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类型1　指数的运算
指数的运算是本章的重点内容，是学好本章的前提和基础，为后续对数的学习作铺垫．指数的运算常与根式交汇考查，也常与方程等知识联系，主要考查数学运算的核心素养．
【例1】(1)求值：－(0.01)0.5；
(2)化简：．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　对数的运算
对数的运算是本章的重要内容之一，在学习指数运算的基础上学习对数运算，指数运算与对数运算是互逆的．对数运算常与指数、方程等知识交汇考查，主要考查学生的数学运算和逻辑推理能力．对数的运算应遵循以下原则：
对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
【例2】计算下列各式：
；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　利用对数的运算性质进行求值
对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题是本节的重点内容之一，常与对数的运算性质相结合，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．具体解决方法：(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．
【例3】若lg a＋lg b＝4，lg a·lg b＝，求lg (ab)·(logab＋logba)的值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型4　解简单的指数和对数方程
简单的指数方程和对数方程是指数运算和对数运算的延伸，主要与方程结合交汇考查，培养学生的逻辑推理和数学运算能力，是对指数、对数运算的巩固和提升．具体解决方法如下：
(1)化同底：将指数方程变形为am＝an?m＝n．
形如logaM＝logaN(a＞0，a≠1)的对数方程，等价转化为M＝N，且 求解．
(2)定义法：解形如b＝logaM(a＞0，a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为M＝ab求解．
(3)换元法：设t＝ax(x＝logat)，将方程转化为关于t的一元二次方程求出t，再解出x．
【例4】根据下列条件，分别求实数x的值：
(1)log2(2－x)＝log2(x－1)＋1；
(2)32x+1－6x＝22x+2．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1 / 3类型1　指数的运算
指数的运算是本章的重点内容，是学好本章的前提和基础，为后续对数的学习作铺垫．指数的运算常与根式交汇考查，也常与方程等知识联系，主要考查数学运算的核心素养．
【例1】(1)求值：－(0.01)0.5；
(2)化简：．
[解]　(1)原式＝
＝1＋
＝1＋．
(2)原式＝
＝
＝＝a．
类型2　对数的运算
对数的运算是本章的重要内容之一，在学习指数运算的基础上学习对数运算，指数运算与对数运算是互逆的．对数运算常与指数、方程等知识交汇考查，主要考查学生的数学运算和逻辑推理能力．对数的运算应遵循以下原则：
对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
【例2】计算下列各式：
；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2．
[解]　(1)原式＝
＝·log5(10－3－2)
＝·log55
＝－．
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3．
类型3　利用对数的运算性质进行求值
对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题是本节的重点内容之一，常与对数的运算性质相结合，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．具体解决方法：(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．
【例3】若lg a＋lg b＝4，lg a·lg b＝，求lg (ab)·(logab＋logba)的值．
[解]　lg (ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝4×
＝248．
类型4　解简单的指数和对数方程
简单的指数方程和对数方程是指数运算和对数运算的延伸，主要与方程结合交汇考查，培养学生的逻辑推理和数学运算能力，是对指数、对数运算的巩固和提升．具体解决方法如下：
(1)化同底：将指数方程变形为am＝an?m＝n．
形如logaM＝logaN(a＞0，a≠1)的对数方程，等价转化为M＝N，且 求解．
(2)定义法：解形如b＝logaM(a＞0，a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为M＝ab求解．
(3)换元法：设t＝ax(x＝logat)，将方程转化为关于t的一元二次方程求出t，再解出x．
【例4】根据下列条件，分别求实数x的值：
(1)log2(2－x)＝log2(x－1)＋1；
(2)32x+1－6x＝22x+2．
[解]　(1)原方程可化为log2(2－x)＝log2[2(x－1)]，得2－x＝2(x－1)，解得x＝．经检验知，原方程的解为x＝．
(2)原方程可化为3×32x－2x×3x－4×22x＝0，
因式分解得(3×3x－4×2x)(3x＋2x)＝0，
则3×3x－4×2x＝0，
即，
解得x＝．
章末综合测评(四)　指数与对数
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．将化为分数指数幂，其形式是(　　)
A． B．
C． D．
B　[故选 B.]
2．计算的结果是(　　)
A． B．18
C．36 D．
A　[]
3．当有意义时，化简的结果是(　　)
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
C　[因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝＝(2－x)－(3－x)＝－1．]
4．方程＝的解是(　　)
A．9 B．
C． D．
D　[∵＝＝2-2，∴log3x＝－2，∴x＝3-2＝．]
5．若lg 2＋lg (2x＋5)＝2lg (2x＋1)，则x的值等于(　　)
A．1 B．0或
C． D．log23
D　[∵lg 2＋lg (2x＋5)＝2lg (2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝log23．故选D．]
6．已知ab＝－5，则a的值是(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．±2
B　[由题意知ab<0，
a＝0．]
7．已知loga ＝m，loga3＝n，则am+2n等于(　　)
A．3 B．
C．9 D．
D　[由已知得am＝，an＝3，所以am+2n＝am·a2n＝am·(an)2＝．故选D．]
8．已知2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，则的值为(　　)
A． B．4
C．1 D．4或1
B　[因为2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，所以loga(M－2N)2＝loga(MN)，(M－2N)2＝MN，＋4＝0，解得＝1(舍去)，＝4，故选B．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列运算正确的是(　　)
A．＝a B．log2a2＝2log2a
C．＝－a D．log29×log34＝4
CD　[当a<0时，AB不成立，对于C显然成立，由换底公式得log29×log34＝＝4．所以D正确，应选CD．]
10．已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝(　　)
A． B．
C． D．2
AD　[令t＝logab，
则t＋，
∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0，
∴t＝或t＝2，
∴logab＝或logab＝2，∴a＝b2，或a2＝b，
∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2，
∴b＝2，a＝4，或a＝2，b＝4．
∴＝2，或，故选AD．]
11．下列命题中的真命题是(　　)
A．若log189＝a，log1854＝b，则182a－b＝
B．若logx27＝3(log318－log32)，则x＝±
C．若log6[log3(log2x)]＝0，则
D．若x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logxyx＝0
ACD　[对于A，因为log189＝a，log1854＝b，
所以18a＝9，18b＝54，
所以182a－b＝，即A正确；
对于B，logx27＝3log39＝3×2＝6，
所以x6＝27，所以x6＝33，又x＞0，所以x＝，即B错误；
对于C，由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式为x＝23＝8，
所以，即C正确；
对于D，由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1，
所以logxyx＝log212＝0，即D正确．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若＝0，则x2 024＋y2 023＝________．
0　[∵≥0，且＝0，
∴即
∴x2 024＋y2 023＝1－1＝0．]
13．已知正数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b＝________．
4或5　[∵ba＝4，
∴log2ba＝log24，即alog2b＝2①，
又a＋log2b＝3②，
联立①②得或
即或
∴a＋b＝4或a＋b＝5．]
14．若2.5x＝1 000，0.25y＝1 000，lg 2＝a，则＝________，＝________(用a表示)．(本题第一空2分，第二空3分)
　[因为2.5x＝1 000，0.25y＝1 000，所以x＝log2.51 000，y＝log0.251 000，
所以＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010＝．
＝log1 0002.5＋log1 0000.25＝
＝．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分) 求下列各式中x的值．
(1)log3(log2x)＝0；
(2)log2(lg x)＝1；
(3)＝x；
(4) (＝x(a>0，b>0，c>0，a≠1，b≠1)．
[解]　(1)∵log3(log2x)＝0，
∴log2x＝1，
∴x＝21＝2．
(2)∵log2(lg x)＝1，
∴lg x＝2．
∴x＝102＝100．
(3)x＝．
(4)x＝(＝c．
16．(15分)(1)已知3a＝5b＝15，求的值；
(2)设10a＝2，lg 3＝b，用a，b表示log26．
[解]　(1)∵3a＝5b＝15，
∴a＝log315，b＝log515，
∴＝log153，＝log15 5，
∴＝log1515＝1．
(2)∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴log26＝．
17．(15分)(1)化简：log4(24×642)＋log318－log32＋log52×log2125；
(2)已知a＝2，
求的值．
[解]　(1)原式＝log4(42×46)＋log3＋log5125＝8＋2＋3＝13．
(2)a6b-6－6a3b-1＋9b4＝(a3b-3－3b2)2，
由a＝2，得a3b-3<3b2．
∴原式＝
＝－
＝－
＝－b2．
又b＝5，故原式＝－50．
18．(17分)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py．
(1)求p；
(2)求证：．
[解]　(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k．
由2x＝py，
得2log3k＝plog4k＝p·．
∵log3k≠0，∴p＝2log34．
(2)证明：＝logk6－logk3＝logk2，
又logk4＝logk2，∴．
19．(17分)某化工厂生产化工产品，今年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，精确到1年)
[解]　设x年后每桶的生产成本为20元．
1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)，
2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2，
x年后每桶的生产成本为50×(1－28%)x＝20．
所以0.72x＝0.4，等号两边取常用对数，得
x lg 0.72＝lg 0.4．
故x＝
＝
＝
＝
≈
＝≈3(年)．
所以约3年后每桶的生产成本为20元．
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