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2.2圆的方程
（秋季讲义 2019人教版）
知识要点一 圆的方程
一、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。
二、圆的标准方程：.
方程 称为圆心，半径为的圆的标准方程
三、圆的一般方程:
，化作标准式为, 圆心坐标：，半径：
注意：
的系数相同且都不为0
方程中无项
对于的取值要求：
当时，方程只有实数解．它表示一个点
当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
四、直径圆方程:
以 为直径的圆的方程为
五、求圆的方程的方法
待定系数法：设圆的一般方程或者标准方程
几何法：利用圆的性质（1）圆心在任意弦的垂直平分线上（2）圆关于直径对称，则圆心在圆的对称轴上（3）圆心在过切点且与切线垂直的直线上
例题讲解
专题一 求圆的方程
（2001·全国·高考真题）过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
（2017·全国·高考真题）已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2025高三·全国·专题练习）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ．
（2005·重庆·高考真题）圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习】
1．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程：
(1)圆心在点，且过点；
(2)过点和点，半径为；
(3)过三点.
2．（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 .
3.（2025高三·全国·专题练习）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程．
4.（2025高三·全国·专题练习）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意三角形中，三条边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称为欧拉圆．已知在中，，，，求的九点圆的方程．
5. （25-26高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是
6.（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7. （2025高二·全国·专题练习）过点，且半径最小的圆的方程为 ．
8.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
9.（25-26高三上·河北邢台·开学考试）与圆关于直线对称的圆的标准方程为 .
专题二 根据圆的方程求参
（2025·贵州贵阳·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于直线对称，则 ．
（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【巩固练习】
1．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 .
4. （23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5. （24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·浙江嘉兴·三模）“”是“圆不经过第三象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识要点二 点与圆的位置关系
点与圆：或 的位置关系，若为圆直径的两个端点，且与M不重合：
若在圆外
或 ，则，
若在圆上
或, 则，
若在圆内
或 ．则，
例题讲解
专题三 点与圆的位置关系
（2025高三·全国·专题练习）若点在圆外，则实数的取值范围为 ．
（2025高二·全国·专题练习）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习】
1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆外 D．无法确定
2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆心的坐标为
B．点在圆外
C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为
D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为
3．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∪
4．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识要点三 与圆有关的轨迹问题
直接法
根据题目给出的条件设点列方程，整理简化后得出轨迹方程，这个方法在圆锥曲线中通用。
定义法
到定点的距离等于定
到两定点距离的平方和为定值
到两定点的夹角为
定边对定角、对角互补、数量积为定值
到两定点距离之比为定值：
设为平面上相异两定点，且，为平面上异于的动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线；
圆的半径 （用角分线原理来证明）
例题讲解
专题四 直接法求圆的轨迹
（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习】
1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知是圆的直径，且，是圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹．
专题五 定义法求圆的轨迹
（2025高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
（2025高三·全国·专题练习）到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程．
（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习】
1．（2025高二·全国·专题练习）已知直线过点，直线过点，且，互相垂直，若，交于点，求点的轨迹方程．
2．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点．
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹．
知识要点四 与圆有关的最值问题
数形结合
使用数形结合的方法，把代数式问题转化为直线的斜率问题，两点直接的距离问题等，利用几何意义求最值。
代数法
根据题目条件列出所求目标式子的函数关系式，，然后根据关系式，选择使用配方、基本不等式等方法求最值。
例题讲解
专题六 数形结合求最值
（2024高三上·全国·专题练习）已知圆，点为圆上任意一点，则的取值范围是 ，的取值范围是 ．
（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）已知圆，点是圆上的动点，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为3
C．的最小值为 D．的最大值为
【巩固练习】
1．（2025·陕西西安·一模）已知，满足，则的最小值为 .
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3. （2022高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程，则
（1）的最大值和最小值分别为 和 ；
（2）y－x的最大值和最小值分别为 和 ；
（3）的最大值和最小值分别为 和 ．
专题六 几何性质求最值
（2025高二·全国·专题练面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ）
A． B．4 C．8 D．
【巩固练习】
1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则（ ）
A．0 B．2 C．5 D．7
2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ．
3．（2023高三·全国·专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为 .2.2圆的方程
（秋季讲义 2019人教版）
知识要点一 圆的方程
一、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。
二、圆的标准方程：.
方程 称为圆心，半径为的圆的标准方程
三、圆的一般方程:
，化作标准式为, 圆心坐标：，半径：
注意：
的系数相同且都不为0
方程中无项
对于的取值要求：
当时，方程只有实数解．它表示一个点
当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
四、直径圆方程:
以 为直径的圆的方程为
五、求圆的方程的方法
待定系数法：设圆的一般方程或者标准方程
几何法：利用圆的性质（1）圆心在任意弦的垂直平分线上（2）圆关于直径对称，则圆心在圆的对称轴上（3）圆心在过切点且与切线垂直的直线上
例题讲解
专题一 求圆的方程
（2001·全国·高考真题）过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．
【详解】因为过点与，
所以线段AB的中点坐标为，，
所以线段AB的中垂线的斜率为，
所以线段AB的中垂线的方程为，
又因为圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆心为，
所以圆的方程为.
故选：A
（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
（2017·全国·高考真题）已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可.
【详解】设中点为O，则，即，
设圆半径为r，则，
则以为直径的圆的方程为.
故选：B.
（2025高三·全国·专题练习）曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ．
【答案】
【分析】在曲线上任取一点，求出点关于直线的对称点的坐标，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得出曲线的方程.
【详解】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为，
因为点在曲线上，则有，
即为.
故曲线的方程为.
故答案为：.
（2005·重庆·高考真题）圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出已知圆的圆心和半径，求出圆心关于原点对称的圆的圆心的坐标，即可得到对称的圆的标准方程．
【详解】解：圆的圆心，半径等于，
圆心关于原点对称的圆的圆心，
故对称圆的方程为，
故选：．
【巩固练习】
1．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程：
(1)圆心在点，且过点；
(2)过点和点，半径为；
(3)过三点.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用两点的距离公式及圆的标准方程即可求解；
（2）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解；
（3）首先设出圆的标准方程，再代入三点坐标，即可求解.
【小题1】所求圆的半径.
又因为圆心为，
所以所求圆的方程为.
【小题2】设圆心坐标为，则圆的方程为.
因为是圆上的点，
所以解得或，
因此，所求圆的方程为或.
【小题3】设圆的标准方程为，
得，得，
所以圆的标准方程是.
2．（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 .
【答案】
【分析】先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点的中点和斜率，进而得到垂直平分线的斜率和方程，再联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点求出半径，从而确定圆的方程.
【详解】点和点的中点为，
点和点的斜率为，
则点和点的垂直平分线的斜率为，
可得点和点的垂直平分线的方程为
设圆心为，由题意联立方程：
解得，，半径，圆方程为.
故答案为：.
3.（2025高三·全国·专题练习）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程．
【答案】
【分析】设圆的标准方程，将3个点的坐标代入圆的标准方程，建立方程组，解出a，b，r即可.
【详解】设所求的方程是．①
因为，，三点都在圆上，分别代入方程①．
得即
三式两两相减，整理得解得
代入，得．
所以的外接圆的标准方程是．
4.（2025高三·全国·专题练习）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意三角形中，三条边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称为欧拉圆．已知在中，，，，求的九点圆的方程．
【答案】
【分析】三条边的中点均为圆上的点，分别设为M，N，P，求出直线，垂直平分线的方程，则两垂直平分线的交点即为圆心，再由圆的定义求出半径，即可得到圆的方程.
【详解】记的边，，的中点分别为M，N，P，
则边的中点，边的中点，边的中点．
因为直线的斜率，线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，即．
因为直线的斜率，线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，即．
联立，解得.
由垂径定理推论得，该点即为圆心，结合圆上点可得半径
，
所以的九点圆的方程为．
5. （25-26高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是
【答案】
【分析】求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程．
【详解】由题意，圆C的圆心为，
则半径为，
所以圆C的标准方程是.
故答案为：.
6.（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程.
【详解】圆的圆心为，半径．
圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5，
所以所求圆的方程为．
故选：B.
7. （2025高二·全国·专题练习）过点，且半径最小的圆的方程为 ．
【答案】（或）
【分析】解法一：先判断半径最小的情况，然后根据直径式方程写出圆的方程；
解法二：先确定圆心坐标和半径长，然后根据圆的方程直接写出即可.
【详解】解法一：根据题意，以点，为直径的两个端点的圆的半径最小，
则由直径式方程可得，即．
解法二：以点，为直径的两个端点的圆的半径最小，则线段的中点即圆心，
即直径，所以半径为，
所以圆的方程为．
故答案为：（或）
8.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据中点坐标公式求出、、三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可.
【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为，
设的九点圆方程为，
代入、、三点坐标，可得，
解得，，，即，
化简可得圆的标准方程为．
故选：C.
9.（25-26高三上·河北邢台·开学考试）与圆关于直线对称的圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据题意先求出圆心关于直线对称的坐标，结合半径，代入圆的标准方程得解.
【详解】由题意得，圆，化简得，
所以圆心坐标为，半径，
设圆心关于直线的对称点的坐标为
得，解得，则所求圆的圆心坐标为，半径也为，
所以所求圆的标准方程为.
故答案为：
专题二 根据圆的方程求参
（2025·贵州贵阳·模拟预测）“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，化为圆的方程为标准方程，结合圆的方程，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由方程，可得，
若时，可得，此时方程表示圆，即充分性成立；
反之：方程表示圆时，
例如：当a=0,b≠0时，方程可化为也可以表示圆，所以必要性不成立，
所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可.
【详解】因为方程可变形为，
由题知，解得，实数的取值范围是.
故选：C
（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于直线对称，则 ．
【答案】3
【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可．
【详解】由题意得直线过圆心，代入直线方程有，
解得，
故答案为：3．
（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
【巩固练习】
1．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的一般方程可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】若方程表示圆，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解.
【详解】因为方程可变形为，
由题知，得到，
故选：C.
3.（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围.
【详解】因为，变形得，
所以，解得.
故答案为：.
4. （23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出的取值范围.
【详解】由题意，
在圆中，，
∴圆心坐标为，半径为3．

∵圆上所有点都在第二象限，
∴，解得．
故选：C.
5. （24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解.
【详解】由题意知，由可得，
所以，即，解得或，
当时，方程为，可化为，不合题意；
当时，方程为，可化为，符合题意，
所以.
故选：.
6．（2025·浙江嘉兴·三模）“”是“圆不经过第三象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】若圆不经过第三象限，等价于原点不在圆内，即可的取值范围，结合包含关系分析充分、必要条件.
【详解】圆整理可得，
可知圆心为，半径，且，
若圆不经过第三象限，
等价于原点不在圆内，则，可得，
且是的真子集，
所以“”是“圆不经过第三象限”的必要不充分条件.
故选：B.
知识要点二 点与圆的位置关系
点与圆：或 的位置关系，若为圆直径的两个端点，且与M不重合：
若在圆外
或 ，则，
若在圆上
或, 则，
若在圆内
或 ．则，
例题讲解
专题三 点与圆的位置关系
（2025高三·全国·专题练习）若点在圆外，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据条件，得，即可求解.
【详解】因为点在圆外，
则，解得，
故答案为：.
（2025高二·全国·专题练习）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断点与圆的位置关系：法一为几何视角，比较与半径的大小；法二为代数视角，将点的坐标代入标准方程后比较其与的大小
【详解】法一：由题意，半径为1，则，所以；
法二：由在圆内，则，所以，即.
故选：D
【巩固练习】
1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆外 D．无法确定
【答案】C
【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系.
【详解】因为是方程的两个不等实数根，且.
所以，.
所以点在圆外.
故选：C.
2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆心的坐标为
B．点在圆外
C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为
D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为
【答案】BCD
【分析】对于A，将圆方程化为标准形式，可判断选项正误；对于B，将代入圆方程可判断选项正误；对于C，将点代入圆方程可得，然后由斜率计算公式可判断选项正误；对于D，当三点共线时，可得最值，据此可判断选项正误.
【详解】对于A，圆的标准方程为，
所以圆心坐标为，故A错误；
对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确；
对于C，若点在圆上，则，
解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确；
对于D，，因为是圆上任一点，
所以，所以的取值范围为．
故选：BCD
3．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∪
【答案】B
【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可.
【详解】圆的方程可化为，则，可得，
又点在圆外，则，可得，
所以.
故选：B
4．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围.
【详解】由题设，圆，则①，
由点在圆外，则有②，
联立①②得：或
所以实数m的取值范围为
故选：C
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论.
【详解】定点在圆的外部，
，化简得，
k的取值范围：或，
所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件.
故选：B.
知识要点三 与圆有关的轨迹问题
直接法
根据题目给出的条件设点列方程，整理简化后得出轨迹方程，这个方法在圆锥曲线中通用。
定义法
到定点的距离等于定
到两定点距离的平方和为定值
到两定点的夹角为
定边对定角、对角互补、数量积为定值
到两定点距离之比为定值：
设为平面上相异两定点，且，为平面上异于的动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线；
圆的半径 （用角分线原理来证明）
例题讲解
专题四 直接法求圆的轨迹
（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解.
【详解】设点，，
因为为的中点，
所以，则，即，
又因为动点在圆上，所以，
则，即，
则点轨迹方程为.
故选：A.
【巩固练习】
1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】利用中点坐标公式，整理等量关系，代入圆的方程，可得答案.
【详解】设线段的中点，，
则由题意得，且，即，
所以，即，
所以线段的中点的轨迹方程为．
故答案为：.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知是圆的直径，且，是圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹．
【答案】答案见解析
【分析】以圆心为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，设圆与轴交点为作于，进而利用相似三角形建立方程求解即可.
【详解】如图，以圆心为原点，所在的直线为轴建立直角坐标系，
则，圆的方程是．
设点的坐标为，并设圆与轴交点为作于，
则有．
，，即，
即，
点的轨迹是分别以为直径的两个圆．

专题五 定义法求圆的轨迹
（2025高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用垂直关系求参数，从而可得交点，即可利用圆心和半径求得圆的标准方程.
【详解】由可得：，由，
解得：，即可得，则，
即所求圆的方程为．
故选：D.
（2025高三·全国·专题练习）到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程．
【答案】
【分析】根据题设建立方程求解即可.
【详解】，，
代入，得，
化简得，
则动点的轨迹方程为．
（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线方程求出定点 的坐标，判断两直线的交点 的轨迹为圆，利用点到直线的距离公式判断直线与圆相切，即可求出 的取值范围
【详解】动直线 过定点 ，
动直线 即 过定点 .
因为，
所以直线与直线垂直，
又直线的斜率一定存在，
点 在以 为直径的圆上（去除点），
圆心为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离为
所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0；
圆的直径，且点到直线 的距离为，所以，
即 的取值范围为 .
故选：A .
【巩固练习】
1．（2025高二·全国·专题练习）已知直线过点，直线过点，且，互相垂直，若，交于点，求点的轨迹方程．
【答案】
【分析】可由题意分析得：点C的轨迹为以AB为直径的圆，从而得到圆心坐标和圆的半径，写出圆的方程.也可根据求什么设什么的原则，设点的坐标，写两出直线的斜率，将两直线互相垂直转化为两直线斜率乘积为 或向量数量积为零，即可列出点的轨迹方程.用直线斜率时,要特别注意直线或斜率不存在的情形.
【详解】解：方法一：由题可知 ,所以点C的轨迹是以AB为直径的圆，圆心坐标为 ,半径为1.
分析可知，当点 C 与 A 或 B 重合时，满足题意.
所以点C的轨迹方程是：.
方法二：设点．
当直线，的斜率都存在时，可得其斜率分别为,.
由，互相垂直，可得,
化简整理得，即为点的轨迹方程.
当直线斜率不存在时，其方程是:,此时的斜率为,其方程是,点与点重合,满足上述方程；
当直线的斜率不存在时，其方程是:,此时直线 的斜率为,其方程是: . ,此时点 C 与点 重合；点与点重合,满足上述方程.
综上可知，点的轨迹方程为．
方法三:
解:由直线，互相垂直，且，交于点，得,即,所以,
设点(异于、)，则，
当点与或重合时，满足条件，其坐标满足上述方程.
所以,点的轨迹方程为.
2．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点．
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹．
【答案】(1)
(2)以为圆心，为半径的圆
【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程．
（2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹.
【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上.
因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率，
所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:.
因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为.
又半径，所以圆的方程为:．
（2）设，．由，得,
所以即
因为点在圆上，所以，所以，
化简整理得的轨迹方程为:，
所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆．
知识要点四 与圆有关的最值问题
数形结合
使用数形结合的方法，把代数式问题转化为直线的斜率问题，两点直接的距离问题等，利用几何意义求最值。
代数法
根据题目条件列出所求目标式子的函数关系式，，然后根据关系式，选择使用配方、基本不等式等方法求最值。
例题讲解
专题六 数形结合求最值
（2024高三上·全国·专题练习）已知圆，点为圆上任意一点，则的取值范围是 ，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据的几何含义是直线的斜率，以及的几何含义是线段的长度的平方，将问题“几何化”，然后根据几何图形求解.
【详解】将圆化为标准方程，
圆的圆心为、半径为1，如图．
因为的几何含义是直线的斜率，于是设直线的方程为，
由于圆与直线有公共点，
因此点到直线的距离满足，
整理得，解得，
因此的取值范围为；
设,则的几何含义是线段的长度的平方，
而，
，
因此，
于是的取值范围为．
故答案为：；.
（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）已知圆，点是圆上的动点，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为3
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】AD
【分析】对于A，转化问题为求直线的最大截距，由几何法即可得解；
对于B，利用基本不等式即可得解；
对于C，转化问题为求到圆上的点的距离的平方的最小值，由几何法即可得解；
对于D，转化问题为求点到圆上的点的连线的斜率的最大值，由几何法即可得解.
【详解】由圆得，则，
因为点是圆上的动点，所以，
对于A，令，则，故问题转化为直线与圆相交时，求直线截距的最大值，
显然，当直线与圆相切于点时，截距最大，连结，则，如图1，
因为直线斜率为，故倾斜角为，故，
故在中，，故，
即截距的最大值为，故的最大值为
对于B，因为，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故B错误；
对于C，将看作是到圆上的点的距离的平方，如图1，
又因为，所以，
故，故C错误；
对于D，将看作是点到圆上的点的连线的斜率，
则直线的方程为，即，如图2，
由题意可知，圆心到直线的距离，即，
解得，
故的最大值为，即的最大值为，故D正确.
故选：AD
【巩固练习】
1．（2025·陕西西安·一模）已知，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】把问题转化为两点之间线段最短，再求两点之间的距离即可.
【详解】因为，
所以.
所以表示圆上的点到与到的距离和.
如图：

所以（当为线段与圆的交点时取等号）.
故答案为：
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件可得点为圆上的一点，点是曲线上的一点，，结合关系和基本不等式求的最小值，由此可得结论.
【详解】因为，所以点为圆上的一点，
因为，所以点是曲线上的一点，
所以，
如图：
因为，为原点，，
所以，当且仅当为线段与圆的交点时取等号，
又，故，当且仅当或时等号成立，
所以，当且仅当或时等号成立，
所以，当且仅当或时等号成立，
所以当或时，取最小值，最小值为，
所以当或时，取最小值，最小值为，
故选：B.
3. （2022高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程，则
（1）的最大值和最小值分别为 和 ；
（2）y－x的最大值和最小值分别为 和 ；
（3）的最大值和最小值分别为 和 ．
【答案】 / / / /
【分析】将圆的方程化为标准形式，得圆心坐标和半径，利用设＝k，利用的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，可求出的最大值和最小值；将y－x看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．利用直线与圆相切可求出y－x的最大值和最小值；将x2＋y2看成圆上的一点与原点距离的平方，利用平面几何知识知可求出的最大值和最小值.
【详解】原方程可化为，表示以（2，0）为圆心，为半径的圆．
（1）的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时（如图），斜率k取最大值或最小值，此时，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
（2）y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－2±，
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
（3）表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2，所以的最大值是，的最小值是.
故答案为：（1）；（2）；（3）；.
专题六 几何性质求最值
（2025高二·全国·专题练面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设由题意结合阿波罗尼斯圆定义确定，可得，即可求出Q点坐标，结合平面图形性质即可求得答案.另解：阿波罗尼斯圆中定点未知，需根据“两定点和圆心三点共线”及“性质3的相似比”求出点坐标．
【详解】由动点的轨迹是关于的阿氏圆知点在轴上，设，，
所以．又，所以．
由动点的轨迹是，可知，整理得．
所以，解得，所以．
又,，
所以，
当三点共线时等号成立．
另解：由题意可得圆是关于定点的阿波罗尼斯圆，且，则，
根据点，阿氏圆的圆心三点共线可知点在轴上，且，
可知点的坐标为，所以，
由图形可知，当点位于或时取得最小值，且最小值为．
故选：C
（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】A
【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案.
【详解】由圆，得圆心，半径，
易得点关于轴的对称点为，
如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离．
故选：A.
【巩固练习】
1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则（ ）
A．0 B．2 C．5 D．7
【答案】B
【分析】设点的坐标为，根据已知求出轨迹为圆，依题意圆心在直线上即可得解.
【详解】设点的坐标为，因为，
所以，即，
整理得点的轨迹方程为，此方程表示一个圆．
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，代入得．
故选：B
2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值.
【详解】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，
则，设，
由，得，
整理得，即
因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，
PA长的最大值等于.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
由正三角形的结构特征，建立平面直角坐标系，求出点轨迹，由轨迹为圆，PA长的最大值为点到圆心距离加上半径.
3．（2023高三·全国·专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据几何关系确定点的轨迹方程，从而根据点到圆上动点距离最值的求解方法求解即可.
【详解】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形，
设的中点为S，连接，则，
所以，
又为直角三角形，所以，故①，
设，则由①可得，
整理得：，
从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内部，所以，
因为，所以 ；
解法2：如图，因为,所以，
故四边形为矩形，由矩形性质，，
所以，从而，
故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内，所以.
故答案为： .

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