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4.2.2　对数的运算性质
学习任务 核心素养
1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点) 2．了解换底公式． 3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数．(难点) 1．借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养． 2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养．
回顾指数的运算性质：
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．
＝ars(a＞0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
那么对数运算有哪些性质？如loga(MN)＝？
知识点1　对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
1．当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
[提示]　不一定．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)log2x2＝2log2x． (　　)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
知识点2　对数的换底公式
(1)若a>0且a≠1；c>0，c≠1，N>0，则有logaN＝．
(2)对数换底公式的重要推论：
①logaN＝；
② ＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)．
2．换底公式中底数c是特定还是任意数？
[提示]　c是大于0且不等于1的任意数．
2．＝________．
2　[＝＝2．]
类型1　对数运算性质的应用
【例1】【链接教材P90例4】
计算下列各式：
(1)log5；
(2)log2(32×42)；
(3)log535－2log5＋log57－log5．
[解]　(1)原式＝log5625＝log554＝．
(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9．
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－(log59－log55)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2．
【教材原题·P90例4】
例4求下列各式的值：
(1)log2(23×45)；(2)log5125．
解：(1)log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5×2＝13．
(2)log5125＝log553＝3log55＝3．
　对数式化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
[跟进训练]
1．计算下列各式的值：
(1)lg lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；
(3)．
[解]　(1)原式＝lg 2＋
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝
＝lg 10
＝．
(2)原式＝＝2lg 10＋
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．
(3)原式＝＝
＝＝．
【例2】【链接教材P90例5】
化简：
(1)log2(28×82)；
(2)用lg 2和lg 3表示lg 24；
(3)用loga x，loga y，loga z表示)．
[解]　(1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28+3×2)＝log2 214＝14．
(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2．
)＝loga x＋loga y2＋＝loga x＋2loga y－loga z．
【教材原题·P90例5】
例5已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1)lg 12；(2)lg ．
解：(1)lg 12＝lg (22×3)＝lg 22＋lg 3＝2lg 2＋lg 3≈2×0.301 0＋0.477 1＝1.079 1．
(2)lg ＝lg 33－lg 24＝3lg 3－4lg 2≈3×0.477 1－4×0.301 0＝0.227 3．
　这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
提醒：loga(MN)≠loga M·loga N，loga(M±N)≠loga M±loga N．
[跟进训练]
2．化简：
；
－；
(3)用lg x，lg y，lg z表示lg ．
[解]　(1)lo(45×82)＝lo (210×26)＝lo 216＝16lo 2＝16×2＝32．
(2)lo 27－lo 9＝lo ＝lo3＝－1．
(3)lg ＝lg x2＋lg－lg ＝2lg x＋lg y－lg z．
类型2　换底公式及其应用
【例3】【链接教材P92例8】
(1)计算(log43＋log83)×log32；
(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
[解]　(1)原式＝×log32
＝×log32
＝＝．
(2)因为18b＝5，所以b＝log185．
所以log3645＝＝
＝
＝＝
＝＝．
[母题探究]
本例(2)条件不变，求log915(用a，b表示)．
[解]　因为18b＝5，所以log185＝b．
所以log915＝＝
＝＝
＝＝
＝＝．
【教材原题·P92例8】
例8求log89×log332的值．
解：log89×log332＝＝＝．
　换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．
[跟进训练]
3．已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456．
[解]　因为2b＝3，所以b＝log23，即log32＝，
log1456＝＝＝＝＝．
类型3　对数运算在实际问题中的应用
【例4】【链接教材P92例9】
2024年某地区生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，该地区生产总值是2024年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)
[思路点拨]　认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．
[解]　设经过x年，该地区生产总值是2024年的2倍．
经过1年，总产值为a(1＋8%)，
经过2年，总产值为a(1＋8%)2，
……
经过x年，总产值为a(1＋8%)x．
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2，
两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2，
则x＝≈≈9(年)．
所以约经过9年，该地区生产总值是2024年的2倍．
【教材原题·P92例9】
例9如图4-2-1，2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元．如果我国GDP年均增长7.8%，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年以后，我国GDP就能实现比2000年翻两番的目标？
解：假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标．根据题意，得
89 442×(1＋7.8%)x＝89 442×4，
1.078x＝4，
故x＝log1.0784＝≈18.5．
答：约经过19年以后，我国GDP就能实现比2000年翻两番的目标．
　解对数应用题的步骤
[跟进训练]
4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(e为自然对数的底数，ln 3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．
[解]　因为v＝ln ＝2 000·ln ，
所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s．
1．(多选题)若a>0，a≠1，x>0，y>0，则下列式子正确的是(　　)
A．logax＋logay＝loga(x＋y)
B．logax－logay＝loga(x－y)
C．loga＝logax－logay
D．loga(xy)＝logax＋logay
CD　[由对数的运算性质知C、D正确．]
2．(教材P93习题4.2T3(5)改编)计算：log123＋log124＝(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
A　[log123＋log124＝log12(3×4)＝1．]
3．化简log612－2log6的结果为________．
log6　[原式＝log6－log62＝log6＝log6．]
4．2log510＋log50.25＝________．
2　[2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2．]
5．(教材P94习题4.2T7改编)若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512用a，b表示为________．
　[log512＝＝＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．运算性质中底数a能等于零或小于零吗？真数M、N呢？
[提示]　由对数的定义知底数a>0，且a≠1，故不能小于或等于0．M、N均为正数．
2．换底公式有哪些作用？
[提示]　利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于化简、求值．
3．运用对数的运算性质应注意哪些问题？
[提示]　①在各对数有意义的前提下应用运算性质．
②根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
③避免出现以下公式错误：logaNn＝(logaN)n，loga(MN)＝logaM·logaN，logaM±logaN＝loga(M±N)．
4．换底公式反映了数学上的哪种思想？
[提示]　转化与化归．
课时分层作业(十七)　对数的运算性质
一、选择题
1．已知a2＝(a>0)，则＝(　　)
A． B．
C． D．2
D　[由a2＝(a>0)，得a＝，
所以lo＝lo＝2．]
2．已知4a＝3，b＝log23，则4a－b＝(　　)
A．3 B．1
C． D．
D　[∵4a＝3，∴a＝log43，
∴a－b＝log43－log23＝log23－log23＝－log23＝log4，
∴4a－b＝．]
3．已知log23＝a，log38＝b，则ab＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
B　[∵log23＝a，log38＝b，
则ab＝＝log28＝3．]
4．设7a＝8b＝k，且＝1，则k＝(　　)
A．15 B．56
C． D．
B　[∵7a＝k，∴a＝log7k．∵8b＝k，∴b＝log8k．
∴＝logk7＋logk8＝logk56＝1，∴k＝56．]
5．已知ab>0，则下列等式中正确的是(　　)
A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ＝lg a－lg b
C．lg ＝lg D．lg (ab)＝
C　[对于A，B，当a<0，b<0时，lg (ab)＝lg a＋lg b不成立，lg ＝lg a－lg b不成立；
对于C，由ab>0可得>0，lg ＝lg 成立；
对于D，根据对数的换底公式可得当ab＝1时，
lg (ab)＝不成立．]
二、填空题
6．已知log32＝a，则log296＝________．(用a的代数式表示)
5＋　[因为log32＝a，所以log296＝．]
7．＝________．
1　[]
8．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
6　10 000　[由M＝lg A－lg A0知，M＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1，5级地震的最大振幅为A2，则lg －lg A2＝＝9－5＝4，所以＝104＝10 000．
所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．]
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)(lg 5)2＋lg 2×lg 50．
[解]　(1)原式＝
＝．
(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2×(lg 2＋2lg 5)
＝(lg 5)2＋2lg 5×lg 2＋(lg 2)2
＝(lg 5＋lg 2)2＝1．
10．(1)已知10a＝2，10b＝3，求1002a－b；
(2)设a＝lg 2，b＝lg 7，用a，b表示lg ，lg ．
[解]　(1)∵10a＝2，∴lg 2＝a．
又∵10b＝3，∴lg 3＝b，
∴1002a－b＝100(2lg 2-lg 3)＝．
(2)lg ＝lg 23－lg 7＝3lg 2－lg 7＝3a－b．
lg ＝lg (2×52)－lg (72)＝lg 2＋2lg 5－2lg 7
＝lg 2＋2(1－lg 2)－2lg 7
＝2－a－2b．
11．(多选题)若a>1，b>1，且lg (a＋b)＝lg a＋lg b，则(　　)
A．lg (a－1)＋lg (b－1)＝0
B．lg ＝0
C．lg (a－1)＋lg (b－1)＝1
D．lg ＝1
AB　[依题意a>1，b>1，
由lg (a＋b)＝lg a＋lg b＝lg (ab)，得a＋b＝ab，
所以(a－1)(b－1)＝ab－(a＋b)＋1＝1，且
＝1，
即lg (a－1)＋lg (b－1)＝lg [(a－1)(b－1)]＝lg 1＝0，lg ＝0．故选AB．]
12．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　)
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
D　[由已知得，lg ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28．故与最接近的是1093．]
13．设a表示的小数部分，则log2a(2a＋1)的值是________．
－1　[，
可得a＝．
则log2a(2a＋1)＝＝＝－1．]
14．若a＝log147，b＝log145，则log3528＝________(用含a，b的式子表示)；若＝c，则＝________(用含c的式子表示)．
　[∵a＝log147，
∴log142＝log14＝1－log147＝1－a，
∴log3528＝＝
，
∵＝c，且lg 2＋lg 5＝1，
∴lg 2＝，
∴．]
15．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，w，有ax＝by＝cz＝70w，，求a，b，c的值．
[解]　令ax＝by＝cz＝70w＝k≠1，
则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，w＝log70k，
∴＝logka，＝logkb，＝logkc，＝logk70，
∵，
∴logk70＝logka＋logkb＋logkc＝logk(abc)，
∴abc＝70＝2×5×7，
∵a≤b≤c，a，b，c为正整数，
∴a＝2，b＝5，c＝7．
1 / 124.2.2　对数的运算性质
学习任务 核心素养
1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点) 2．了解换底公式． 3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数．(难点) 1．借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养． 2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养．
回顾指数的运算性质：
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．
＝ars(a＞0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
那么对数运算有哪些性质？如loga(MN)＝？
知识点1　对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝______________；
(2)loga＝______________；
(3)logaMn＝________(n∈R)．
1．当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)log2x2＝2log2x． (　　)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　)
知识点2　对数的换底公式
(1)若a>0且a≠1；c>0，c≠1，N>0，则有logaN＝__．
(2)对数换底公式的重要推论：
①logaN＝；
② ＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)．
2．换底公式中底数c是特定还是任意数？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．＝________．
类型1　对数运算性质的应用
【例1】【链接教材P90例4】
计算下列各式：
(1)log5；
(2)log2(32×42)；
(3)log535－2log5＋log57－log5．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　对数式化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
[跟进训练]
1．计算下列各式的值：
(1)lg lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；
(3)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【例2】【链接教材P90例5】
化简：
(1)log2(28×82)；
(2)用lg 2和lg 3表示lg 24；
(3)用loga x，loga y，loga z表示)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
提醒：loga(MN)≠loga M·loga N，loga(M±N)≠loga M±loga N．
[跟进训练]
2．化简：
；
－；
(3)用lg x，lg y，lg z表示lg ．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　换底公式及其应用
【例3】【链接教材P92例8】
(1)计算(log43＋log83)×log32；
(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
本例(2)条件不变，求log915(用a，b表示)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．
[跟进训练]
3．已知log37＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　对数运算在实际问题中的应用
【例4】【链接教材P92例9】
2024年某地区生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，该地区生产总值是2024年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)
[思路点拨]　认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　解对数应用题的步骤
[跟进训练]
4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(e为自然对数的底数，ln 3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．(多选题)若a>0，a≠1，x>0，y>0，则下列式子正确的是(　　)
A．logax＋logay＝loga(x＋y)
B．logax－logay＝loga(x－y)
C．loga＝logax－logay
D．loga(xy)＝logax＋logay
2．(教材P93习题4.2T3(5)改编)计算：log123＋log124＝(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
3．化简log612－2log6的结果为________．
4．2log510＋log50.25＝________．
5．(教材P94习题4.2T7改编)若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512用a，b表示为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．运算性质中底数a能等于零或小于零吗？真数M、N呢？
2．换底公式有哪些作用？
3．运用对数的运算性质应注意哪些问题？
4．换底公式反映了数学上的哪种思想？
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