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2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】
专题10.3 直线与平面间的位置关系
知识点一：空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：__________
_____________________统称为直线在平面外．
知识点二：直线与平面平行
1、直线与平面平行的定义:_____________________
2、直线与平面平行的判定定理：____________________，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行)
3、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则__________________________
知识点三：直线与平面垂直
1、直线与平面垂直的定义：____________________________
2、直线与平面垂直的判定定理：如果_________________________，那么该直线与此平面垂直
3、直线与平面垂直的性质定理：___________________________________________________
推论1、过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直；
推论2、过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直．
知识点四：点到平面的距离
知识点五：直线与平面所成的角
（1）定义：___________________叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°（或）；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.
（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是_________
题型1：直线与平面平行的判断
【例1】下列命题正确的是(　　)
A．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行
B．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行
D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
【例2】（2021·上海徐汇区·位育中学）设是平面外的两条直线，且，那么是的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
【例3】（2021·上海高二专题练习）下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形有（ ）个
（1）（2）（3）（4）
A．1 B．2 C．3 D．4
【跟踪训练】
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
2．已知是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
3．给出下列四个命题：
①如果是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面；
②如果直线和平面满足，那么与平面内的直线不是平行就是异面；
③如果直线，，则；
④如果平面平面，若，，则．
其中为真命题为_________．
题型2：证明线面平行
1.利用平移法做出平行四边形
2.利用中位线做出平行四边形:中位线法难点在于怎么“发现三角形”
3.做出平行平面来证线面平行，属于“麻烦的方法”，但是在证明后续的“探索性”题型时非常实用。
【例4】如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点．，BC＝6．
(1)求证：平面；
(2)求三棱柱的表面积．
【例5】已知如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，点，分别是棱，上的点，点是上一动点，.
(1)若为线段的中点，证明：平面；
(2)若，求的长度.
【例6】在四棱锥中，，.
（1）若E为PC的中点，求证：平面PAD.
（2）当平面平面ABCD时，求二面角的余弦值.
【跟踪训练】
1．如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF
(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
2．如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点.
(1)求证：//平面
(2)求证：//平面.
3．如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，DG⊥平面ABCD，，若M为的中点，N为的中点，求证：MN//平面．
题型3：线面平行的性质与线面平行探索性
1.常规题，对应的点大多在中点处。
2.要多训练非中点的题选。
【例7】（2021·上海市第五十四中学高二月考）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（ ）
A．异面 B．相交 C．不能确定 D．平行
【例8】如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，AP=λAF，若PC//平面BEF，则λ的值为_________.
【例9】平面分别平行于空间四边形中的与所在的直线，且交 于点，若，则四边形的面积的最大值为___________.
【例10】如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：
(1)正四棱锥的表面积；
(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【跟踪训练】
1．正方体的棱长为1，是的中点，点在上，则等于多少时，平面（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知A、B、C、D四点不共面，且平面，，，，，，则四边形EFHG是______四边形．
3．如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
4．三棱锥中，，，，作出与、都平行的截面，分别交棱、、、于点、、、，则截面的最大面积为______________
5．如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8.
(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；
(2)假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长.
6．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点.
(1)证明：EF//平面PGC；
(2)在线段BD上找一点H，使得FH//平面PGC，并说明理由.
题型4：线面垂直的判定
【例11】（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）“直线l⊥AB，l⊥AC"是“直线l⊥BC”的（ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分又非必要条件．
【例12】（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面和两条直线，下列命题中真命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【跟踪训练】
1．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：
①a⊥α，b∥β，且α∥β a⊥b；②a⊥b，a⊥α b∥α；③a⊥α，b⊥α，a∥c b∥c；
④a⊥α，β⊥α a∥β.其中不正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．（2018·上海市宝山中学高二期中）表示直线，表示平面，下列命题正确的是
A．若，，则 B．若⊥， ⊥，则⊥
C．若⊥，⊥，则 D．若⊥，⊥，则
3．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）如图，在正方体中，分别为，和的中点，则下列关系：
①；②平面；③；④平面，
正确的编号为___________________.
题型5：证明线面垂直
【例13】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，
求证：AD⊥平面SBC；
【例14】如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．
证明：PO⊥平面ABC；
【例15】如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，D为PC上一点，且．
（1）若E为AC的中点，求三棱锥与三棱锥的体积之比；
（2）若，，证明：平面ABD．
【跟踪训练】
1．如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，．
(1)求证：平面；
2．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
(1)证明：平面；
题型6：线面垂直的性质
【例16】如图，平面ABCD，平面ABCD，且，，求EF的长度．
【例17】下列说法正确的有________(填序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
【例18】下面四个命题：
①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；
②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；
③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；
④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．
其中正确的是( )
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
题型7：空间中垂直探索
【例19】三棱锥中，，面面．
（1）求长；
（2）求三棱锥体积；
（3）内（含边界）上是否存在点，使面． 若存在点，求出点的位置；若不存在点，说明理由．
【例20】已知长方体，点为的中点．
（1）求证：面；
（2）若，试问在线段上是否存在点使得，若存在求出，若不存在，说明理由．
题型8：直线与平面所成的角
【例21】（2021·上海市中国中学高二阶段练面的斜线l与平面交于点A，且斜线l与平面所成的角是，则与平面内所有不过点A的直线所成的角的范围是（ ）
A． B． C． D．
【例22】（2018·上海市金山中学高二期中）已知的一边在平面内，，点在平面内的射影为点，则与的大小关系为
A． B．
C． D．以上情况都有可能
【例23】（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）设正方体棱长为1，平面经过顶点，且与棱AB AD 所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
BC放在桌画上，使得斜边AB与桌面所成角为45°，则此时另外一条直角边AC与桌面所成角等于________．
【跟踪训练】
1．（2021·上海徐汇区·位育中学）在正四面体中，直线与平面的所成角大小为__________
2．（2022·上海市进才中学高二期中）圆柱的轴截面ABCD是正方形，E是底面圆周上一点，DC与AE成60°角，.
(1)求直线AC与平面BCE所成角的正弦值；
(2)求点B到平面AEC的距离.
3．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，.
(1)求证平面.
(2)若与平面所成的角为，求点A到平面的距离.
题型9：直线与平面的综合
【例24】如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点.
(1)求证：平面；(2)已知点在上满足平面，求的值.
【例25】如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且E，F分别是BC，A1B1的中点．
（1）求证：BC1⊥A1C；（2）求证：EF∥平面A1C1CA；
（3）在线段AB上是否存在点P，使得BC1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【例26】如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱、和所在直线上的动点：
（1）求的取值范围：
（2）若为面内的一点，且，，求的余弦值：
（3）若、分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面 若能，试确定点的位置，若不能，请说明理由.
一、填空题
1．若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系
是
2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．
3．设m、n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.
以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)
4．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD在平面α外，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是________.
5．已知直线a，b和平面α满足aα，b α，则b与a的位置关系为 _____．
6．以下命题中（其中a，b表示直线，表示平面），写出所有错误命题的编号______．
①若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，，则
7．如图，在正方体中，M、N、P、Q分别是FG、GH、AD、AB的中点，则下列说法：①平面BMN；②PQ⊥EG；③；④平面BMN．其中，真命题的序号是______．
8．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面.
9．如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 _________ .
10．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在线段上，且.若点是四棱锥表面上的一点（不含点），平面，则线段长度的取值范围是________.
11．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是_______个．
12．如图，在四棱锥中，底面四边形的两组对边均不平行.
①在平面内不存在直线与平行；
②在平面内存在无数多条直线与平面平行；
③平面与平面的交线与底面不平行；
上述命题中正确命题的序号为___________.
二、选择题
13．能保证直线与平面平行的条件是（ ）
A．直线与平面内的一条直线平行 B．直线与平面内的某条直线不相交
C．直线与平面内的无数条直线平行 D．直线与平面内的所有直线不相交
14．直线a∥平面α，点P∈α，过点P平行于a的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在α内
C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在α内
15．如图，已知S为四边形ABCD外一点，点G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)
A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能
16．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点
为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；
③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题
17．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

(1)求证：；
(2)求证：平面；
18．如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，D为PC上一点，且．
（1）若E为AC的中点，求三棱锥与三棱锥的体积之比；
（2）若，，证明：平面ABD．
19．如图所示的五面体中，平面平面，四边形为正方形，，，．
（1）求证：平面；
（2）若，求多面体的体积．
20．如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．
当为多少时，直线平面？
21．（2022·上海·格致中学高二期末）如图，点О是正四棱锥的底面中心，四边形PQDO矩形，．
(1)点B到平面APQ的距离：
(2)设E为棱PC上的点，且，若直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，试求实数的值．2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】
专题10.3 直线与平面间的位置关系
知识点一：空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种：
①直线在平面内——有无数个公共点；
②直线与平面相交——有且只有一个公共点；
③直线与平面平行——没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
知识点二：直线与平面平行
1、直线与平面平行的定义
2、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行)
3、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”)
知识点三：直线与平面垂直
1、直线与平面垂直的定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
3、直线与平面垂直的性质定理：直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行；
推论1、过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直；
推论2、过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直．
知识点四：点到平面的距离
过平面外任意给定的一点，有且只有一条直线与平面垂直；
从而把点与垂足之间的距离叫做点到平面的距离；
利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明，如果一条直线平行于一个平面，那么直线上任意两点到平面的距离都相等，从而就可以把直线上一点到平面的距离定义为直线到与它平行的平面的距离；
知识点五：直线与平面所成的角
（1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，
这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足；
过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的
直线AO叫做斜线在这个平面上的射影；
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°（或）；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.
（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°（或）；
题型1：直线与平面平行的判断
【例1】下列命题正确的是(　　)
A．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行
B．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行
D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
【答案】B；
【解析】不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误；一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误；直线也可能在平面内，故D错误；
【例2】（2021·上海徐汇区·位育中学）设是平面外的两条直线，且，那么是的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】
判断由能否得到，再判断由能否得到即可．
【详解】
充分性：若，结合，且在平面外，可得，是充分条件；
必要性：若，结合，且，是平面外，则，可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．
故是的充分非必要条件．
故选：A．
【例3】（2021·上海高二专题练习）下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形有（ ）个
（1）（2）（3）（4）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据直线和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.
【详解】
（1）如图，连接，易知，，,故平面平面，平面，故平面，（1）正确；
（2）如图，连接，易知，由线面平行的判定定理可得平面，若平面，则平面平面，故平面，不成立，故（2）错误；
（3）如图，易知，若平面，则平面平面，故平面，不成立，故（3）错误；
（4）如图，连接，易知，，故，故由线面平行的判定定理可得平面，故（4）正确.
故选：.
【点睛】
本题考查了线面平行，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.
【跟踪训练】
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
【答案】C
【解析】对于A，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，故A错误；
对于B，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m α，故B错误；
对于C，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故C正确；
对于D，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m α，故D错误．
故选：C．
2．已知是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【解析】①若，则或，①错误；
②因为，所以，又因为，则由面面垂直的判定可得，②正确；
③因为，所以，因为，则，③正确；
④若，则或异面，④错误．
故选：B
3．给出下列四个命题：
①如果是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面；
②如果直线和平面满足，那么与平面内的直线不是平行就是异面；
③如果直线，，则；
④如果平面平面，若，，则．
其中为真命题为_________．
【答案】②④
【分析】根据直线与平面的位置关系可知①不正确；根据直线与直线、直线与平面的位置关系可知②正确；③不正确；根据直线与平面平行的判定定理和性质定理可知④正确.
【解析】对于①，因为，所以直线确定一个平面，设为，则，，则与不平行，故①不正确；
对于②，因为，所以直线与平面无公共点，所以直线与平面内的直线无公共点，所以与平面内的直线不是平行就是异面，故②正确；
对于③，如果直线，，则与可能平行、可能相交或可能异面，故③不正确；
对于④，过作平面，使得，作平面，使得，
因为，所以，因为，所以，
所以，又，，所以，
又因为，，所以，所以，故④正确.
故答案为：②④
题型2：证明线面平行
中位线法难点在于怎么“发现三角形”
1.利用平移法做出平行四边形
2.利用中位线做出平行四边形
做出平行平面来证线面平行，属于“麻烦的方法”，但是在证明后续的“探索性”题型时非常实用。
【例4】如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点．，BC＝6．
(1)求证：平面；
(2)求三棱柱的表面积．
河北省邢台市卓越联盟2021-2022学年高一下学期第三次月考数学试题
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）连接交于点，连接，证明∥，原题即得证；
（2）求出，再求三棱柱的表面积得解.
(1)
证明：连接交于点，连接，因为四边形为矩形，
所以为的中点，因为，D为AC的中点，所以∥，
因为平面，平面，
所以平面；
(2)
解：因为侧棱底面ABC，所以三棱柱为直三棱柱，
所以侧面均为矩形，
因为，所以底面均为直角三角形，
因为，，所以，
所以三棱柱的表面积为
【例5】已知如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，点，分别是棱，上的点，点是上一动点，.
(1)若为线段的中点，证明：平面；
(2)若，求的长度.
重庆市三峡名校联盟2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，，先推出四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理可得平面；
（2）根据等体积法和三角形面积公式可求出结果.
(1)
取的中点，连接，，
则且，
又∵且，∴且，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，∴平面.
(2)
作交于点，则为的中点，
∴平面，
∵是边长为的正三角形，且，
，
而，∴，
又，
∴，.
【例6】在四棱锥中，，.
（1）若E为PC的中点，求证：平面PAD.
（2）当平面平面ABCD时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】（1）作出辅助线，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角.
（1）取CD的中点M，连接EM，BM，
由已知得，为等边三角形，∴.
∵，，∴，，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.
∵E为PC的中点，M为CD的中点，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.
∵，，∴平面平面PAD.
∵平面BEM，∴平面PAD.
【跟踪训练】
1．如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF
(1)证明:AF//平面BDG
(2)证明:AB//EF
江苏省无锡外国语学校2020-2021学年高一下学期3月第一次月考数学试题
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接AC交BD于O,连接OG.利用三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可证明AF//平面BDG；
（2）利用线面平行的性质定理即可证明出AB//EF.
(1)
连接AC交BD于O,连接OG.
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.
又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以.
因为面,面,所以AF//平面BDG.
(2)
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.
因为面,面,所以AB//平面.
因为面,面面=EF.
所以AB//EF.
2．如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点.
(1)求证：//平面
(2)求证：//平面.
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由线面平行的性质可证得，进而证得平面；
（2）取中点，先证四边形为平行四边形，进而证得，即可证得平面.
(1)
因为平面，平面，平面平面，所以，
又平面，平面，则平面；
(2)
取中点，连接，易得，且，由（1）知且，
则且，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面.
3．如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，DG⊥平面ABCD，，若M为的中点，N为的中点，求证：MN//平面．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
取H是DG的中点，连接NH，MH，证明NH，MH都与平面平行，得面面平行，从而再得线面平行.
【详解】
证明：设H是DG的中点，连接NH，MH，
由于M是CF的中点，所以MH∥CD，
由于MH平面CDE，CD 平面CDE，
所以MH∥平面CDE．
由于N是EG的中点，所以NH∥DE，
由于由于NH平面CDE，DE 平面CDE，
所以NH∥平面CDE．
由于NH MH＝H，平面，
所以平面MNH∥平面CDE，
由于MN 平面MNH，所以MN∥平面CDE．
题型3：线面平行的性质与线面平行探索性
1.常规题，对应的点大多在中点处。
2.要多训练非中点的题选。
【例7】（2021·上海市第五十四中学高二月考）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（ ）
A．异面 B．相交 C．不能确定 D．平行
【答案】D
【分析】
由题意设，然后过直线作平面与都相交，利用线面平行的性质定理与判定定理，即可求解.
【详解】
设，过作平面与都相交，
记，则有，
,
.
故选:D
【点睛】
本题考查线面平行的性质定理和判定定理综合应用，属于基础题.
【例8】如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，AP=λAF，若PC//平面BEF，则λ的值为_________.
【答案】3
【分析】根据三角形相似可推得，再根据线面平行的性质定理推出，即可得，从而求得λ的值.
【解析】设AC交BE于G点，连接FG,如图：
由于E为AD的中点，故 ,
因为底面ABCD是平行四边形，故 ,则 ,
故，所以，
又因为PC//平面BEF，平面PAC，平面PAC平面BEF=FG,
故,所以 ,即有 ，
故答案为：3
【例9】平面分别平行于空间四边形中的与所在的直线，且交 于点，若，则四边形的面积的最大值为___________.
【答案】/
【分析】由已知条件结合线面平行的性质可得四边形为矩形，设，，则，化简后利用二次函数的性质可求得答案
【解析】如图，因为直线∥平面，直线平面，平面平面，所以∥.
同理可得∥，所以∥，.
同理可得∥.
所以四边形是平行四边形.
因为，所以四边形为矩形.
设，，则，.
所以，.
，
当时，S取得最大值，最大值为.
故答案为：
【例10】如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：
(1)正四棱锥的表面积；
(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)；
(2)在侧棱上存在一点，使平面，满足．
【解析】
【分析】
（1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果；
（2）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论.
(1)
正四棱锥中，，，
侧面的高，
正四棱锥的表面积．
(2)
在侧棱上存在一点，使平面，满足．
理由如下：
取中点为，因为，则，
过作的平行线交于，连接，．
在中，有，
平面，平面，平面，
由于，．
又由于，
平面，平面，平面，
，平面平面，得平面，
【跟踪训练】
1．正方体的棱长为1，是的中点，点在上，则等于多少时，平面（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，过点作交于，再根据几何关系即可得答案.
【解析】解：如图，连接，过点作交于，
因为是的中点，所以是的中点，
由正方体的性质易得，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，此时是的中点，故.
故选：B
2．已知A、B、C、D四点不共面，且平面，，，，，，则四边形EFHG是______四边形．
【答案】平行
【分析】由题，平面平面，结合平面可得，同理可得四边形EFHG另外三边与，的位置关系，即可得到答案.
【解析】由题，平面平面，因为平面，
所以，
又平面平面，所以，则，
同理，
所以四边形EFHG是平行四边形，
故答案为：平行
3．如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解.
【解析】解：设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则，
由四边形是菱形，可得，则，
所以，所以，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，所以.
故选：C.
4．三棱锥中，，，，作出与、都平行的截面，分别交棱、、、于点、、、，则截面的最大面积为______________
【答案】
【分析】利用线面平行的性质定理证明四边形为平行四边形，结合，可得四边形为矩形，设，，求出和，再求出矩形面积关于的函数解析式，利用二次函数知识可求出结果.
【解析】如图：
因为，平面，所以，
因为，平面，所以，
所以，
因为，平面，所以，
因为，平面，所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
又，所以，
所以四边形为矩形，
设，，
则，又，所以，
，又，所以，
所以矩形的面积为，
所以当时，面积取最大值.
故答案为：.
5．如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8.
(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；
(2)假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长.
【答案】(1)存在，
(2)7
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的比例性质得出，从而证明，得到线面平行；
（2）根据比例可求的长，结合余弦定理可求的长，然后利用比例关系可得的长.
(1)
存在，；理由如下：
连接并延长，交于，连接.
因为正方形中，，所以;
又因为，所以；
平面，平面，所以平面.
(2)
由（1）得，所以；
中，
，
所以；
因为，所以
所以.
6．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点.
(1)证明：EF//平面PGC；
(2)在线段BD上找一点H，使得FH//平面PGC，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)H为BD的三等分点（靠近点B），理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理作答.
（2）连AE交BD于H，连FH，利用面面平行的性质推理得解.
(1)
E、F分别是BC，BP中点，则，而PC平面PGC，EF平面PGC，
所以EF//平面PGC.
(2)
连接AE，与BD相交于H，则H为BD的三等分点（靠近点B），即为所求.
平行四边形ABCD中，因E、G分别是BC、AD中点，则，
即四边形是平行四边形，于是得，令，则，
而AE平面PCG，CG平面PCG，因此，AE//平面PCG，由（1）知EF//平面PCG，又，AE，EF平面AEF，
于是得平面AEF//平面PCG，又FH平面AEF，
所以FH//平面PCG，且H为BD的三等分点（靠近点B）.
题型4：线面垂直的判定
【例11】（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）“直线l⊥AB，l⊥AC"是“直线l⊥BC”的（ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分又非必要条件．
【答案】A
【分析】
分、、三点共线与、、三点不共线两种情况讨论，根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
【详解】
解：若、、三点共线时，由直线l⊥AB，l⊥AC则直线l⊥BC，故充分性成立；由直线l⊥BC，则直线l⊥AB，l⊥AC，故必要性成立；
若、、三点不共线时，则、、三点确定唯一一个平面，由直线l⊥AB，l⊥AC，，平面，所以平面，又平面，所以 ，故充分性成立，
若 ，则无法得到平面，故与，可能相交不垂直、异面不垂直等，故必要性不成立；
综上可得“直线l⊥AB，l⊥AC"是“直线l⊥BC”的充分非必要条件；
故选：A
【例12】（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面和两条直线，下列命题中真命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断．
【详解】A中可能在内，A错；B中也可能在内，B错；与可能平行，C错；，则或，若，则由得，若，则内有直线，而易知，从而，D正确．
故选D．
【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明．
【跟踪训练】
1．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：
①a⊥α，b∥β，且α∥β a⊥b；②a⊥b，a⊥α b∥α；③a⊥α，b⊥α，a∥c b∥c；
④a⊥α，β⊥α a∥β.其中不正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】①正确；②中b α有可能成立，故②不正确；③正确；④中a β有可能成立，
故④不正确；
2．（2018·上海市宝山中学高二期中）表示直线，表示平面，下列命题正确的是
A．若，，则 B．若⊥， ⊥，则⊥
C．若⊥，⊥，则 D．若⊥，⊥，则
【答案】D
【分析】根据空间中线线、线面之间的位置关系依次判断各个选项即可.
【详解】，，此时或，错误；
，，此时或，错误；
，，此时可能平行、异面或相交，错误；
垂直于同一平面的两直线平行，正确.
本题正确结果：
【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的相关定理的应用，属于基础题.
3．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）如图，在正方体中，分别为，和的中点，则下列关系：
①；
②平面；
③；
④平面，
正确的编号为___________________.
【答案】①②④
【分析】①，由面，面，得，；
②，取的中点，可得，面；
③，若，可得面，从而得到，与已知矛盾；
④，取中点，可得面，得到，即可得平面.
【详解】对于①，正方体中
面，面，
，
故正确；
对于②，如图，取的中点，
为中点，所以，，
正方体中，为中点，
所以可得，，
所以，，
所以为平行四边形，
所以，
而面，面
所以面，
故正确；
对于③，若，
正方体中，面，面，
所以，
而，面，，
所以面
而面，所以
与已知矛盾，故错误；
对于④，如图，取中点，
根据平面几何关系，得到，
面，，
所以面，
而面，所以
正方体中，易得面，
而面，所以.
面，，
所以面，
故正确．
故答案为：①②④
【点睛】本题考查线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，属于中档题.
题型5：证明线面垂直
【说明】证明线面垂直的常用方法及关键：
1、证明直线和平面垂直的常用方法：
①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；
③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质．
2、证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质；
3、利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤：
（1）在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；
（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
（3）根据判定定理得出结论；
【说明】1、线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化；
2、常用的线面垂直的性质还有：
①b⊥α，a α b⊥a；②a⊥α，b∥a b⊥α；③a⊥α，a⊥β α∥β；
【例13】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，
求证：AD⊥平面SBC；
【证明】因为∠ACB＝90°，
所以BC⊥AC.
又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC.
又AC∩SA＝A，SA 平面SAC，AC 平面SAC.
∴BC⊥平面SAC，
因为AD 平面SAC，所以BC⊥AD.
又SC⊥AD，SC∩BC＝C，
所以AD⊥平面SBC；
【例14】如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．
证明：PO⊥平面ABC；
【解析】证明：连接OB．
法一：∵，∴，即△ABC是直角三角形，
又O为AC的中点，∴
又∵，
∴
∴．
∴，OB、AC平面ABC
∴PO⊥平面ABC．
法二：连接，，O为AC的中点∴
因为
∴∴，∴
∴，OB、AC平面ABC．
∴PO⊥平面ABC．
【例15】如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，D为PC上一点，且．
（1）若E为AC的中点，求三棱锥与三棱锥的体积之比；
（2）若，，证明：平面ABD．
【解析】（1）由题意有．
∵为的中点，∴．
又，∴点到平面的距离为．
∴．
∴．
∴三棱锥与三棱锥的体积之比为．
（2）证明：∵平面，平面，∴．
∵，∴．
∵，，平面，
∴平面．
又平面，∴．
在中，由，，得．
又，得．∴．
∵，∴．又，∴．
∴，即．
又，平面ABD，∴平面．
【跟踪训练】
1．如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，．
(1)求证：平面；
【解析】（1）在矩形中，，
又平面平面，平面平面=，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
在矩形中，,
又，所以,
所以.
又，平面，
所以平面；
2．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
(1)证明：平面；
【解析】（1）过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
题型6：线面垂直的性质
【例16】如图，平面ABCD，平面ABCD，且，，求EF的长度．
【答案】6
【分析】先证四边形是平行四边形，进而可以得到，从而求出结果.
【解析】因为平面，平面，所以．
又因为，所以四边形是平行四边形．
所以．
故答案为：6.
【例17】下列说法正确的有________(填序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
【答案】②
【解析】因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．
由线面垂直的定义可得，故②正确．
因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．
如图，l与α不垂直，但a α，l⊥a，故④不正确．
【例18】下面四个命题：
①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；
②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；
③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；
④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．
其中正确的是( )
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】B
【解析】过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；
过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；
易知②③均正确．故选B.
题型7：空间中垂直探索
【例19】三棱锥中，，面面．
（1）求长；
（2）求三棱锥体积；
（3）内（含边界）上是否存在点，使面． 若存在点，求出点的位置；若不存在点，说明理由．
【答案】（1）3；（2）；（3）存在，在棱上，且．
【解析】
【分析】
(1)根据勾股定理可得,进而可得,再用勾股定理计算即可.
(2) 作的中点,连接可知平面,再求解体积即可.
(3) 作于,再证明面即可.
【详解】
（1）∵,∴.
∵平面⊥平面,平面平面,平面,且,
可知平面,.
∴.
（2）作的中点,连接,由题意知平面,
∴.
（3）作于,在上.
.
∵平面,平面,∴,且,平面,平面,,∴平面,即存在,在棱上,且.
【例20】已知长方体，点为的中点．
（1）求证：面；
（2）若，试问在线段上是否存在点使得，若存在求出，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）在线段上存在点有
【解析】
试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）解决是否存在的问题时先假设存在，如果推出矛盾则不存在，如果成立找出成立的点
试题解析：（1）证明：连结交于点，所以为的中点，连结
在中，为的中点
面且面
面 6分
（2）若在线段上存在点得，连结交于点
面且面
又且面面
面
在和中有：
同理：
即在线段上存在点有 13分
题型8：直线与平面所成的角
【例21】（2021·上海市中国中学高二阶段练面的斜线l与平面交于点A，且斜线l与平面所成的角是，则与平面内所有不过点A的直线所成的角的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线面角中最小角定理求解．
【详解】斜线l与平面所成的角是，则直线与平面内所有直线所成角中最小角为，显然为最大角为，因此范围为，
故选：C．
【例22】（2018·上海市金山中学高二期中）已知的一边在平面内，，点在平面内的射影为点，则与的大小关系为
A． B．
C． D．以上情况都有可能
【答案】D
【分析】考虑两种动态变化的情况：（1）为锐角三角形时，考虑绕边旋转时变化的情况；（2）当为钝角时，考虑绕边旋转时变化的情况.
【详解】分情况讨论：
（1）为锐角三角形时，当绕顺时针旋转时（起始位置为与重合），从变化到（平面平面时），故旋转过程中会有.
（2）为钝角时，当绕顺时针旋转时（起始位置为与重合），从变化到（平面平面时），故旋转过程中会有.
综上，应选D.
【点睛】比较空间角的大小关系时，如果直接计算比较它们的大小比较困难时，则可考虑在动态变化过程中特定角变化的过程，从而得到两者之间的大小关系.
【例23】（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）设正方体棱长为1，平面经过顶点，且与棱AB AD 所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由正方体的性质，分在同一侧、不同侧两种情况画出满足题设的平面，即可知平面的个数.
【详解】
1、当平面面且过点时，满足题设；
2、由正方体的性质，面、面、面都满足题设；
∴共有4个平面.
故选：D
【例24】（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）若将一个30°的直角三角板ABC的短直角边BC放在桌画上，使得斜边AB与桌面所成角为45°，则此时另外一条直角边AC与桌面所成角等于________．
【答案】
【分析】
如图所示：设BC=1，作面，由已知得，为直角边AC与桌面所成的角，解三角形可得答案.
【详解】
如图所示：直角三角形ABC中，，设BC=1，则，
作面，因为斜边AB与桌面所成角为45°，所以，则，所以CD=1，
又为直角边AC与桌面所成的角，所以，所以直角边AC与桌面所成角为，
故答案为：.
【跟踪训练】
1．（2021·上海徐汇区·位育中学）在正四面体中，直线与平面的所成角大小为__________
【答案】
【分析】
过点作平面的高，交平面于点，从而确定所求角为，利用正四面体的特征，计算出，从而得出的大小.
【详解】
作出正四面体，
设正四面体的棱长为，
过点作平面的高，交面于点，
则由正四面体的性质知，点必为正三角形的外心，
设圆的半径为，在正三角形中，
由正弦定理得，，
故有
因为平面，所以直线与平面的所成角为
在 中，，
.
故答案为：.
2．（2022·上海市进才中学高二期中）圆柱的轴截面ABCD是正方形，E是底面圆周上一点，DC与AE成60°角，.
(1)求直线AC与平面BCE所成角的正弦值；
(2)求点B到平面AEC的距离.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先证明出∠ACE是AC与平面BCE所成的角，解三角形求出；
（2）利用等体积法求出点B到平面AEC的距离.
(1)由题意可知,AB是底面圆的直径,所以AE⊥BE.
因为DC//AB,DC与AE所成的角为60°，所以AB与AE所成的角也为60°,即∠BAE=60°.因为正方形ABCD的边长为2，所以，.
由题意可知,BC⊥平面ABE,平面ABE，所以BC⊥AE.
因为,平面BCE，所以AE⊥平面BCE，
所以∠ACE是AC与平面BCE所成的角.
因为，即AC与平面BCE所成角的正弦值为.
(2)设点B到平面AEC的距离为d.
三棱锥的体积为.
因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥CE，所以.
由等体积法可得：，所以，即，解得：.
3．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）如图，已知在圆锥中，为底面圆O的直径，点C为弧的中点，．
(1)证明：平面；
(2)若点D为母线的中点，求与平面所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】(1)由线面垂直，得线线垂直，进而证明线面垂直.
（2）∠ADO为AD与平面SOC所成角，解三角形，即可求出.
(1)因为SO⊥平面ABC，AB平面ABC，所以SOAB,因为C为的中点，所以AB⊥OC，又SO平面SOC，OC平面SOC, SOOC=O,
所以AB⊥平面SOC
(2)连结OD.因为AB⊥平面SOC,所以∠ADO为AD与平面SOC所成角，
设OA=a，则OC=a，SO=AB=2a，所以，所以,
,所以AD与平面SOC所成角的正切值为.
4．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，.
(1)求证平面.
(2)若与平面所成的角为，求点A到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面.
（2）先求得，然后利用等体积法求得到平面的距离.
(1)由于，
所以，
由于平面，所以，
由于，
所以平面.
(2)
由于平面，
所以是直线与平面所成角，则.
所以，
由（1）知.
所以,
,
设到平面的距离为，
则，
即.
题型9：直线与平面的综合
【例25】如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点.
(1)求证：平面；
(2)已知点在上满足平面，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）连结交于，连结，通过证明PCOF，可证平面；
（2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN.
由平面，可得N为CD中点，后通过证明ENFDBG，可得，继而可得答案.
【解析】（1）证明：连结交于，连结，
因在中，为中点，为中点，则FO .
又平面，平面，故平面；
（2）如图连结交延长线于，连结交于，
连结，，，EN.
因，则四点共面.
又平面，平面平面，
则，四边形为平行四边形，可得 为中点.
则为BG中点.
即EN为中位线，则ENPG，.
又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD.
从而FDPG，.
【例26】如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且E，F分别是BC，A1B1的中点．
（1）求证：BC1⊥A1C；
（2）求证：EF∥平面A1C1CA；
（3）在线段AB上是否存在点P，使得BC1⊥平面EFP？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：因为，又平面平面，
且平面平面，平面，所以平面．
又因为平面，所以．
（2）证明：取中点，连，连．
在中，因为，分别是，中点，
所以，且．
在平行四边形中，因为是的中点，
所以，且．
所以，且．
所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
（3）在线段上存在点，使得平面．
取的中点，连，连．
因为平面，平面，平面，
所以，．
在中，因为，分别是，中点，所以．
又由（2）知，所以，．
由，平面，所以平面．
故当点是线段的中点时，平面．此时．
【例27】如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱、和所在直线上的动点：
（1）求的取值范围：
（2）若为面内的一点，且，，求的余弦值：
（3）若、分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面 若能，试确定点的位置，若不能，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）点M为的中点，理由见解析
【分析】（1）设，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范围．
（2）设在，三边上的投影分别是，转化求出，即可得到它的余弦值．
（3）设与的交点为，连接，说明平面，过作于K，延长后交所在的直线于点M，则BM⊥平面．通过，求解即可．
【详解】
解：（1）设，
则，
所以，
的取值范围为；
（2）解：设在，三边上的投影分别是，，，

则由于，
．
，
，
即，它的余弦值为
（3）解：设与的交点为．连接，
则由以及，知平面，
于是面面，在面内过作于K，延长后交所在的直线于点M，则BM⊥平面，
在平面内，由，
知，又，
∴．
这说明点M为的中点．
【点睛】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
一、填空题
1．若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系
是
【提示】注意：阅读理解与寻找特殊图形分析；
【答案】平行、相交或异面
【解析】画图可知两直线可平行、相交或异面
【说明】本题考查了空间的分类讨论与利用特殊图形判断位置关系；
2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．
【答案】CD∥α；
【解析】因为AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，由线面平行的判定定理，得CD∥α；
3．设m、n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.
以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)
【答案】①② ③(或①③ ②)
【解析】设过m的平面β与α交于l.因为m∥α，所以m∥l，因为m∥n，所以n∥l，因为n α，l α，所以n∥α.
4．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD在平面α外，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是________.
【提示】注意：线面平行的判定与定义；
【答案】平行或异面；
【解析】由AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，得CD∥α，
所以，直线CD与平面α内的直线的位置关系是：平行或异面；
【说明】本题主要考查了线面平行的判定与线面平行的定义；
5．已知直线a，b和平面α满足aα，b α，则b与a的位置关系为 _____．
【答案】异面或平行
【分析】根据线面平行的概念结合线线的位置关系即得.
【解析】如图所示，aα，b α，则a与b没有公共点，所以a与b异面或平行，
故答案为：异面或平行．
6．以下命题中（其中a，b表示直线，表示平面），写出所有错误命题的编号______．
①若，，则
②若，，则
③若，，则
④若，，，则
【答案】①②③
【分析】由题意判断直线a的位置，可能在平面内，可判断①③，判断直线a,b的位置关系，可判断②，根据线面平行的性质定理，可判断④.
【解析】①，，a也有可能在平面内，故推不出，错误；
②，，直线a,b可能相交也可能异面，推不出一定是，错误；
③若，，a有可能在平面内，故推不出，错误；
④若，，，则，根据线面平行的性质定理可知，正确，
故答案为：①②③
7．如图，在正方体中，M、N、P、Q分别是FG、GH、AD、AB的中点，则下列说法：①平面BMN；②PQ⊥EG；③；④平面BMN．其中，真命题的序号是______．
【答案】①②③④
【分析】取的中点，在正方体中，由条件可得,从而可判断①；由且可判断②；先证明四边形为平行四边形，可判断③；由题意平面即为平面，可证明从而可判断④.
【解析】取的中点，连接,由为的中点，则
又在正方体中，分别为的中点，则,所以
又平面,平面,所以平面，故①正确.
在正方体中，,又分别为的中点，则
所以,故②正确.
在正方体中，由分别为的中点，则且
所以四边形为平行四边形，则,故③正确.
连接，由分别为的中点
则，又
所以，即平面即为平面
在正方体中，分别为，则,
平面，平面,所以平面
即平面，故④正确.
故答案为：①②③④
8．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面.
【答案】在中点与中点连线上
【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解.
【解析】取，，，的中点分别为，，，，
连接，，，，，，，
因为，分别为，的中点，所以，
同理可得，
因为，，所以四边形是平行四边形，可得，
所以，同理可证明，，
所以，，，，，共面，
因为，面，面，
所以平面，
若平面，则点在平面内，
又因为点在上底面（含边界），
所以点在面与面的交线上，
所以点在线段上，即点在中点与中点连线上，
故答案为：在中点与中点连线上.
9．如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 _________ .
【答案】
【分析】分别取棱的中点，通过证明平面可得必在线段上，进而可求得长度的取值范围.
【解析】如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，
因为为所在棱的中点，所以，所以，
又平面平面，所以平面；
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，
又，所以平面，
因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，
在直角中，，
同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，
当在中点时，，此时最短，位于处时最长，
，，
所以线段长度的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查空间点的存在性问题，解题的关键是取棱的中点，得出点必在线段上，从而将问题转化为在中.
10．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在线段上，且.若点是四棱锥表面上的一点（不含点），平面，则线段长度的取值范围是________.
【答案】
【分析】如图取中点，连接，取中点，连接，连接并延长交于点，连接，，根据题中条件，得到，四边形为边长为的正方形，由面面平行的判定定理，得到平面平面；确定点在上移动（不含），根据题中条件，即可求出结果.
【解析】
如图取中点，连接，取中点，连接，连接并延长交于点，连接，，
因为在线段上，且，，，，
则，四边形为边长为的正方形，
因为为的中点，所以，因此，
又平面，所以平面；
因为，，所以，
又平面，所以平面；
又，所以平面平面；
即平面平面；
因为点是四棱锥表面上的一点（不含点），平面，
所以点在上移动（不含），
因为，，，
所以，，
，
因此
，
，
即，即为等腰三角形，
在中，，
所以，
因此在钝角中，，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于，先由平面，根据面面平行的判定定理及性质，确定点的运动轨迹，再结合题中数据求解即可.
11．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是_______个．
【答案】
【解析】作出图形，对平面分表面上的个面和个对角面进行分类讨论，分别找出对应面的平行线，进而可求得“平行线面组”的个数.
【解析】如下图所示：
①若平面为长方体的表面上的某一个面，如底面，
则与底面平行的且由该长方体的两个顶点确定的直线有：、、、、、，共条；
②若平面为长方体的某一个对角面，如对角面，
则与对角面平行的且由该长方体的两个顶点确定的直线有：、，共条.
而长方体的表面有个面，有个对角面.
综上所述，两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是.
故答案为：.
【点睛】本题考查长方体中“平行线面组”的个数的求解，解题时要注意对平面进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.
12．如图，在四棱锥中，底面四边形的两组对边均不平行.
①在平面内不存在直线与平行；
②在平面内存在无数多条直线与平面平行；
③平面与平面的交线与底面不平行；
上述命题中正确命题的序号为___________.
【答案】①②③
【解析】利用反证法结合线面平行的性质可判断①的正误；设平面平面，且在平面中有无数条直线与直线平行，即可判断②的正误；利用反证法与线面平行的性质可判断③的正误.
【解析】对于命题①，设在平面内存在直线与平行，则平面，
平面平面，平面，，与已知条件矛盾，
故①正确；
对于命题②，设平面平面，则平面，
所以，在平面内存在无数条直线与直线平行，这无数条直线与平面平行，
故②正确；
对于命题③，假设平面与平面的交线与底面平行，
平面，平面，平面平面，，
同理可得，，与已知条件矛盾，故③正确.
故答案为：①②③.
【点睛】本题主要考查线面平行的性质和判定的应用，考查空间想象能力与推理论证能力，属于中等题.
二、选择题
13．能保证直线与平面平行的条件是（ ）
A．直线与平面内的一条直线平行 B．直线与平面内的某条直线不相交
C．直线与平面内的无数条直线平行 D．直线与平面内的所有直线不相交
【提示】注意：理解判断直线与平面平行的依据；
【答案】D；
【解析】根据线面平行的判定与定义，知D满足；
【说明】本题考查了判断直线与平面平行的方法；当然，若能用好正方体、长方体等特殊图形，则更直观；
14．直线a∥平面α，点P∈α，过点P平行于a的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在α内
C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在α内
【提示】注意：阅读理解与图示；
【答案】C
【解析】由公理3与线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C；
【说明】本题综合考查了线面平行性质定理与公理3的交汇；
15．如图，已知S为四边形ABCD外一点，点G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)
A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能
【提示】注意：理解线面平行性质定理；
【答案】B；
【解析】因为GH∥平面SCD，GH 平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B；
【说明】本题综合考查了线面平行性质定理与公理3的交汇；简单的逻辑推理；
16．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点
为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；
③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C；
【解析】矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM 平面PCD，且OM 平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交；
三、解答题
17．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

(1)求证：；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意利用线面平行的性质定理即可证明；
（2）取的中点，连接，由（1）可证明是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可得平面.
【解析】（1）根据题意可得，平面，
平面，且平面平面，
由线面平行的性质定理可得；
（2）取的中点为，连接，如下图所示：

由是的中点，是的中点，可得，且；
由（1）知，且，所以，且；
所以四边形是平行四边形，
即，又平面，平面；
所以平面.
18．如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，D为PC上一点，且．
（1）若E为AC的中点，求三棱锥与三棱锥的体积之比；
（2）若，，证明：平面ABD．
【解析】（1）由题意有．
∵为的中点，∴．
又，∴点到平面的距离为．
∴．
∴．
∴三棱锥与三棱锥的体积之比为．
（2）证明：∵平面，平面，∴．
∵，∴．
∵，，平面，
∴平面．
又平面，∴．
在中，由，，得．
又，得．∴．
∵，∴．又，∴．
∴，即．
又，平面ABD，∴平面．
19．如图所示的五面体中，平面平面，四边形为正方形，，，．
（1）求证：平面；
（2）若，求多面体的体积．
【解析】证明：如图，因为，平面平面，
平面平面，平面，所以平面．
因为平面，所以．
在中，因为，故，不妨设，
所以由余弦定理，得，则，所以，所以，
又，所以平面．
（2）如图，若，则，由（1）知平面，所以为三棱锥的高，而三棱锥的高为点到平面的距离，因为平面平面，所以点到平面的距离就是点到直线的距离，
故．
20．如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．
当为多少时，直线平面？
【解析】当点是线段上靠近点的三等分点时，平面
过点作交于点，过点作交于点，连接
平面
平面
，面
平面
又，则平面平面
平面
平面．

当时，平面．
21．（2022·上海·格致中学高二期末）如图，点О是正四棱锥的底面中心，四边形PQDO矩形，．
(1)点B到平面APQ的距离：
(2)设E为棱PC上的点，且，若直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，试求实数的值．
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）以三棱锥等体积法求点到面的距离，思路简单快捷.
（2）由直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，可以列关于的方程，解之即可.
(1)点О是正四棱锥的底面中心，点О是BD的中点，
四边形PQDO矩形，， 两点到平面APQ的距离相等.
正四棱锥中，
平面，平面，，
，
设点B到平面APQ的距离为d，
则，即
解之得，即点B到平面APQ的距离为
(2)取PC中点N，连接BN、ON、DN，则.
平面平面
正四棱锥中，
，直线平面
平面，平面平面，平面平面
平面中，点E到直线ON的距离即为点E到平面的距离.
中，
，
点P到直线ON的距离为
△中，，
设点E到平面的距离为d，则有，则
则有，
整理得，
解之得或

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