝{1，2，－1}，A＝{1，－1}，则 UA＝{2}．]
15．我们知道，如果集合A S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 SA＝{x|x∈S，且x A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x B}叫作集合A与B的差集，记作A－B.据此回答下列问题：
(1)若A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，求A－B；
(2)在下列各图中用阴影部分表示集合A－B.
[解]　(1)若A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，
则由差集的定义可知A－B＝{1}．
(2)在下列各图中用阴影部分表示集合A－B如下．
9 / 9第2课时　全集、补集
学习任务 核心素养
1．了解全集的意义，理解补集的含义．(重点) 2．能在给定全集的基础上求已知集合的补集． (难点) 1．通过补集的运算，培养数学运算素养． 2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养．
某学习小组学生的集合为S＝{甲，乙，丙，丁}，其中在学校应用文写作比赛与数学建模大赛中获得过奖的学生集合为A＝{甲，乙}，那么没有获奖的学生有哪些？若用集合B表示没有获奖的同学，则集合B与S，集合A、B和S之间有怎样的关系？
知识点1　补集
(1)定义：设A S，由____________的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为 SA(读作“A在S中的补集”)．
(2)符号表示
SA＝_____________________．
(3)图形表示
(4)补集的性质
① S ＝___，② SS＝____，③ S( SA)＝___．
知识点2　全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的______元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U．
两个不同的集合A、B在同一个全集U中的补集可能相等吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
补集符号 SA有三层含义：
(1)A是S的一个子集，即A S；
(2) SA表示一个集合，且 SA S；
(3) SA是S中所有不属于A的元素构成的集合．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全集一定含有任何元素． (　　)
(2)集合 RA＝ QA． (　　)
(3)一个集合的补集一定含有元素． (　　)
(4)研究A在S中的补集时，A可以不是S的子集． (　　)
2．已知全集U＝{－1，0，1}，且 UA＝{0}，则A＝(　　)
A．{－1，1}　　 B．{－1，0，1}
C．{0，1} D．{－1，0}
3．若集合A＝{x|x>1}，则 RA＝________．
类型1　全集与补集
【例1】【链接教材P10例4】
(1)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，则集合B＝________．
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则 UA＝________．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　常见补集的求解方法
(1)列举求解．适用于全集U和集合A可以列举的简单集合．
(2)画数轴求解．适用于全集U和集合A是不等式的解集．
(3)利用Venn图求解．
[跟进训练]
1．(1)若全集U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，则 UA等于(　　)
A．{x|0C．{x|0(2)设全集U＝{1，2，6，8，9}，集合A＝{1，|a－6|，9}， UA＝{6，8}，则a的值是(　　)
A．4 B．8
C．－4或8 D．4或8
类型2　补集与子集的综合应用
【例2】已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A UB，求实数a的取值范围．
[思路点拨]　首先应对B是否为空集进行讨论，得出 UB，然后再利用A UB得关于a的不等式求解即可．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
(变条件)若将本例中的“A UB”改为“B UA”，求实数a的取值范围．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．解决此类问题应注意以下几点
(1)空集作为特殊情况，不能忽略；
(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；
(3)端点值能否取到，应注意分析．
2．U是由集合A与 UA的全体元素所构成，对于某一个元素a，a∈A与a∈ UA中恰好只有一个成立，即集合中的元素具有确定性．
[跟进训练]
2．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2(1)求 UA， UB；
(2)若集合C＝{x|x>a}，A C，求a的取值范围．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．设全集为U，M＝{0，2，4}， UM＝{6}，则U等于(　　)
A．{0，2，4，6}　　　　　 B．{0，2，4}
C．{6} D．
2．(多选题)设集合S＝{x|x>－2}，集合A RS，则集合A中的元素可能是(　　)
A．－2　　　　B．2　　　　C．－3　　　　D．3
3．已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}．用列举法表示集合 SA＝________．
4．已知集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，B＝{x|45．(教材P11习题1.2T4(1)改编)已知U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，m}，且 UA＝{1，3，5}，则m＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．求集合的补集前提是什么？同一集合在不同全集下的补集相同吗？
2．本节课主要学习哪些内容？通过内容的学习，哪些核心素养有所提高？
3．本节课主要运用了哪些数学方法？你认为哪些地方易出错？
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