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4.1　指数
学习任务 核心素养
1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点) 2．掌握有理数指数幂的运算法则．(重点) 3．了解实数指数幂的意义． 1．借助根式的性质对根式进行运算，提升数学运算核心素养． 2．通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 3．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养．
我们已经知道，，…是正整数指数幂，它们的值分别为，…．那么的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，我们需要先学习根式的知识．
知识点1　基本概念
1．平方根与立方根的概念
如果x2＝a，那么x称为a的________；如果x3＝a，那么x称为a的________．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有___个，它们互为相反数，一个数的立方根__________．
2．a的n次方根
(1)定义：一般地，如果xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的_________，式子叫作根式，其中n叫作________，a叫作__________．
(2)几个规定
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个______，负数的n次方根是一个______，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝；
②当n为偶数时，正数的n次方根有____个，它们互为________，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式；
③0的n次方根等于___(无论n为奇数，还是为偶数)．
1．是根式吗？根式一定是无理式吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)16的四次方根为2． (　　)
(2)＝π－4． (　　)
(3)＝－2． (　　)
知识点2　根式的性质
(1)＝___(n∈N*，且n>1)；
(2)＝a(n为大于1的奇数)；
(3)＝|a|＝(n为大于1的偶数)；
(4)n＝___(n∈N*，且n>1，a使得有意义)．
2．＝a对任意实数a都成立吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．若n是偶数，＝x－1，则x的取值范围为________．
知识点3　分数指数幂的意义
一般地，我们规定：
＝__(a>0，m，n均为正整数，n>1)；
(a>0，m，n均为正整数，n>1)；
(3)0的正分数指数幂为___，0的负分数指数幂__________，0的0次幂__________．
3．(1)可化为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)可化为________．
知识点4　有理数指数幂的运算性质
(1)asat＝_______；
(2)(as)t＝_____；
(3)(ab)t＝______，
其中s，t∈Q，a>0，b>0．
4．化简的结果为________．
类型1　根式的性质
【例1】【链接教材P82例1】
求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)，x∈(－3，3)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　化简根式的依据及注意
化简的依据是根式的性质，化简时要注意是奇次还是偶次根式，另外注意与n的区别．
[跟进训练]
1．化简求值．
(1)；
(2)；
(3)若＝0，求yx．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　根式与分数指数幂的互化
【例2】【链接教材P84例3】
将下列根式化成分数指数幂的形式．
(1)(x＞0)；
．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用和．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用．
[跟进训练]
2．用分数指数幂表示下列各式．
(1)(a>0，b>0)；
(2)(a>0，b>0)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　分数指数幂的运算
【例3】(1)计算：＋16-0.75＋；
(2)化简：(a>0)．
[思路点拨]　将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　指数幂与根式运算的技巧
(1)有理数指数幂的运算技巧
①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算．
②指数的处理：负指数先化为正指数．
③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示．
(2)根式运算技巧
①各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算．
②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂．
[跟进训练]
3．(1)化简：＝________．
(2)计算：①＝________．
②＝________．
类型4　指数幂运算中的条件求值
【例4】已知＋＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a-1；(2)a2＋a-2．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变结论)在本例条件不变的条件下，求a－a-1的值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变结论)在本例条件不变的条件下，求a2－a-2的值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　条件求值问题的常用方法
(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．
(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．
1．(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．－　　 B．
C． D．
2．(教材P86习题4.1T8改编)已知＋x＝5，则的值为(　　)
A．5　　　B．23　　　C．25　　　D．27
3．设5x＝4，5y＝2，则52x－y＝________．
4．计算：(1)＝________．(x<1)
(2)＝________．
5．若x>3，则＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．怎样将根式化成分数指数幂的形式？
2．怎样进行分数指数幂的运算？
3．怎样判断一个数到底有没有n次方根？
1 / 74.1　指数
学习任务 核心素养
1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点) 2．掌握有理数指数幂的运算法则．(重点) 3．了解实数指数幂的意义． 1．借助根式的性质对根式进行运算，提升数学运算核心素养． 2．通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 3．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养．
我们已经知道，，…是正整数指数幂，它们的值分别为，…．那么的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，我们需要先学习根式的知识．
知识点1　基本概念
1．平方根与立方根的概念
如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．
2．a的n次方根
(1)定义：一般地，如果xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根，式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．
(2)几个规定
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝；
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式；
③0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．
1．是根式吗？根式一定是无理式吗？
[提示]　是根式，根式不一定是无理式．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)16的四次方根为2． (　　)
(2)＝π－4． (　　)
(3)＝－2． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
知识点2　根式的性质
(1)＝0(n∈N*，且n>1)；
(2)＝a(n为大于1的奇数)；
(3)＝|a|＝(n为大于1的偶数)；
(4)n＝a(n∈N*，且n>1，a使得有意义)．
2．＝a对任意实数a都成立吗？
[提示]　不都成立．当n为不小于3的正奇数时，a为任意实数，等式＝a恒成立．当n为正偶数时，＝|a|．
2．若n是偶数，＝x－1，则x的取值范围为________．
[1，＋∞)　[由题意知x－1≥0，所以x≥1．]
知识点3　分数指数幂的意义
一般地，我们规定：
＝(a>0，m，n均为正整数，n>1)；
(a>0，m，n均为正整数，n>1)；
(3)0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义，0的0次幂没有意义．
3．(1)可化为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)可化为________．
(1)A　(2)　[(1)．
(2)．]
知识点4　有理数指数幂的运算性质
(1)asat＝as＋t；
(2)(as)t＝ast；
(3)(ab)t＝atbt，
其中s，t∈Q，a>0，b>0．
4．化简的结果为________．
　[原式＝＝-1＝．]
类型1　根式的性质
【例1】【链接教材P82例1】
求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)，x∈(－3，3)．
[解]　(1)＝－2．
(2)．
(3)＝|3－π|＝π－3．
(4)＝|a3|＝
(5)原式＝＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1因此，原式＝
【教材原题·P82例1】
例1求下列各式的值：
(1)2；(2)3；
(3)；(4)．
解：(1)2＝5．
(2)3＝－2．
(3)＝2．
(4)＝π－3．
　化简根式的依据及注意
化简的依据是根式的性质，化简时要注意是奇次还是偶次根式，另外注意与n的区别．
[跟进训练]
1．化简求值．
(1)；
(2)；
(3)若＝0，求yx．
[解]　(1)＝|3.14－π|＋|3.14＋π|＝2π．
(2)原式＝|m－n|＋(m－n)＝
(3)由题知0＝|x－1|＋|y＋3|，
∴∴
∴yx＝(－3)1＝－3．
类型2　根式与分数指数幂的互化
【例2】【链接教材P84例3】
将下列根式化成分数指数幂的形式．
(1)(x＞0)；
．
[解]　 (1)原式＝．
(2)原式＝．
【教材原题·P84例3】
例3用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：
(1)a2；(2)；(3)．
解：(1)a2．
(2)．
(3)．
　1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用和．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用．
[跟进训练]
2．用分数指数幂表示下列各式．
(1)(a>0，b>0)；
(2)(a>0，b>0)．
[解]　(1)＝1．
(2)
＝．
类型3　分数指数幂的运算
【例3】(1)计算：＋16-0.75＋；
(2)化简：(a>0)．
[思路点拨]　将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．
[解]　(1)原式＝－1＋(－2)-4＋(24)-0.75＋＝0.4-1－1＋＋0.1＝．
(2)原式＝÷
＝＝a0＝1．
　指数幂与根式运算的技巧
(1)有理数指数幂的运算技巧
①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算．
②指数的处理：负指数先化为正指数．
③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示．
(2)根式运算技巧
①各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算．
②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂．
[跟进训练]
3．(1)化简：＝________．
(2)计算：①＝________．
②＝________．
(1)ac　(2)①36.5　②5　[(1)原式＝＝ab0c＝ac．
(2)①原式＝
＝×9＝36.5．
②原式＝－＋
＝
＝－1＋2×3＝5．]
类型4　指数幂运算中的条件求值
【例4】已知＋＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a-1；(2)a2＋a-2．
[解]　(1)将＋＝4两边平方，得a＋a-1＋2＝16，故a＋a-1＝14．
(2)将a＋a-1＝14两边平方，得a2＋a-2＋2＝196，故a2＋a-2＝194．
[母题探究]
1．(变结论)在本例条件不变的条件下，求a－a-1的值．
[解]　令a－a-1＝t，则两边平方得a2＋a-2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a-1＝±8．
2．(变结论)在本例条件不变的条件下，求a2－a-2的值．
[解]　由上题可知，a2－a-2＝(a－a-1)(a＋a-1)＝±8×14＝±112．
　条件求值问题的常用方法
(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．
(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．
1．(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．－　　 B．
C． D．
CD　[对于A，－(x≥0)，而(x≤0)，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，(x≠0)成立，故C正确；
对于D，当x>0时，故D正确．故选CD．]
2．(教材P86习题4.1T8改编)已知＋x＝5，则的值为(　　)
A．5　　　B．23　　　C．25　　　D．27
B　[由＝5得x＋x-1＝23，所以＝x＋x-1＝23．]
3．设5x＝4，5y＝2，则52x－y＝________．
8　[]
4．计算：(1)＝________．(x<1)
(2)＝________．
(1)1－x　(2)　[(1)原式＝＝|x－1|＝1－x．
(2)．]
5．若x>3，则＝________．
－1　[＝＝|x－3|－|2－x|＝x－3－(x－2)＝－1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．怎样将根式化成分数指数幂的形式？
[提示]　根指数作分母，字母的指数作分子．
2．怎样进行分数指数幂的运算？
[提示]　运用运算性质求解．
3．怎样判断一个数到底有没有n次方根？
[提示]　先考虑被开方数是正数还是负数．还要分清n为奇数或偶数这两种情况．
课时分层作业(十五)　指数
一、选择题
1．下列说法中：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[①错，16的4次方根是±2；②错，＝2；③④正确，由根式的意义可知．]
2．a·(a＞0)＝(　　)
A． B．
C． D．－
A　[原式＝a·＝－a·＝]
3．的值为(　　)
A．2 B．－6＋2
C．－6 D．－14
C　[∵＝－6，
＝＝4－，
－4，
∴原式＝－6＋4－－4＝－6．]
4．＝(　　)
A． B．ab
C． D．ab2
A　[原式＝．]
5．＋(－1)-1÷0.75-2＋＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
A　[原式＝．]
二、填空题
6．已知10α＝3，10β＝4，则＝________．
18　[]
7．计算：＝______．
　[]
8．计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1)＝________．
(2)＝________．
(1)4a　(2)　[(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]·
＝4ab0＝4a．
(2)原式＝8＝m2n-3＝．]
三、解答题
9．化简：
(1)-1＋-1；
(2)-1－．
[解]　(1)原式＝
＝2＋＋8－8＋2＝4．
(2)原式＝－3
＝－－3
＝－3
＝．
10．(源自人教B版教材)化简下列各式：
；
．
[解]：(1)原式＝．
(2)原式＝
＝．
11．(多选题)化简结果正确的是(　　)
A．m　　　　　　 B．m
C．－m D．－m
AD　[若m<0，则，
若m>0，则．]
12．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A． B．
C． D．－1
D　[设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
所以x＝－1．]
13．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么y用x表示为________．
　[由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋．]
14．计算：＝________；方程4x－2x－2＝0的解为________．
　1　[；
因为4x－2x－2＝0?(2x)2－2x－2＝0?(2x －2)(＋1)＝0，所以2x＝2或2x＝－1(舍)，所以x＝1．]
15．根据已知条件求下列值：
(1)已知x＝，求的值；
(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
[解]　(1)
＝
＝．
(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴
∵a>b>0，∴>．
∴，
∴．
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