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3.2.2　基本不等式的应用
学习任务 核心素养
1．熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值．(重点) 2．会利用基本不等式求参数的取值范围．(重点) 3．会用基本不等式求解简单的实际应用题．(重点、难点) 1．由基本不等式求最值，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．
一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成总长为l的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？
知识点　基本不等式的应用
1．基本不等式的变形
利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是(　　)
A．　　　B．4　　　C．　　　D．5
2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)
(1)合理选择自变量，建立函数关系；
(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)；
(3)解题注意点：
①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；
③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．
2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________．
类型1　利用基本不等式变形求最值
【例1】(1)已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值；
(2)设a>b>0，求a2＋的最小值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
若将本例(1)中条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．基本不等式常见的变形技巧有配凑系数、变符号、拆补项．常见形式有y＝ax＋(积定)型和y＝ax(b－ax)(和定)型．
2．多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围．
3．两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到．
[跟进训练]
1．(1)已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则的最小值为________．
(2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．
类型2　利用基本不等式求参数取值范围
【例2】(1)已知函数y＝x＋＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)
A． B．
C．1 D．2
(2)已知函数y＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，y≥3恒成立，则a的取值范围是________．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．
[跟进训练]
2．(1)已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
类型3　利用基本不等式解决实际问题
【例3】【链接教材P59例4】
某地政府准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件．那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　应用基本不等式解决实际问题时的思路和方法
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)利用基本不等式，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
[跟进训练]
3．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为y＝2x2＋(15－4k)x＋120k＋8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量为1吨时，总成本为142万元．
(1)求k的值；
(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．(教材P62习题3.2T4改编)设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)
A．3　　　 B．3－2
C．－1　　　 D．3－2
2．已知(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于(　　)
A．1＋ B．2
C．3 D．4
3．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________ cm2．
4．设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是________m3，此时厢高与厢长之和为________m．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．利用基本不等式求最值的方法是什么？你是怎样理解的？
2．求解应用题的方法与步骤是什么？
1 / 53.2.2　基本不等式的应用
学习任务 核心素养
1．熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值．(重点) 2．会利用基本不等式求参数的取值范围．(重点) 3．会用基本不等式求解简单的实际应用题．(重点、难点) 1．由基本不等式求最值，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．
一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成总长为l的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？
知识点　基本不等式的应用
1．基本不等式的变形
利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是(　　)
A．　　　B．4　　　C．　　　D．5
C　[∵a＋b＝2，∴＝1．
∴＝
＝＋2＝，
当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立．
故y＝的最小值为．]
2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)
(1)合理选择自变量，建立函数关系；
(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)；
(3)解题注意点：
①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；
③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．
2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________．
20　[总运费与总存储费用之和
y＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，
当且仅当4x＝，即x＝20时取等号．]
类型1　利用基本不等式变形求最值
【例1】(1)已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值；
(2)设a>b>0，求a2＋的最小值．
[解]　(1)法一：因为x>0，y>0，＝1，
所以x＋y＝(x＋y)＝＋10
≥6＋10＝16，当且仅当＝，
又＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16．
法二：由＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．
由＝1可知x>1，y>9，
所以x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10
≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，
即x＝4，y＝12时上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16．
(2)因为a>b>0，所以a－b>0，a2－ab>0，则a2＋＝(a2－ab)＋＋ab≥2 ＋2 ＝4，
当且仅当a2－ab＝且＝ab，即a＝，b＝时取等号．
所以a2＋的最小值为4．
[母题探究]
若将本例(1)中条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
[解]　法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x．
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18．
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．
∴x＋y的最小值是18．
法二：由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，
得＝1．
∴x＋y＝(x＋y)
＝＋10≥2＋10＝18．
当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立．
∴x＋y的最小值是18．
　1．基本不等式常见的变形技巧有配凑系数、变符号、拆补项．常见形式有y＝ax＋(积定)型和y＝ax(b－ax)(和定)型．
2．多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围．
3．两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到．
[跟进训练]
1．(1)已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则的最小值为________．
(2)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．
(1)3＋2　(2)3　[(1)∵a＞0，b＞0，且a＋2b＝1，
∴＝·1
＝·(a＋2b)
＝1＋＋2＝3＋≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当即时等号成立．
∴的最小值为3＋2．
(2)由题意得y＝，
∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．]
类型2　利用基本不等式求参数取值范围
【例2】(1)已知函数y＝x＋＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　)
A． B．
C．1 D．2
(2)已知函数y＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，y≥3恒成立，则a的取值范围是________．
(1)C　(2) 　[(1)由题意可得a＞0，
①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，
当且仅当x＝时取等号；
②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，
当且仅当x＝－时取等号，
所以解得a＝1．故选C．
(2) 对任意x∈N*，y≥3，即≥3恒成立，
即a≥－＋3．设z＝x＋，x∈N*，
则z＝x＋≥4，当且仅当x＝2时等号成立，又x＝2时z＝6，又x＝3时z＝．
所以a≥－，故a的取值范围是．]
　含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．
[跟进训练]
2．(1)已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
(1)B　(2)2　[(1)对任意的正实数x，y，(x＋y)＝1＋a＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a＞0)，当且仅当y＝x时取等号，所以(x＋y)的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立，所以a≥4．故选B．
(2)依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2．又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．]
类型3　利用基本不等式解决实际问题
【例3】【链接教材P59例4】
某地政府准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件．那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
[解]　设该批产品的利润为y，
由题意知y＝·Q－2－x
＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x
＝20－－x＝21－，0≤x≤3．
∵21－≤21－2＝17，
当且仅当x＝1时，上式取“＝”，
∴当x＝1时，ymax＝17．
即当推广促销费投入1万元时，最大利润为17万元．
【教材原题·P59例4】
例4某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？
解：设总造价为y元(y>0)，池底的一边长为x m(x>0)，则另一边长为 m，即 m．由题中条件可得
y＝150×＋2×120×3×
＝150×1 600＋720．
由题意知x>0，则由基本不等式得x＋≥2＝80(当且仅当x＝40时，等号成立)，所以
y≥150×1 600＋720×80＝297 600，且x＝40时，取得等号．
答：当水池设计成底面边长为40 m的正方形时，总造价最低，为297 600元．
　应用基本不等式解决实际问题时的思路和方法
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)利用基本不等式，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
[跟进训练]
3．近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为y＝2x2＋(15－4k)x＋120k＋8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量为1吨时，总成本为142万元．
(1)求k的值；
(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？
[解]　(1)设除尘后的每日生产总成本为μ万元，由题意，除尘后μ＝2x2＋(15－4k)x＋120k＋8＋kx＝2x2＋(15－3k)x＋120k＋8，
当当日产量为1吨时，总成本为142万元，代入计算得k＝1．
(2)由(1)μ＝2x2＋12x＋128，
总利润L＝48x－(2x2＋12x＋128)＝36x－2x2－128(x>0)，
每吨产品的利润为＝36－2≤36－4＝4，
当且仅当x＝，即x＝8时取等号，
所以除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．
1．(教材P62习题3.2T4改编)设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)
A．3　　　 B．3－2
C．－1　　　 D．3－2
D　[∵x>0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则3－3x－≤3－2．故选D．]
2．已知(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于(　　)
A．1＋ B．2
C．3 D．4
B　[＝＝x＋
＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．]
3．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________ cm2．
2　[设两段长分别为x cm，(12－x)cm，则S＝＋＝＝2．当且仅当x＝12－x，即x＝6时取等号，故两个正三角形面积之和最小值为2 cm2．]
4．设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是________m3，此时厢高与厢长之和为________m．
16　6　[设车厢的长为b m，高为a m．
由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝，
∴V＝a··2＝2·．设a＋1＝t，
则V＝2≤2＝16，
当且仅当t＝3，
即a＝2，b＝4时等号成立．
即Vmax＝16(m3)，此时a＋b＝6(m)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．利用基本不等式求最值的方法是什么？你是怎样理解的？
[提示]　和定积最大、积定和最小．
若x，y为正数，x＋y＝S(和为定值)，
则当x＝y时，积xy取最大值；
若x，y为正数，xy＝P(积为定值)，
则当x＝y时，x＋y取得最小值．
2．求解应用题的方法与步骤是什么？
[提示]　①审题；②建模(列式)；③解模；④作答．
课时分层作业(十一)　基本不等式的应用
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)
A．2 B．a
C． D．3
D　[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3．]
2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
C　[∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．]
3．已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
B　[由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．]
4．已知正数x，y满足＝1，则x＋2y的最小值是(　　)
A．18 B．16
C．8 D．10
A　[x＋2y＝(x＋2y)＝10＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y＝12时，等号成立．]
5．(多选题)已知a>0，b>0，＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的可能取值为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
CD　[由已知，可得6＝1，
∴2a＋b＝6×(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝，
即a＝b＝18时等号成立，∴9m≤54，即m≤6．故选CD．]
二、填空题
6．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为________．
25　[(1＋x)(1＋y)≤
＝＝＝25，
当且仅当1＋x＝1＋y，
即x＝y＝4时取等号，
所以(1＋x)(1＋y)取最大值25．]
7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大．
2　[C＝＝．
因为t>0，所以t＋≥2＝4，
当且仅当t＝，即t＝2时等号成立．
所以C＝＝5，当且仅当t＝，
即t＝2时，C取得最大值．]
8．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2．
56　[设阴影部分的长为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2．
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立．]
三、解答题
9．已知a>b>0，求a2＋的最小值．
[解]　∵a>b>0，
∴b(a－b)≤＝，
∴a2＋≥a2＋≥16．
当且仅当
即时取等号．
故a2＋的最小值为16．
10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
[解]　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－
＝130－
≤130－2＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．
11．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫作y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－的上确界为(　　)
A．－ B．
C． D．－4
A　[因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以＝(a＋b)＝＋2＝，
当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立，
因此有－≤－，
即－的上确界为－．]
12．若a>0，b>0，3a＋b＝1，则的最小值为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
A　[∵a>0，b>0，3a＋b＝1，
∴＝＝3＋＋1≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，
∴的最小值为8．]
13．已知a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，则a＋b的最小值是________．
1＋　[由a，b是正实数，且a＋2b－3ab＝0，可得＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝＝1＋，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．
所以a＋b的最小值为1＋．]
14．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大，最大为________万元．
5　2　[∵y＝－x2＋12x－25，
∴年平均利润为＝
＝－＋12≤－2＋12＝2，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．]
15．某厂家在2025年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2025年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2025年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？
[解]　设2025年该产品利润为y，
由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，
∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29，
∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，
即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，
∴ymax＝21．
故该厂家2025年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
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