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3.2　基本不等式(a，b≥0)
3.2.1　基本不等式的证明
学习任务 核心素养
1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点) 1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式求简单的最值问题，提升数学运算素养．
某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．甲方案是第一次打p折销售，第二次打q折销售，乙方案是第一次打q折销售，第二次打p折销售，丙方案是两次都打折销售．请问哪一种方案降价最多？
知识点1　算术平均数、几何平均数与基本不等式
(1)算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把__称为a，b的算术平均数，__称为a，b的几何平均数．
(2)基本不等式
如果a，b是正数，那么____(当且仅当______时，等号成立)，我们把不等式__(a，b≥0)称为基本不等式．
1．如何证明不等式(a，b≥0)
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________，此时x＝________，y＝________．
知识点2　两个重要的不等式
若a，b∈R，则
(1)ab≤，即a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)；
(2)ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．
2．当a、b满足什么条件时，a2＋b2＝2ab？a2＋b2>2ab
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．
知识点3　应用基本不等式求最值
在运用基本不等式求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”．
一正： a，b是正数．
二定：①和a＋b一定时，由变形得ab≤，即积ab有最大值__；
②积ab一定时，由变形得a＋b≥2，即和a＋b有最小值___．
三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．
3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　)
(2)若a>2，则a＋≥2＝2． (　　)
(3)若a>0，b>0，则ab≤． (　　)
类型1　对基本不等式的理解
【例1】给出下面三个推导过程：
①因为a，b为正实数，所以≥2＝2；
②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；
③因为x，y∈R，xy＜0，所以＝－≤－2＝－2．
其中正确的推导为(　　)
A．①②　　　　　　 B．①③
C．②③ D．①②③
　1．基本不等式(a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是非负数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，的等号成立，即＝ a＝b．
[跟进训练]
1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若x＞0，则x＋≥2＝2；
②若x＜0，则x＋＝－≤
－2＝－4；
③若a，b∈R，则≥2＝2．
类型2　利用基本不等式比较大小
【例2】已知m＝a＋(a>2)，n＝－＋5(a，b∈(0，＋∞))，试比较m，n的大小．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．
[跟进训练]
2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
类型3　利用基本不等式证明不等式
【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>9．
[思路点拨]　看到>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
本例条件不变，求证：>8．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
[跟进训练]
3．已知a，b，c为不全相等的正实数．
求证：a＋b＋c>．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型4　利用基本不等式求最值
【例4】【链接教材P58例2】
(1)当x>0时，求＋4x的最小值；
(2)当x<0时，求＋4x的最大值；
(3)当x>1时，求2x＋的最小值；
(4)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用增减性．
[跟进训练]
4．(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0(3)已知x>0，求函数y＝的最小值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．(教材P59练习T4改编)已知x>0，则＋x的最小值为(　　)
A．6　　　　B．5　　　　C．4　　　　D．3
2．设a，b为正数，且a＋b≤4，则(　　)
A．≤1 B．≥2
C．ab≤4 D．ab≥8
3．若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为______．
4．已知ab＝1，a>0，b>0．则a＋b的最小值为________．
5．函数y＝＋x(其中x>2)取得最小值的条件是________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．应用基本不等式要注意哪些问题？
2．应用基本不等式证明不等式的关键是什么？
1 / 63.2　基本不等式(a，b≥0)
3.2.1　基本不等式的证明
学习任务 核心素养
1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点) 1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式求简单的最值问题，提升数学运算素养．
某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．甲方案是第一次打p折销售，第二次打q折销售，乙方案是第一次打q折销售，第二次打p折销售，丙方案是两次都打折销售．请问哪一种方案降价最多？
知识点1　算术平均数、几何平均数与基本不等式
(1)算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
(2)基本不等式
如果a，b是正数，那么(当且仅当a＝b时，等号成立)，我们把不等式(a，b≥0)称为基本不等式．
1．如何证明不等式(a，b≥0)
[提示]　因为a＋b－2＝()2＋()2－2＝()2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a＋b≥2，
所以，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________，此时x＝________，y＝________．
400　20　20　[由知，所以xy≤400，当xy取最大值400时，x＝y＝20．]
知识点2　两个重要的不等式
若a，b∈R，则
(1)ab≤，即a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)；
(2)ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．
2．当a、b满足什么条件时，a2＋b2＝2ab？a2＋b2>2ab
[提示]　当a＝b时，a2＋b2＝2ab；a、b∈R且a≠b时，a2＋b2>2ab．
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．
a＝1　[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时“＝”成立．]
知识点3　应用基本不等式求最值
在运用基本不等式求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”．
一正： a，b是正数．
二定：①和a＋b一定时，由变形得ab≤，即积ab有最大值；
②积ab一定时，由变形得a＋b≥2，即和a＋b有最小值2．
三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．
3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　)
(2)若a>2，则a＋≥2＝2． (　　)
(3)若a>0，b>0，则ab≤． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
类型1　对基本不等式的理解
【例1】给出下面三个推导过程：
①因为a，b为正实数，所以≥2＝2；
②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；
③因为x，y∈R，xy＜0，所以＝－≤－2＝－2．
其中正确的推导为(　　)
A．①②　　　　　　 B．①③
C．②③ D．①②③
B　[①因为a，b为正实数，所以为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
所以＋a≥2＝4是错误的．
③由xy＜0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]
　1．基本不等式(a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是非负数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，的等号成立，即＝ a＝b．
[跟进训练]
1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若x＞0，则x＋≥2＝2；
②若x＜0，则x＋＝－≤
－2＝－4；
③若a，b∈R，则≥2＝2．
①②　[③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]
类型2　利用基本不等式比较大小
【例2】已知m＝a＋(a>2)，n＝－＋5(a，b∈(0，＋∞))，试比较m，n的大小．
[解]　m＝a＋＝(a－2)＋＋2，
∵a>2，∴a－2>0，>0，
∴m＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝时等号成立，此时a＝3．
∴m≥4．
n＝－＋5≤－2＋5＝3，当且仅当a＝b时等号成立．∴n≤3．
综上m>n．
　1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．
[跟进训练]
2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
B　[显然＞，又因为＜(由a＋b＞，也就是由＜1可得)，所以＞＞．故M＞P＞Q．]
类型3　利用基本不等式证明不等式
【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>9．
[思路点拨]　看到>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．
[证明]　因为a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1，
所以＝
＝3＋
＝3＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2＝9．
当且仅当a＝b＝c时取等号，
又因为a，b，c互不相等，所以>9．
[母题探究]
本例条件不变，求证：>8．
[证明]　因为a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1，
所以－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
所以
＝
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
因为a，b，c互不相等，
所以>8．
　1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
[跟进训练]
3．已知a，b，c为不全相等的正实数．
求证：a＋b＋c>．
[证明]　∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0．
∴2(a＋b＋c)≥2()，
即a＋b＋c≥．
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c>．
类型4　利用基本不等式求最值
【例4】【链接教材P58例2】
(1)当x>0时，求＋4x的最小值；
(2)当x<0时，求＋4x的最大值；
(3)当x>1时，求2x＋的最小值；
(4)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
[解]　(1)∵x>0，∴>0，4x>0．
∴＋4x≥2＝8．
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8．
(2)∵x<0，∴－x>0．
则＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8．
∴当x<0时，＋4x的最大值为－8．
(3)2x＋＝2＋2，
∵x>1，∴x－1>0，
∴2x＋≥2×2＋2＝10，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号．
∴当x>1时，2x＋的最小值为10．
(4)4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，
∴a＝36．
【教材原题·P58例2】
例2设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值．
解：因为x>－2，所以x＋2>0．
由基本不等式，得
x＋＝(x＋2)＋－2
≥2－2
＝6，
当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立．
因此，当x＝2时，y的最小值为6．
　利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用增减性．
[跟进训练]
4．(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0(3)已知x>0，求函数y＝的最小值．
[解]　(1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1．
(2)∵0∴1－2x>0，
∴y＝×2x(1－2x)≤＝＝．
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝．
(3)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
∴y＝(x>0)的最小值为9．
1．(教材P59练习T4改编)已知x>0，则＋x的最小值为(　　)
A．6　　　　B．5　　　　C．4　　　　D．3
A　[∵x>0，∴＋x≥2＝6．
当且仅当x＝，即x＝3时，取得最小值6．]
2．设a，b为正数，且a＋b≤4，则(　　)
A．≤1 B．≥2
C．ab≤4 D．ab≥8
C　[设a，b为正数，且a＋b≥2，所以ab≤≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号．]
3．若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为______．
3　[由a＋b＝0，a＞0，
得b＝－a，－＝＞0，
所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．]
4．已知ab＝1，a>0，b>0．则a＋b的最小值为________．
2　[因为a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2．
当且仅当a＝b＝1时等号成立，故a＋b的最小值为2．]
5．函数y＝＋x(其中x>2)取得最小值的条件是________．
x＝5　[当x>2时，由基本不等式知y＝＋x＝＋(x－2)＋2≥2＋2＝8．当且仅当＝x－2时取等号，此时x＝5(x＝－1舍去)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．应用基本不等式要注意哪些问题？
[提示]　一正二定三相等．
2．应用基本不等式证明不等式的关键是什么？
[提示]　关键在于“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构选出符合基本不等式的条件结构．
课时分层作业(十)　基本不等式的证明
一、选择题
1．下列不等式中正确的是(　　)
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C． D．x2＋≥2
D　[若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；
若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；
若a＝4，b＝16，则<，故C错误；
由基本不等式可知D项正确．]
2．(多选题)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．ab≤ B．ab≤
C． D．
ABC　[由基本不等式知A、B、C正确，由≥ab得，ab≤，∴．]
3．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C．> D．≥2
D　[对于A，∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；
对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误；
对于D，∵ab>0，∴≥2＝2，
当且仅当a＝b时，等号成立．]
4．若0A． B．a2＋b2
C．2ab D．a
B　[a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2＝，
∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab．
∵05．当x＞0时，f(x)＝的最大值为(　　)
A． B．1
C．2 D．4
B　[∵x＞0，∴f(x)＝＝＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．故选B．]
二、填空题
6．已知a>b>c，则与的大小关系是________．
　[∵a>b>c，
∴a－b>0，b－c>0，
∴＝．]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，
则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝＝1＋，
∴x≤，当且仅当a＝b时等号成立．]
8．若x＞1，则的最小值为________，取得最小值时x＝________．
7　4　[若x＞1，则＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝7，
当且仅当x－1＝，即x＝4时，等号成立，
因此当x＝4时，取得最小值7．]
三、解答题
9．已知a>b>c，求(a－c)的最小值．
[解]　(a－c)
＝(a－b＋b－c)
＝1＋1＋．
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴2＋≥2＋2＝4，
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号，
∴(a－c)的最小值为4．
10．已知a，b，c为正数，求证：≥3．
[证明]　左边＝－1＋－1＋－1
＝－3．
∵a，b，c为正数，
∴≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)，
≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)，
≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
∴－3≥3，
即≥3．
11．(多选题)下列函数中，最小值是2的有(　　)
A．y＝x＋ B．y＝
C．y＝x2＋＋4 D．y＝(x＞0)
BD　[对于A，x<0时，y<0，无最小值，A不正确．
对于B，y＝≥2，当且仅当x＝2时取等号，正确．
对于C，y＝x2＋＋4≥2＝2，当且仅当x2＋4＝时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确．
对于D，y＝＝x＋1＋≥2，当且仅当x＝－1时取等号，正确．]
12．已知a>b>1且b＝，则a＋的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
A　[因为a>b>1且b＝，所以a＋＝a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a－1＝，即a＝2时等号成立．此时最小值为3．]
13．若实数a，b满足＝，则ab的最小值为________．
2　[因为＝，所以a>0，b>0，
由＝≥2＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2．]
14．当33　[y＝＝
＝－＋15≤－2＋15＝3，
当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3．]
15．若0[解]　由x＝
＝
＝＝，
当且仅当4x2＝1－4x2，即x2＝，x＝时取“＝”，
故x的最大值为．
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