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6.1　幂函数
学习任务 核心素养
1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象．(重点) 2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点) 3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点) 1．借助幂函数的图象，提升直观想象素养． 2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养．
经调查，一种商品的价格和需求量之间的关系如下表所示：
价格 /元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
需求 量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041
根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x-0.38．这是一类怎样的函数，这类函数有什么性质？
知识点1　幂函数的概念
一般地，我们把形如_______的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是______．
1．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________．
知识点2　幂函数的图象和性质
1．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图象如图所示：
2．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1
定 义 域 ___ ___ ___ _____________ (－∞，0)∪ (0，＋∞)
值 域 ___ _____________ ___ _____________ (－∞，0)∪ (0，＋∞)
奇 偶 性 ________ ________ ________ __________________________ ________
单 调 性 在(－∞，＋∞)上是____函数 在 (－∞，0]上__________，在[0，＋∞)上__________ 在 (－∞，＋∞)上是____函数 在[0， ＋∞) 上是 ____函数 在(－∞，0)上__________，在(0，＋∞)上__________
定 点 ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ __________
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数的图象不经过第四象限． (　　)
(2)幂函数的图象必过(0，0)和(1，1)这两点． (　　)
(3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关． (　　)
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，8)，则f(－2)＝________．
类型1　幂函数的概念
【例1】(1)下列函数：
①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　幂函数y＝xα满足的三个特征
(1)xα前系数为1；
(2)底数只能是自变量x，指数是常数；
(3)项数只有一项．
提醒：求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α．
[跟进训练]
1．下列函数是幂函数的有________．(填序号)
①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝；④y＝x2＋1；⑤y＝－；⑥y＝．
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(100)＝________．
类型2　比较大小
【例2】【链接教材P140例2】
比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)与；
与；(4)1.20.6与0.30.4；
(5)与．
[思路点拨]　可以借助幂函数y＝xα的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　比较幂值的大小的方法
(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；
(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．
[跟进训练]
3．比较下列各组中两个数的大小：
；
(2)a1.5，(a＋1)1.5(a＞0)；
(3)．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型3　幂函数的图象及应用
【例3】点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；
(2)f(x)＝g(x)；
(3)f(x)[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．解决幂函数图象问题应把握研究的一般方法
(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；
(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其他象限的图象．
2．幂函数在第一象限的图象与性质
(1)α>0，幂函数的图象恒经过点(0，0)，(1，1)，在[0，＋∞)上单调递增．
(2)α<0，幂函数的图象恒经过点(1，1)，在(0，＋∞)上单调递减．
3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律
(1)在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；
(2)在第一象限内直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
[跟进训练]
4．(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
(2)函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
A　　 　B　　　　C　　 　D
类型4　幂函数性质的综合应用
【例4】已知幂函数y＝x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足<的a的取值范围．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　(1)此类问题在解答过程中易忽略对底数的分类讨论而产生漏解．
(2)求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．
[跟进训练]
5．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点A．
(1)求实数α的值；
(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．(多选题)下列所给出的函数中，是幂函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝x-3
C．y＝ D．y＝2x2
2．函数y＝的图象是(　　)
A　　　　B　　 　C　　　　D
3．下列不等式成立的是(　　)
A． B．
C．> D．
4．(教材P142练习T2改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，则f(4)的值是________．
5．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．判断函数为幂函数的标准是什么？
2．幂函数在第一象限内的图象有何特点？
1 / 76.1　幂函数
学习任务 核心素养
1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象．(重点) 2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点) 3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点) 1．借助幂函数的图象，提升直观想象素养． 2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养．
经调查，一种商品的价格和需求量之间的关系如下表所示：
价格 /元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
需求 量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041
根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x-0.38．这是一类怎样的函数，这类函数有什么性质？
知识点1　幂函数的概念
一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
1．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________．
3　[由题意得
所以m＋n＝3．]
知识点2　幂函数的图象和性质
1．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图象如图所示：
2．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1
定 义 域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞)
值 域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞)
奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数也不是偶函数 奇函数
单 调 性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在 (－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增 在 (－∞，＋∞)上是增函数 在[0， ＋∞) 上是 增函数 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定 点 (1，1)，(0，0) (1，1)，(0，0) (1，1)，(0，0) (1，1)，(0，0) (1，1)
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数的图象不经过第四象限． (　　)
(2)幂函数的图象必过(0，0)和(1，1)这两点． (　　)
(3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，8)，则f(－2)＝________．
－8　[因为8＝2α，所以α＝3，
所以f(x)＝x3，f(－2)＝(－2)3＝－8．]
类型1　幂函数的概念
【例1】(1)下列函数：
①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
(1)B　[幂函数有①⑥两个．]
(2)[解]　由题意得
解得或
所以m＝－3或1，n＝．
　幂函数y＝xα满足的三个特征
(1)xα前系数为1；
(2)底数只能是自变量x，指数是常数；
(3)项数只有一项．
提醒：求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α．
[跟进训练]
1．下列函数是幂函数的有________．(填序号)
①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝；④y＝x2＋1；⑤y＝－；⑥y＝．
③⑥　[根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．]
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(100)＝________．
　[由题知2α＝＝，∴α＝－．
∴f(x)＝，
∴f(100)＝＝＝．]
类型2　比较大小
【例2】【链接教材P140例2】
比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)与；
与；(4)1.20.6与0.30.4；
(5)与．
[思路点拨]　可以借助幂函数y＝xα的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．
[解]　(1)∵y＝在[0，＋∞)上单调递增，且>，
∴．
(2)∵y＝x-1在(－∞，0)上单调递减，且－<－，
∴>．
(3)0.2，6.2＝2.．
∵y＝在[0，＋∞)上单调递增，且2<2.5，
，即．
(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1，0.30.4<10.4＝1，从而0.30.4<1.20.6．
(5)由幂函数的奇偶性＝＝．
【教材原题·P140例2】
例2试比较下列各组数的大小：
(1)1.13，0.893；
；
(3)．
解：(1)因为函数y＝x3在区间[0，＋∞)上单调递增，又1.1>0.89，所以1.13>0.893．
(2)因为函数y＝在区间[0，＋∞)上单调递增，又2.1>2>1.8，所以．
(3)因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞)上单调递增，又1＝11.3，<1，所以<11.3＝1．
因为函数y＝在区间［0，+∞）上单调递增，又=1，3>1，所以于是．
　比较幂值的大小的方法
(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；
(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．
[跟进训练]
3．比较下列各组中两个数的大小：
；
(2)a1.5，(a＋1)1.5(a＞0)；
(3)．
[解]　(1)因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以．
(2)因为函数y＝x1.5在(0，＋∞)上单调递增，
又a＞0，a＋1＞a，
所以(a＋1)1.5＞a1.5．
(3)函数y＝为偶函数，在[0，＋∞)上单调递增，
所以＝．
类型3　幂函数的图象及应用
【例3】点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；
(2)f(x)＝g(x)；
(3)f(x)[解]　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ．
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x-1．
分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0，1)时，f(x)　1．解决幂函数图象问题应把握研究的一般方法
(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；
(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其他象限的图象．
2．幂函数在第一象限的图象与性质
(1)α>0，幂函数的图象恒经过点(0，0)，(1，1)，在[0，＋∞)上单调递增．
(2)α<0，幂函数的图象恒经过点(1，1)，在(0，＋∞)上单调递减．
3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律
(1)在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；
(2)在第一象限内直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
[跟进训练]
4．(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
(2)函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
A　　 　B　　　　C　　 　D
(1)B　(2)B　[(1)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的图象相符合．
在第一象限内，直线x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d．故选B．
(2)y＝在[0，＋∞)上单调递增，所以函数图象是上升的，函数y＝－1的图象可看作由y＝的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示)，将y＝－1的图象关于x轴对称后即为选项B．]
类型4　幂函数性质的综合应用
【例4】已知幂函数y＝x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足<的a的取值范围．
[解]　∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴3m－9<0，解得m<3．
又m∈N*，∴m＝1或2．
又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1．
∴有<．
∵y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a，解得∴a的取值范围为(－∞，－1)．
　(1)此类问题在解答过程中易忽略对底数的分类讨论而产生漏解．
(2)求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．
[跟进训练]
5．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点A．
(1)求实数α的值；
(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．
[解]　(1)∵f＝＝，
∴α＝－．
(2)证明：∵f(x)＝＝，
∴任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2．
∴f(x1)－f(x2)＝＝＝．
∵x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，
∴x2－x1＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
1．(多选题)下列所给出的函数中，是幂函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝x-3
C．y＝ D．y＝2x2
ABC　[幂函数是形如y＝xα的函数，观察四个函数只有D中函数不是幂函数．]
2．函数y＝的图象是(　　)
A　　　　B　　 　C　　　　D
C　[函数y＝既不是奇函数也不是偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C．]
3．下列不等式成立的是(　　)
A． B．
C．> D．
A　[y＝在(0，＋∞)上为减函数．故A正确．]
4．(教材P142练习T2改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，则f(4)的值是________．
2　[将点(2，)代入幂函数解析式可得f(2)＝2α＝，解得α＝，即幂函数为f(x)＝，可得f(4)＝＝2．]
5．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝________．
2　[令m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1．
当m＝2时，m2－2m－3＝－3符合要求；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0不符合要求．
故m＝2．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．判断函数为幂函数的标准是什么？
[提示]　底数是自变量，指数是常数，只有一项，系数为1．
2．幂函数在第一象限内的图象有何特点？
[提示]　α>0时，幂函数的图象经过点(0，0)，(1，1)，在(0，＋∞)上图象上升．
α<0时，幂函数的图象经过点(1，1)，在(0，＋∞)上图象下降．
课时分层作业(二十四)　幂函数
一、选择题
1．(多选题)下列命题中正确的是(　　)
A．幂函数的图象不可能是一条直线
B．幂函数y＝xα，当α>0时是增函数
C．幂函数y＝xα，当α<0时，在第一象限内函数值随x的增大而减小
D．幂函数的图象不可能过第四象限
CD　[当α＝1时，y＝xα的图象为一条直线，幂函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，CD正确．]
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[使函数y＝xα的定义域为R的有1，2，3，其中为奇函数的有1，3．]
3．已知幂函数f(x)＝(m2－3)x－m在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为(　　)
A． B．±2
C．2 D．－2
D　[因为函数f(x)＝(m2－3)x－m为幂函数，所以m2－3＝1，所以m＝±2，因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以－m>0，因此m＝－2，故选D．]
4．若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f＝(　　)
A．16 B．4
C． D．
D　[因为函数f(x)是幂函数，设f(x)＝xα，由题设＝2 3α＝2，所以f＝＝＝．]
5．已知函数f(x)＝xk(k∈Q)，在下列函数图象中，不是函数y＝f(x)的图象的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
C　[函数f(x)＝xk(k∈Q)为幂函数，图象不过第四象限，所以C中函数图象不是函数y＝f(x)的图象．故选C．]
二、填空题
6．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为________．
1　[由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．]
7．已知m＝(a2＋3)-1(a≠0)，n＝3-1，则m与n的大小关系为________．
m则a2＋3>3>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
则f(a2＋3)故m8．若幂函数y＝(m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．(填序号)
①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；③m是偶数，n是奇数，且<1；④m，n是偶数，且>1．
③　[由题图知，函数y＝为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限函数图象向上“凸”，所以<1，选③．]
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
和；
和；
(3)，和．
[解]　(1)构造函数f(x)＝，此函数在[0，＋∞)上是增函数．
(2)构造函数f(x)＝，函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
＝．
．
(3)构造函数y＝，此函数为偶函数，在[0，＋∞)上单调递增，则＝＝>0．
函数y＝在R上是增函数，
则＝0，
故．
10．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
[解]　(1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1．
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1．
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±．
11．已知幂函数f(x)＝xm-3(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则m等于(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．3
B　[因为f(x)＝xm-3在(0，＋∞)上单调递减，
所以m－3<0，所以m<3．
又因为m∈N*，所以m＝1，2．
又因为f(x)＝xm-3是奇函数，所以m－3为奇数，所以m＝2．]
12．函数y＝在[－1，1]上(　　)
A．单调递增且是奇函数
B．单调递增且是偶函数
C．单调递减且是奇函数
D．单调递减且是偶函数
A　[由幂函数的性质可知，当α>0时，y＝xα在第一象限内单调递增，所以y＝在(0，1]上单调递增．令y＝f(x)＝，x∈[－1，1]，则f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1，0)时，y＝在[－1，0)上也单调递增．当x＝0时，y＝0，又当x<0时，y＝<0，当x>0时，y＝>0，所以y＝在[－1，1]上单调递增．故y＝在[－1，1]上单调递增且是奇函数．]
13．已知幂函数f(x)的图象过点(9，3)，则f＝________，函数f的定义域为________．
　(0，1]　[令f(x)＝xα，∵f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，
故f(x)＝＝，∴f＝．
令－1≥0，解得0故f的定义域为(0，1]．]
14．给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为________．
③　[设f(x)＝xα，
则f(m＋n)＝(m＋n)α，
f(m)＋f(n)＝mα＋nα，
f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，
f(mn)＝(mn)α，
所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立．]
15．已知幂函数y＝f(x)经过点．
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；
(3)试解关于x的不等式f(3x＋2)＋f(2x－4)>0．
[解]　(1)设f(x)＝xα，由题意，
得f(2)＝2α＝ α＝－3，
故函数解析式为f(x)＝x-3．
(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
f(－x)＝(－x)-3＝－x-3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．
其单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
(3)由(2)得f(3x＋2)>－f(2x－4)＝f(4－2x)．
即
或
或
解得－2，
故原不等式的解集为．
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