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第2课时　函数的图象
学习任务 核心素养
1．理解函数图象的概念，并能画出一些比较简单的函数的图象．(重点) 2．能够利用图象解决一些简单的函数问题．(难点) 通过学习本节内容，培养逻辑推理和直观想象核心素养．
　作出下列两个函数的图象，并比较定义域和值域．
　(1)f(x)＝x2＋1，x∈{－1，0，1}；
　(2)f(x)＝x2＋1．
知识点1　函数的图象
将自变量的一个值x0作为________，相应的_______________作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为_________________________，即_______________________________，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
1．函数的图象是否可以关于x轴对称？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．函数y＝f(x)，x∈A的图象与直线x＝m(垂直于x轴的直线)的交点有几个？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线x＝a和函数y＝f(x)，x∈[m，n]的图象有1个交点． (　　)
(2)设函数y＝f(x)的定义域为A，则集合P＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}与集合Q＝{y|y＝f(x)，x∈A}相等，且集合P的图形表示的就是函数y＝f(x)的图象． (　　)
知识点2　作图、识图与用图
(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是______、______、______．
(2)正比例函数与一次函数的图象是一条______，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是________，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口______，a<0时，图象开口______，对称轴为x＝____．
2．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数y＝f(x)的图象的有________．(填序号)
①　　　　　　　　②
③　　　　　　　　④
类型1　作函数的图象
【例1】【链接教材P108例4】
作出下列函数的图象，并求函数的值域．
(1)y＝3－x(|x|∈N*且|x|<3)；
(2)y＝x2－2x＋2(－1≤x<2)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
(变条件)将例1(2)中的定义域改为[0，3)，函数的图象与值域变成怎样了？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　函数图象的画法
(1)画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分．
(2)描点作图，要找出关键“点”，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实．
(3)函数的图象能体现函数的定义域、值域．这就是数形结合思想．
[跟进训练]
1．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　函数图象的应用
【例2】【链接教材P109例6】
已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象如图所示，据图回答以下问题：
(1)比较f(－2)，f(0)，f(3)的大小；
(2)求f(x)在[－1，2]上的值域；
(3)求f(x)的图象与y＝x的图象的交点个数；
(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1，2]内仅有一个实根，求k的取值范围．
[尝试解答]___________________________________________________________ 　1．函数图象较形象直观地反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势．
2．常借助函数图象求解以下几类问题
(1)比较函数值的大小；
(2)求函数的值域；
(3)分析两函数图象交点个数；
(4)求解不等式或参数范围．
[跟进训练]
2．若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0，3)内有唯一解，求实数m的取值范围．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　利用图象的平移变换作函数图象
【例3】用平移图象的方式作出y＝2＋的图象，并说明函数y＝2＋的值域．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　函数图象的平移变换
(1)左右平移：a＞0时，y＝f(x)的图象向左平移a个单位长度得到y＝f(x＋a)的图象；a＞0时，y＝f(x)的图象向右平移a个单位长度得到y＝f(x－a)的图象．
(2)上下平移：b＞0时，y＝f(x)的图象向上平移b个单位长度得到y＝f(x)＋b的图象；b＞0时，y＝f(x)的图象向下平移b个单位长度得到y＝f(x)－b的图象．
[跟进训练]
3．已知函数y＝，将其图象向左平移a(a>0)个单位长度，再向下平移b(b>0)个单位长度后图象过坐标原点，则ab的值为________．
1．(多选题)对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，不能构成从A到B的函数的是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　　D
2．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2，2])的图象的是(　　)
A　　 　　B　　　　C　　　　　D
3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________．
4．函数y＝f(x)的图象如图所示．填空：
(1)f(0)＝________；
(2)f(－1)＝________；
(3)f(－3)＝________；
(4)f(－2)＝________；
(5)f(2)＝________；
(6)f(4)＝________；
(7)若25．画出函数f(x)＝x－x2(－1≤x≤1)的简图并指出值域．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．你认为作函数图象的具体方法是什么？
2．作函数图象时要注意哪些问题？
3．利用函数图象解决函数问题的关键是什么？
4．判断所给图象是否为函数图象的方法是什么？
1 / 6第2课时　函数的图象
学习任务 核心素养
1．理解函数图象的概念，并能画出一些比较简单的函数的图象．(重点) 2．能够利用图象解决一些简单的函数问题．(难点) 通过学习本节内容，培养逻辑推理和直观想象核心素养．
　作出下列两个函数的图象，并比较定义域和值域．
　(1)f(x)＝x2＋1，x∈{－1，0，1}；
　(2)f(x)＝x2＋1．
知识点1　函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
1．函数的图象是否可以关于x轴对称？
[提示]　不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义．
2．函数y＝f(x)，x∈A的图象与直线x＝m(垂直于x轴的直线)的交点有几个？
[提示]　0或1个，具体来说，当m∈A时，由函数的定义知，它们有唯一交点，当m A时，它们无交点．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线x＝a和函数y＝f(x)，x∈[m，n]的图象有1个交点． (　　)
(2)设函数y＝f(x)的定义域为A，则集合P＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}与集合Q＝{y|y＝f(x)，x∈A}相等，且集合P的图形表示的就是函数y＝f(x)的图象． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
知识点2　作图、识图与用图
(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．
(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－．
2．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数y＝f(x)的图象的有________．(填序号)
①　　　　　　　　②
③　　　　　　　　④
②④　[能作为函数的图象，必须符合函数的定义，即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应，故②④可以，①③不可以．]
类型1　作函数的图象
【例1】【链接教材P108例4】
作出下列函数的图象，并求函数的值域．
(1)y＝3－x(|x|∈N*且|x|<3)；
(2)y＝x2－2x＋2(－1≤x<2)．
[解]　(1)∵|x|∈N*且|x|<3，∴定义域为{－2，－1，1，2}，
∴图象为直线y＝3－x上的4个孤立点，如图．
由图象可知，值域为{5，4，2，1}．
(2)y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1(x∈[－1，2))，
故函数图象为二次函数y＝(x－1)2＋1图象上在区间[－1，2)上的部分，如图，
∴x＝1时，y＝1；x＝－1时，y＝5，∴函数的值域为[1，5]．
[母题探究]
(变条件)将例1(2)中的定义域改为[0，3)，函数的图象与值域变成怎样了？
[解]　图象变成函数y＝(x－1)2＋1在[0，3)上的部分图象，如图．
∵x＝1时，y＝1；x＝3时，y＝5，
∴值域变为[1，5)．
【教材原题·P108例4】
例4试画出下列函数的图象：
(1)f(x)＝x＋1；
(2)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3)．
解：描点作出图象，函数图象分别如图5-1-4和5-1-5所示．
函数f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3)的图象为函数g(x)＝(x－1)2＋1，x∈R的图象上x∈[1，3)的一段．其中，点(1，1)在图象上，用实心点表示；而点(3，5)不在图象上，用空心点表示．
　函数图象的画法
(1)画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分．
(2)描点作图，要找出关键“点”，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实．
(3)函数的图象能体现函数的定义域、值域．这就是数形结合思想．
[跟进训练]
1．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．
[解]　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②．
①　　　　　　　②
类型2　函数图象的应用
【例2】【链接教材P109例6】
已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象如图所示，据图回答以下问题：
(1)比较f(－2)，f(0)，f(3)的大小；
(2)求f(x)在[－1，2]上的值域；
(3)求f(x)的图象与y＝x的图象的交点个数；
(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1，2]内仅有一个实根，求k的取值范围．
[解]　(1)由题图可得f(－2)＝－5，f(0)＝3，f(3)＝0，
∴f(－2)(2)在x∈[－1，2]时，f(－1)＝0，f(1)＝4，f(2)＝3，
∴f(x)∈[0，4]．
(3)在图象上作出直线y＝x的图象，如图所示，观察可得，f(x)的图象与y＝x的图象有两个交点．
(4)原方程可变形为－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3，x∈[－1，2]和函数y＝k图象的交点个数问题，移动y＝k易知0≤k<3或k＝4时，只有一个交点．
∴0≤k<3或k＝4．
【教材原题·P109例6】
例6试画出二次函数f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(－2)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若0解：函数图象如图5-1-7所示．
(1)根据图5-1-7(1)，容易发现
f(－2)＝f(2)，
f(1)所以f(1)(2)根据图5-1-7(2)容易发现，当0　1．函数图象较形象直观地反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势．
2．常借助函数图象求解以下几类问题
(1)比较函数值的大小；
(2)求函数的值域；
(3)分析两函数图象交点个数；
(4)求解不等式或参数范围．
[跟进训练]
2．若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0，3)内有唯一解，求实数m的取值范围．
[解]　原方程变形为x2－4x＋4＝1－m，
即(x－2)2＝1－m，
设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0，3)和直线y2＝1－m，图象如图所示，由图可知：
①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3所以m＝1或－3类型3　利用图象的平移变换作函数图象
【例3】用平移图象的方式作出y＝2＋的图象，并说明函数y＝2＋的值域．
[解]　
从图象可以看出y＝2＋的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
　函数图象的平移变换
(1)左右平移：a＞0时，y＝f(x)的图象向左平移a个单位长度得到y＝f(x＋a)的图象；a＞0时，y＝f(x)的图象向右平移a个单位长度得到y＝f(x－a)的图象．
(2)上下平移：b＞0时，y＝f(x)的图象向上平移b个单位长度得到y＝f(x)＋b的图象；b＞0时，y＝f(x)的图象向下平移b个单位长度得到y＝f(x)－b的图象．
[跟进训练]
3．已知函数y＝，将其图象向左平移a(a>0)个单位长度，再向下平移b(b>0)个单位长度后图象过坐标原点，则ab的值为________．
1　[y＝y＝y＝－b过(0，0)，故－b＝0，∴1－ab＝0，∴ab＝1．]
1．(多选题)对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，不能构成从A到B的函数的是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　　D
ABC　[A中有一部分x值没有与之对应的y值；B中出现“一对多”的关系，不是函数关系；C中当x＝1时对应两个不同的y值，不构成函数；D中对应关系符合函数定义．]
2．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2，2])的图象的是(　　)
A　　 　　B　　　　C　　　　　D
B　[y＝－|x|，当x＝2时，y＝－2，当x＝－2时，y＝－2．故选B．]
3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________．
[－2，3]　[由图象可知f(x)的定义域为[－2，3]．]
4．函数y＝f(x)的图象如图所示．填空：
(1)f(0)＝________；
(2)f(－1)＝________；
(3)f(－3)＝________；
(4)f(－2)＝________；
(5)f(2)＝________；
(6)f(4)＝________；
(7)若2(1)4　(2)5　(3)0　(4)3　(5)2　(6)6　(7)f(x1)≤f(x2)　[由图象知f(0)＝4，f(－1)＝5，f(－3)＝0，f(－2)＝3，f(2)＝2，f(4)＝6，当25．画出函数f(x)＝x－x2(－1≤x≤1)的简图并指出值域．
[解]　
f(x)图象的简图如图所示．
观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是，
即f(x)的值域是．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．你认为作函数图象的具体方法是什么？
[提示]　先确定函数的定义域，在定义域内化简函数式，再列表、描点、连线．
2．作函数图象时要注意哪些问题？
[提示]　注意关键点，如：与坐标轴的交点、最高点、最低点，还要注意关键点是实心还是空心．
3．利用函数图象解决函数问题的关键是什么？
[提示]　准确作出函数图象．
4．判断所给图象是否为函数图象的方法是什么？
[提示]　作一系列平行于y轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则该图象为函数图象．否则不是．
课时分层作业(十九)　函数的图象
一、选择题
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)
A　　　B　　　　C　　　　D
D　[结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0．]
2．函数y＝|x＋1|的图象为(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
A　[将y＝|x|左移1个单位长度即得到y＝|x＋1|的图象．]
3．函数y＝＋x的图象是(　　)
A　　　　B　　 　C　　　　D
C　[函数y＝＋x的定义域为{x|x≠0}，
故图象与y轴交点处应为空心小圆圈，故排除A、B．当x<0时，y＝－1＋x<0，故排除D．]
4．函数y＝1－的图象是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
B　[y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y＝1－的图象．]
5．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
C　[由题意知，f(3)＝1，所以f＝f(1)＝2．]
二、填空题
6．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是________．(填序号)
④　[根据图象可知，张大爷开始离家越来越远，是匀速离开，最后匀速回家，中间一段时间，离开家的距离不变，故图④适合．]
7．若函数y＝f(x)的图象经过点(0，1)，那么函数y＝f(x＋4)的图象经过点________．
(－4，1)　[y＝f(x＋4)可以认为把y＝f(x)的图象左移了4个单位长度，由y＝f(x)的图象经过点(0，1)，易知f(x＋4)的图象经过点(－4，1)．]
8．函数y＝x2－4x＋6，x∈[0，3]的值域为________，顶点坐标为________．
[2，6]　(2，2)　[∵y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，∴函数的图象是以直线x＝2为对称轴，以(2，2)为顶点的开口向上的抛物线，如图所示，由图可知，函数的值域为[2，6]．
]
三、解答题
9．作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝－x，x∈{0，1，－2，3}；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)．
[解]　(1)列表：
x 0 1 －2 3
y 0 －1 2 －3
函数图象只是四个点(0，0)，(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，其值域为{0，－1，2，－3}．
(2)列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．
(3)列表：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．
由图可得函数的值域为[－1，8)．
10．已知函数f(x)＝．
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)指出函数y＝f(x)的定义域、值域、对称中心；
(3)探究函数y＝(ad－bc≠0)的图象是否有对称中心？若有，并说明理由．
[解]　(1)y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，
再向上平移2个单位长度得到，如图．
(2)函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，值域为{y|y∈R且y≠2}，对称中心为(1，2)．
(3)y＝＝＝，故函数图象可由反比例函数y＝的图象向左(右)平移个单位长度，再向上(下)平移个单位长度得到，
所以函数y＝(ad－bc≠0)的图象有对称中心．
11．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为(　　)
A．[－2，3] B．[－4，2.7]
C．[－2，8] D．[－4，3]
D　[由函数的图象可知，f(x)的值域为[－2，3]∪[－4，2.7]，即[－4，3]．]
12．(多选题)如图所示，函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax＋b(a≠0)的图象可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　　D
AD　[A由抛物线对称轴是y轴可知b＝0，而此时直线过原点且a>0符合，B由抛物线图象可知，a>0，由直线的图象知a＜0，矛盾，故不可能；C由抛物线图象可知，a<0，由直线的图象知a＞0，矛盾，不可能；由此可知D可能是两个函数的图象．]
13．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为________，g(f(2))＝________．
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
2　2　[由函数g(x)的图象知g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝2．
f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2．]
14．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m＋1)与0的大小关系是________．
f(m＋1)>0　[因为二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)图象的对称轴是x＝－，且与y轴正半轴相交，所以由图象(图略)可知f(x)<0的解集的区间长度小于1，故若f(m)<0，则必有f(m＋1)>0．]
15．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°．(不考虑临界状态)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域．
[解]　(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，
∴水的面积A＝＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知(图略)，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0故值域为{A|01 / 15

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