资源简介

2.1平方根（第2课时 平方根）教学设计
1.教学内容
本节课选自苏科版2024八年级上册第二章《实数的初步认识》第2.1节“平方根”第2课时，核心知识点包括平方根的定义与性质、算术平方根与平方根的区别与联系、求数的平方根及开平方与平方的互逆关系。通过典型例题与练习，帮助学生掌握正数的两个平方根互为相反数、0的平方根只有0、负数没有平方根等概念。
2.内容解析
本节课以“x =a，时，x的取值”为主线，引导学生明确“有两个平方根的为正数、0的平方根是0、负数无平方根”的结论；进而区分“平方根”和“算术平方根”在定义、取值范围、表示方式等方面的差异。通过对典型例题（如求给定数的平方根、解含平方根的简单方程）进行示范与分析，培养学生对逆向思维和运算能力的掌握。
1.教学目标
了解平方根的定义，会用根号表示一个数的平方根。
了解平方与开平方是互逆的运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根。
2.目标解析
能准确理解“平方根”的概念，知道对非负数可以求平方根，且正数有±两种值。
能在数轴或几何意义上理解算术平方根与平方根的区别，感知算术平方根是正数或零。
能运用开平方与平方的互逆关系，解答简单方程并解决常见平方根问题。
3.重点难点
教学重点：掌握平方根的定义、正数的两个平方根互为相反数以及算术平方根的概念。
教学难点：区分“算术平方根”与“平方根”以及在运算中准确使用 ± 符号，避免丢解或错解。
学生在之前的学习中已初步接触过平方运算，了解完全平方数及简单的数形转换。对“平方与反向运算”有感性认识，但对正数、零、负数求平方根时的结论区分不够熟练，尤其在算术平方根与±号并存的情况下，易出现混淆或漏解。同时，部分学生对运算过程的严谨性尚有欠缺，需要在练习中加以巩固。
创设情境，问题引入
教师提问：若，则等于什么？
学生回答：或。
由此自然过渡到“当时，会是几？有什么规律？”从而引出平方根定义。
探究点1：平方根的定义与基本性质
1.概念引入
根据上述问题，给出概念：
一般地，如果，那么叫作的平方根，也称为二次方根。
2.师生活动
o 教师展示：、等，引导学生快速判断值分别是、。
o 学生讨论：当时，平方根有几个？当时，是否存在平方根？
o 教师总结：时仅有一个平方根；负数无平方根。
性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；的平方根是；负数没有平方根。
【设计意图】通过方程的特征与具体数值例子，让学生直观感受“平方根有两个且互为相反数”的特征，突破“负数没有平方根”的认知障碍，培养学生的抽象概括能力。
探究点2：平方根与算术平方根的区别与联系
1.问题引入
o 教师提问：我们常说的“”表示什么？它和的平方根有什么联系？
o 引导学生对算术平方根的描述：
“如果，那么，因此和都满足方程。但我们把其中非负的那个解称为的算术平方根，记为。”
总结：如果a为正数，那么a有两个平方根±，其中，正的平方根是算术平方根，负的平方根是－．
2.关键知识点
o 正数的平方根有两个；其中是算术平方根，非负。
o 的平方根和算术平方根都是；负数没有平方根。
3.师生活动
教师组织学生讨论表格中的对比（平方根与算术平方根有什么区别与联系？），并要求学生尝试自我归纳。
【设计意图】通过表格和小组讨论，深入认识“平方根”与“算术平方根”。学生掌握区别与联系后，能更灵活地进行正负号的区分与运算。
探究点3：开平方与平方的互逆关系
1.新知导出
o教师提问：已知正数的两个平方根是，那么“开平方”与“平方”之间是什么关系？
o开平方与平方有下面的关系，如图所示.
得出：求一个数的平方根的运算叫作开平方（extraction of square root），它与平方运算互为逆运算。
2.重点说明
o只要是非负数，才能进行开平方运算；结果要注意有两种符号。
o在求解方程或解决几何问题时，“开平方”是常用手段之一。
3.讨论交流
(1) 如图(1)，将面积为2的正方形纸片放置在面积为3的正方形纸片上，据图比较与的大小．
解：如图，＞．
(2)已知a＞b＞0，类似地，根据图2比较与的大小．
解：如图，＞．
正方形面积与边长的关系：面积越大，边长(即算术平方根)越大．
【设计意图】通过对比与几何直观演示，让学生清楚“开平方”与“平方”是一对逆运算，为后续灵活运用打下基础。
典例分析
例1 求下列各数的平方根：(1) 100； (2)625； (3) 0.0081； (4) 2 .
解：(1) ∵102＝100，∴100的平方根±＝±10；
(2) ∵625，∴625的平方根±＝±25；
(3) ∵0.092 0.0081，∴ 0.0081的平方根±＝±0.09；
(4) 2的平方根是±.
例2 一个正数的两个平方根为2x－1与5x－13，求x的值和这个数.
解：根据题意得：(2x－1)＋(5x－13)＝0
2x－1＋5x－13 ＝0
2x＋5x＝1＋13
7x＝14
x＝2
∵ 当x＝2时，2x－1＝2×2－1＝4－1＝3，∴ 32＝9.
或 ∵ 当x＝－2时， 5x－13＝5×2－13＝10－13＝－3，∴ (－3)2＝9.
答：x的值为2，这个数为9.
1. 判断下列说法是否正确：
① 是 的平方根 (√ )
② 的平方根是 (× )
③ 只有正数有平方根 (× )
④ 的平方根是 ( ×)
⑤ 的平方的平方根是 (× )
⑥ 没有平方根 (× )
2. 求下列各数的平方根：0.01，， 0，10， ．
解： ∵0.12＝0.01，∴0.01的平方根±＝±0.1；
∵，∴的平方根±＝±；
0的平方根是0；
10的平方根是±；
∵，∴的平方根±＝±．
3. 求下列各数的平方根：169，225，， 11，0.16，，1.44 ．
解： ∵132＝169，∴169的平方根±＝±13；
∵152＝225，∴225的平方根±＝±15；
∵，∴的平方根±＝±；
11的平方根是±；
4. 求下列各式中的 ：(1) x2＝49； (2) x2＝； (3) x2＝21； (4) 4x2＝81.
解：(1) x＝±，
x＝±7；
(2) x＝±，
x＝±；
(3) x＝±；
(4) x2＝，
x＝±，
x＝±．
5.观察“平方”与“开平方”的关系，并完成对应的填空。
6.圆的面积扩大为原来的3倍，半径扩大为原来的多少倍
解：设原半径为r，扩大后的半径为r'．
由圆的面积公式得：π(r')2＝3πr2，
化简得：(r')2＝3r2 ，
解得： r'＝r．
答：半径扩大为原来的倍．
【设计意图】本环节以多样化的典型练习为主，通过判断与求解等不同题型，帮助学生在练习中强化对平方根相关概念的理解，熟练掌握开平方与平方的互逆关系，提高解题的准确度与熟练度。
本节课围绕“平方根”展开，明确了以下核心知识点：
1. 平方根的概念与符号表示：若x = a（a ≥ 0），则x为a的平方根，记作±√a，其中正根√a是算术平方根。
2. 平方与开平方互为逆运算：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0，负数没有平方根。
3. 运用开平方求简单数值（如百以内完全平方数等）的平方根，并理解在具体问题中如何确定正根或负根。
1. 课题：2.1 平方根（第2课时）
平方根定义
两个平方根互为相反数
算术平方根与开平方
2. 典型示例
例1
例2
3. 规律总结
“正数有两个平方根，0的平方根是0，负数无平方根”
开平方与平方的互逆关系
1. 课本习题巩固：完成本节教材中的对应练习题。
2. 拓展探究：假设某数x的两个平方根分别为3x 2 和2x 5，求x的值及原数；并说明在列方程过程中如何处理正负根。
3. 预习思考：回顾平方、立方及其根之间的关系，思考它们是否有相似点，为下节课立方根内容做准备。
本节课学生对平方根的定义与算术平方根概念理解基本清晰，通过求具体数值的平方根练习，理解了“正数有两个平方根”的关键思想。但在列方程或应用中，部分学生对正负根的取舍仍有疑问，需要在练习中进一步强化。教学过程中，利用直观图形（如正方形、圆等）辅助理解“开平方与平方互为逆运算”，从感性认识过渡到理性思考，效果明显。后续在教学中，可以增设小组讨论环节，引导学生更多参与对未知数的建模与判断，增强合作学习与探究能力，让他们在应用情景中自主发现并纠正易错点。

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