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类型1　函数的零点与方程的根的关系及应用
根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．
从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．
【例1】(1)函数f(x)＝log3 [log2(4－2x)]的零点为________．
(2)函数g(x)＝lg x与f(x)＝x2－6x＋9的图象的交点个数为________，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，则n0＝________．
(1)1　(2)2　3　[(1)f(x)＝0时，log3[log2(4－2x)]＝0，则log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1．
(2)在同一个坐标系中作出f(x)和g(x)的图象，如图，易知交点有2个，设h(x)＝g(x)－f(x)，
∵h(2)＝lg 2－1<0，h(3)＝lg 3>0，h(4)＝lg 4－1<0，x0为最右侧交点，故x0∈(3，4)，∴n0＝3．
]
类型2　函数的零点的应用
函数的零点的应用很广泛，特别是在求参数的取值范围、函数在指定区间上的零点、方程的根的分布等诸多方面，与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数，也可以转化为相关的函数图象的交点的个数问题，通过数形结合，求出参数的取值范围．该类问题属于中档题，常与其他问题交汇命题．
【例2】若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，求实数a的取值范围．
[解]　因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，
所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．
方程a＝4x－2x可变形为a＝－，
因为x∈[－1，1]，所以2x∈，
所以－∈．
所以实数a的取值范围是．
类型3　构建函数模型解决实际问题
数学建模是学生必备的学科素养之一，主要培养和提升建模能力和实际应用能力，将是以后高考的重要内容，利用建模解决实际问题的主要步骤为．
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．即：
【例3】小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解]　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得，当0L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－．
所以L(x)＝
(2)当0此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9．
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2 ＝35－20＝15，当且仅当x＝时等号成立，
即x＝10时，L(x)取得最大值15．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
章末综合测评(八)　函数应用
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2．由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2．所以函数的零点个数为2．故选B．]
2．函数f(x)＝log2x＋3x－4的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
D　[因为函数y1＝log2x在区间(0，＋∞)上为增函数，函数y2＝3x－4为增函数，
所以，函数f(x)＝log2x＋3x－4在区间(0，＋∞)上为增函数，则该函数最多有一个零点，
又f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，
因此，函数f(x)＝log2x＋3x－4的零点所在的一个区间是(1，2)．故选D．]
3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的．经过x年，剩留的物质是原来的，则x为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
B　[先求剩留量y随时间x(年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y＝1×＝，经过2年，y＝＝，…，那么经过x年，则y＝．依题意得＝，解得x＝3．]
4．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．
时间 1 2 3 4
利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　)
A．y＝log2x B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝2x
B　[画出散点图(图略)，由散点图可知，这种空调的函数模型为y＝2x．]
5．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
A　[因为f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，
所以f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，所以函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．故选A．]
6．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，1]
D　[
作出函数f(x)的图象，由图象知，当07．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：
每户每月用水量 水价
不超过12 m3的部分 3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3
超过18 m3的部分 9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为(　　)
A．20 m3 B．18 m3
C．15 m3 D．14 m3
C　[设此户居民本月用水量为x m3，缴纳的水费为y元，
则当x∈[0，12]时，y＝3x≤36，不符合题意；
当x∈(12，18]时，y＝12×3＋(x－12)·6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合题意；
当x∈(18，＋∞)时，y＝12×3＋6×6＋(x－18)×9＝9x－90>72，不符合题意．
综上所述，此户居民本月用水量为15 m3．故选C．]
8．加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
B　[由题图可知，三点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)都在函数p＝at2＋bt＋c的图象上，
所以
解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2，
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2＋，因为t>0，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，
故此时的t＝3.75分钟为最佳加工时间，故选B．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)的零点叙述错误的是(　　)
A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点
B．函数f(x)必有一个零点是正数
C．当a<0时，函数f(x)有两个零点
D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点
ACD　[f(x)＝0 ex＝a＋，在同一坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，
可观察出A、C、D选项错误，应选ACD．]
10．设a为实数，则直线y＝a和函数y＝x4＋1的图象的公共点个数可以是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
ABC　[因为函数y＝x4＋1为定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，且函数的最小值为1，所以当a<1，a＝1，a>1时，直线y＝a和函数y＝x4＋1的图象的公共点个数分别为0，1，2．故选ABC．]
11．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据：lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301)(　　)
A．2023年 B．2024年
C．2025年 D．2026年
CD　[设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，
则投入的资金为y＝5 000×(1＋20%)n，
由题意可得：y＝5 000×(1＋20%)n>12 800，
即1.2n>2.56，
∴n lg 1.2>lg 2.56＝lg 28－2，
∴n>≈≈5.16，
∵n∈Z，∴n≥6，
即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，故选CD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数f(x)＝x＋2x－10的零点所在区间为(n，n＋1)，n∈Z，则n＝________．
2　[因为f(2)＝2＋4－10＝－4<0，f(3)＝3＋8－10＝1>0, 所以f(2)f(3)<0，
由函数零点存在定理知函数f(x)＝x＋2x－10在区间(2，3)上有零点，所以n＝2．]
13．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2．x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则[x0]等于________．
2　[∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．由f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2．]
14．已知函数f(x)＝ 其中a>0，且a≠1，若函数y＝f(x)－1有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1＋x2＋x3>0，则实数a的取值范围是________．
　[如图所示，当a>1时，函数y＝f－1有2个不同的零点，不满足；
当0－2．
ax－1＝1，故x＝loga2>－2，故0四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2 024x＋log2 024x，试确定f(x)在R上的零点个数．
[解]　∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0．
∵log2 024＝≈1，
log2 024＝>1，
∴f＜0，f＞0，
∴f(x)＝2 024x＋log2 024x在区间 内存在零点．
易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，
根据奇函数的对称性可知，
函数f(x)在(－∞，0)内有且只有一个零点．
综上可知，函数f(x)在R上的零点个数为3．
16．(15分)已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)求汽车行驶5小时与A地的距离．
[解]　(1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．
综上，s＝
其函数图象如图所示．
(2)当t＝5时，x＝325－50×5＝75，
即汽车行驶5小时离A地75 km．
17．(15分)某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取获得年奖金y∈[4，10](万元)，求年销售额x在什么范围内．
[解]　(1)依题意知y＝logax在x∈[8，64]上单调递增，由题意得所以a＝2，
所以y＝
(2)易知x≥8．当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，
则4≤log2x≤10，
所以16≤x≤1 024，
所以16≤x≤64．
当x>64时，要使y∈[4，10]，则∈[4，10]，
即40≤x≤100，所以64综上，当年销售额x在[16，100](万元)内时，年奖金y∈[4，10](万元)．
18．(17分) 已知函数f(x)＝1－(a>0，a≠1)且f(0)＝0．
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；
(3)当x∈(0，1)时，若f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　(1)由f(0)＝0得1－＝0，即a＋2＝4，解得a＝2．
(2)由(1)可知f(x)＝1－＝，函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点 方程2x－1＋k＝0有解，即k＝1－2x有解，
∵1－2x∈(－∞，1)，∴k∈(－∞，1)．
(3)∵f(x)＝，由f(x)>m·2x－2得
m(2x)2＋(m－3)2x－1<0，
令t＝2x，∵x∈(0，1)，∴t∈(1，2)，
即f(x)>m·2x－2 mt2＋(m－3)t－1<0对于t∈(1，2)恒成立，
设g(t)＝mt2＋(m－3)t－1，
①当m<0时，m－3<0，∴g(t)＝mt2＋(m－3)t－1<0在(1，2)上恒成立．∴m<0符合题意；
②当m＝0时，g(t)＝－3t－1<0在(1，2)上恒成立，
∴m＝0符合题意；
③当m>0时，只需
m≤，
∴0综上所述，m的取值范围是．
19．(17分)某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
[解]　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．
图(1)　　　　　　　　图(2)
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示，
取(4，2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，
所以y＝－0.15(x－4)2＋2．
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示．
设y＝kx＋b，取点(1，0.25)和(4，1)代入，
得解得
所以y＝0.25x．
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x．
设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
那么
所以W＝－0.15＋0.15×＋2.6．
当xA＝≈3.2(万元)时，W取得最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.1万元．
1 / 12类型1　函数的零点与方程的根的关系及应用
根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．
从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．
【例1】(1)函数f(x)＝log3 [log2(4－2x)]的零点为________．
(2)函数g(x)＝lg x与f(x)＝x2－6x＋9的图象的交点个数为________，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，则n0＝________．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　函数的零点的应用
函数的零点的应用很广泛，特别是在求参数的取值范围、函数在指定区间上的零点、方程的根的分布等诸多方面，与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数，也可以转化为相关的函数图象的交点的个数问题，通过数形结合，求出参数的取值范围．该类问题属于中档题，常与其他问题交汇命题．
【例2】若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，求实数a的取值范围．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　构建函数模型解决实际问题
数学建模是学生必备的学科素养之一，主要培养和提升建模能力和实际应用能力，将是以后高考的重要内容，利用建模解决实际问题的主要步骤为．
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．即：
【例3】小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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