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2.2　充分条件、必要条件、充要条件
学习任务 核心素养
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3．理解性质定理、判定定理和定义与充分条件和必要条件之间的关系．(重点) 4．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养．
“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？
(1)“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”(《中国青年报》)．
(2)“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”(《人民日报》)．
(3)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”(《人民日报》)．
知识点1　充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p____q p___q
条件关系 p是q的______条件 q是p的______条件 p不是q的______条件 q不是p的______条件
“p q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q对p的成立是必要的．
1．(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？
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1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　)
(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立． (　　)
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立． (　　)
知识点2　充要条件
(1)如果p q，且______，那么称p是q的____________条件，简称p是q的______条件．
为了方便起见，p是q的充要条件，就记作______，称为“p与q等价”或“p等价于q”．“ ”和“ ”都具有传递性，即
①如果p q，q s，则p s；
②如果p q, q s，则p s．
(2)若p q，但q p，则称p是q的充分且不必要条件．
(3)若q p，但p q，则称p是q的必要且不充分条件．
(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分又不必要条件．
2．(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
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知识点3　性质定理和判定定理与充分必要条件的关系
(1)性质定理是指某类对象具有的__________，所以性质定理具有“________”；
(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的__________，所以判定定理具有“________”；
(3)数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质．即数学中的定义具有“充要性”．
2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　)
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
类型1　充分条件、必要条件的判断
【例1】指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：a＞b，q：ac＞bc．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　定义法判断充分条件、必要条件
(1)确定谁是条件，谁是结论．
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
[跟进训练]
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0．
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类型2　充要条件的探求与证明
【例2】已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是不是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．
[跟进训练]
2．试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．
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类型3　充分条件与必要条件及充要条件的应用
【例3】已知p：实数x满足3a[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，其他条件不变，求实数a的取值范围．
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2．将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
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　充分条件与必要条件的应用与技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[跟进训练]
3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分且不必要条件，求实数m的取值范围．
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1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．(多选题)使x>3成立的充分条件是(　　)
A．x>4 B．x>5
C．x>2 D．x>1
3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．充分条件、必要条件及充要条件的判断方法有哪些？
2．你是怎样研究充分条件、必要条件及充要条件的？
4 / 72.2　充分条件、必要条件、充要条件
学习任务 核心素养
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3．理解性质定理、判定定理和定义与充分条件和必要条件之间的关系．(重点) 4．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养．
“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？
(1)“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”(《中国青年报》)．
(2)“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”(《人民日报》)．
(3)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”(《人民日报》)．
知识点1　充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
“p q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q对p的成立是必要的．
1．(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？
[提示]　(1)相同，都是p q．(2)等价．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　)
(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立． (　　)
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
知识点2　充要条件
(1)如果p q，且q p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件．
为了方便起见，p是q的充要条件，就记作p q，称为“p与q等价”或“p等价于q”．“ ”和“ ”都具有传递性，即
①如果p q，q s，则p s；
②如果p q, q s，则p s．
(2)若p q，但q p，则称p是q的充分且不必要条件．
(3)若q p，但p q，则称p是q的必要且不充分条件．
(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分又不必要条件．
2．(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q．
(2)①若p是q的充要条件，则由p q证的是充分性，由q p证的是必要性．
②若p的充要条件是q，则由p q证的是必要性，由q p证的是充分性．
知识点3　性质定理和判定定理与充分必要条件的关系
(1)性质定理是指某类对象具有的具体特征，所以性质定理具有“必要性”；
(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征，所以判定定理具有“充分性”；
(3)数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质．即数学中的定义具有“充要性”．
2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　)
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
C　[两直线平行，同位角相等．两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行．]
类型1　充分条件、必要条件的判断
【例1】指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：a＞b，q：ac＞bc．
[解]　(1)x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，
但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，
故p是q的充分且不必要条件．
(2)两个三角形相似 两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，故p是q的必要且不充分条件．
(3)a＞b ac＞bc，且ac＞bc a＞b，
故p是q的既不充分又不必要条件．
　定义法判断充分条件、必要条件
(1)确定谁是条件，谁是结论．
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
[跟进训练]
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0．
[解]　(1)因为四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形 四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分又不必要条件．
(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分且不必要条件．
类型2　充要条件的探求与证明
【例2】已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1．
[证明]　充分性：若a2－b2＝1成立，则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．
必要性：若a4－b4－2b2＝1成立，则a4－(b2＋1)2＝0，即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0．
因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1．
所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的必要条件．
综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件为a2－b2＝1．
　充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是不是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．
[跟进训练]
2．试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．
[证明]　①必要性：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0．
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．
类型3　充分条件与必要条件及充要条件的应用
【例3】已知p：实数x满足3a[解]　p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，
所以所以－≤a<0，
所以a的取值范围是．
[母题探究]
1．将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，其他条件不变，求实数a的取值范围．
[解]　p：aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为q p，所以B A，
所以所以a∈ ．
2．将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
[解]　p：3aq：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．
因为p是q的充分条件，所以p q，所以A B，
所以
所以－1≤a<0．
所以a的取值范围是[－1，0)．
　充分条件与必要条件的应用与技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[跟进训练]
3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分且不必要条件，求实数m的取值范围．
[解]　因为p是q的充分且不必要条件，
所以p q且q p．
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或
解得m≥9．
所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．
1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
A　[由“x>0” “x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分且不必要条件．]
2．(多选题)使x>3成立的充分条件是(　　)
A．x>4 B．x>5
C．x>2 D．x>1
AB　[x>4 x>3，x>5 x>3，其他选项不可推出x>3．]
3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
A　[因为x≥2且y≥2 x2＋y2≥4, x2＋y2≥4 x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分且不必要条件．]
4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
(－∞，1]　[因为x>1 x>a，所以a≤1．]
5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．
必要　充分　[由于x＝0 x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．充分条件、必要条件及充要条件的判断方法有哪些？
[提示]　(1)定义法．(2)等价法．(3)利用集合间的关系．
2．你是怎样研究充分条件、必要条件及充要条件的？
[提示]　严格按照定义判断．若已知两个命题之间的关系求参数范围时，利用数轴求解，但要注意端点值．
课时分层作业(七)　充分条件、必要条件、充要条件
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
A　[∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A B”的充分且不必要条件．]
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　)
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B．]
3．下列条件中，是x2<4的必要且不充分条件的是(　　)
A．－2≤x≤2 B．－2C．0A　[由x2<4得－24．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
B　[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由“a2＝b2” “a2＋b2＝2ab”；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即“a2＋b2＝2ab” “a2＝b2”．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．
法二：因为“a2＝b2” “a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab” “a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．]
5．设x，y∈R，“x≠0且y≠0”的充分且不必要条件是(　　)
A．|x|＋|y|≠0 B．xy＞0
C．x2＋y2＝0 D．x＋y≠0
B　[对于A，取x＝1，y＝0可知|x|＋|y|≠0 x≠0且y≠0，不满足条件；
对于B，xy＞0 x≠0且y≠0，反之，取x＝1，y＝－1可知x≠0且y≠0 xy＞0，满足条件；
对于C，x2＋y2＝0 x＝y＝0 x≠0且y≠0，不满足条件；
对于D，取x＝1，y＝0可知，x＋y≠0x≠0且y≠0，不满足条件，故选B．]
二、填空题
6．下列说法不正确的是________．(填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2②　[②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．]
7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．
充要　[因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]
8．下列式子：
①a<0其中能使<成立的充分条件有______．(填序号)
①②④　[当a<0当b当b<0当0所以能使<成立的充分条件有①②④．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：A B，q：A∩B＝A；
(2)p：a＝b，q：|a|＝|b|；
(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
[解]　(1)因为命题“若A B，则A∩B＝A”为真命题，并且“若A∩B＝A，则A B”也为真命题，所以p是q的充要条件；
(2)因为“a＝b” “|a|＝|b|”，但是“|a|＝|b|”不能推出“a＝b”，例如，“|1|＝|－1|”，而“1≠－1”，所以p是q的充分且不必要条件；
(3)因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？
[解]　(1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，
则只要 {x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2．
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3} ，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．
11．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
A　[
因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 丙，如图．综上，有丙 甲，但甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．]
12．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　 )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件又不是“x∈A”的必要条件
B　[由A∪B＝C且B不是A的子集知，x∈A x∈C，x∈C x∈A，所以x∈C是x∈A的必要且不充分条件．]
13．若A＝{x|a3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为________．
{a|a≤－3或a≥3}　[因为A是B的充分条件，
所以A B，
又A＝{x|a3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，
所以实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥3}．]
14．已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分且不必要条件，则实数m的取值范围是________．
{m|03}，B＝{x|x<－m＋1或x>m＋1}，
因为条件p是条件q的充分且不必要条件，即集合A是集合B的真子集，
所以或
解得m<2，
又m>0，所以实数m的取值范围是{m|015．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
[证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0．
①证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0．
②证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0，
∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
综上，方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．
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