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易错易混01 集合、常用逻辑用语
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01 错点扫描 易错建模夯基石 1
02易错归纳 查漏补缺避陷阱 3
易错归纳01 数集与点集 3
易错归纳02 忽略集合中元素的互异性 4
易错归纳03 忽视空集 4
易错归纳04 充分、必要条件判断颠倒 5
易错归纳05 根据命题的真假求参数的取值范围 6
03 实战检测 易错通关验成效 7
1、集合中元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
2、集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+
（2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
（3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
注：用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素．
（4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。
3、根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围
对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法：
（1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论．
（2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解．
4、利用交、并、补求参数范围的解题思路
（1）根据并集求参数范围：
若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则；
（2）根据交集求参数范围：
若A有参数，则需要讨论A是否为空集；
若B有参数，则
5、条件关系判定的常用结论
与的关系 结论
，但 是的充分不必要条件
，但 是的必要不充分条件
且，即 是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
6、命题的否定：
（1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定．
（2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假”
命题p
真 假
假 真
7、含量词的命题的否定
命题类型 全称量词命题 存在量词命题
形式
否定形式
结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题
8、判断全称/存在量词命题真假
（1）判断全称量词命题真假：若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；
若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可．
（2）判断存在量词命题真假：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假．
易错归纳01 数集与点集
【易错陷阱·避错攻略】
学会先观察研究对象，确定研究对象是点集还是数集，对其本质进行剖析，明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.
1．（24-25高三上·河南·月考）函数的值域可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·四川南充·月考）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．[1，4]
5．已知集合，则下列与相等的集合个数为（ ）
①
②
③
④
A．0 B．1 C．2 D．3
易错归纳02 忽略集合中元素的互异性
【易错陷阱·避错攻略】
集合中元素的三个性质 (1)确定性：判断对象能否构成集合的依据． (2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验． (3)无序性：常用于判断集合相等．
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
2．已知集合，若，则（ ）
A． B．2 C． D．6
3．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
易错归纳03 忽视空集
【易错陷阱·避错攻略】
1、当已知求参数时，一定要分析集合为空集的情况； 2、若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析；
1．集合，，若，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·河北承德·月考）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
易错归纳04 充分、必要条件判断颠倒
【易错陷阱·避错攻略】
1、条件关系判定的常用结论 与的关系结论，但是的充分不必要条件，但是的必要不充分条件且，即是的充要条件且是的既不充分也不必要条件
2、判断充分条件与必要条件的基本思路 （1）分清楚条件是什么，结论是什么； （2）尝试用条件推结论，或用结论推条件(举反例说明不成立是常用的推理方法)； （3）指出条件是结论的什么条件． 3、判断充分条件、必要条件、充要条件的几种方法 （1）定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假，并注意和图示相结合，例如若p q，则p是q的充分条件． （2）等价转化法：将原命题转化为与之等价的命题再进行判断． （3）集合法：利用集合间的关系进行判断，如果条件p和结论q都是集合，那么若p q，则p是q的充分条件；若q p，则p是q的必要条件；若p=q，则p与q互为充要条件． 4、小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
1．（2025·广东·模拟预测）设是定义在实数集上的周期函数，则“的最小周期为1”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分必要条件
2．（2025·天津和平·二模）若，直线：，直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025·福建宁德·三模）设是两个不同平面，是平面内的两条不同直线.甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
4．（2025·安徽·三模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025·辽宁沈阳·三模）等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
易错归纳05 根据命题的真假求参数的取值范围
【易错陷阱·避错攻略】
存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立．解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数．
1．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·吉林·期中）已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若“，使得”为假命题，则m的最大值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
1．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则中的元素个数至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
6．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，则可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
8．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高三上·江苏苏州·期中）满足的实数对，构成的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
10．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．8
11．（2025·北京延庆·一模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2025·北京朝阳·二模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（2025·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（24-25高三上·辽宁·月考）已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·江西·模拟预测）已知及其导函数的定义域均为，且不是常函数，则命题“是周期函数”是“是周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（24-25高三下·江苏盐城·月考）已知命题为假命题，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．中小学教育资源及组卷应用平台
易错易混01 集合、常用逻辑用语
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
01 错点扫描 易错建模夯基石 1
02易错归纳 查漏补缺避陷阱 3
易错归纳01 数集与点集 3
易错归纳02 忽略集合中元素的互异性 5
易错归纳03 忽视空集 7
易错归纳04 充分、必要条件判断颠倒 10
易错归纳05 根据命题的真假求参数的取值范围 13
03 实战检测 易错通关验成效 15
1、集合中元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
2、集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+
（2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
（3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
注：用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素．
（4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。
3、根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围
对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法：
（1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论．
（2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解．
4、利用交、并、补求参数范围的解题思路
（1）根据并集求参数范围：
若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则；
（2）根据交集求参数范围：
若A有参数，则需要讨论A是否为空集；
若B有参数，则
5、条件关系判定的常用结论
与的关系 结论
，但 是的充分不必要条件
，但 是的必要不充分条件
且，即 是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
6、命题的否定：
（1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定．
（2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假”
命题p
真 假
假 真
7、含量词的命题的否定
命题类型 全称量词命题 存在量词命题
形式
否定形式
结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题
8、判断全称/存在量词命题真假
（1）判断全称量词命题真假：若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；
若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可．
（2）判断存在量词命题真假：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假．
易错归纳01 数集与点集
【易错陷阱·避错攻略】
学会先观察研究对象，确定研究对象是点集还是数集，对其本质进行剖析，明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.
1．（24-25高三上·河南·月考）函数的值域可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的值域是指函数值组成的集合，即可判断.
【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合，
故对于函数，其值域可表示为：.
故选：B.
2．（24-25高三上·四川南充·月考）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，直接求得，即可求解.
【详解】由，消整理得到，解得或，
当时，，当时，，所以，
故选：C.
3．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由两集合元素特点，逐个判断即可；
【详解】由，
当，，当，，当，，当，，当，，
所以，所以中有3个元素，
故选：B.
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．[1，4]
【答案】A
【分析】先化简集合，再利用交集定义即可求得.
【详解】
故
故选：A
5．已知集合，则下列与相等的集合个数为（ ）
①
②
③
④
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果.
【详解】对于①，；
对于②，中解得，故；
对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，，
所以；
对于④，.
所以与M相等的集合个数有2个.
故选：C.
易错归纳02 忽略集合中元素的互异性
【易错陷阱·避错攻略】
集合中元素的三个性质 (1)确定性：判断对象能否构成集合的依据． (2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验． (3)无序性：常用于判断集合相等．
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a的值．
【详解】因为集合，，，
所以，所以或，
若，则，此时，满足题意；
若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去．
综上，．
故选：C．
2．已知集合，若，则（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解.
【详解】因为集合，
若，则或，
解得或，
当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去，
故，，符合题意，此时.
故选：A.
3．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，，
故选：B.
【点睛】易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.
4．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数.
【详解】由题意得，，又集合，
若，则，此时，
则，故子集个数为；
若，则，此时显然集合不成立，舍去；
若，，同理舍去.
综上得：时，子集个数为4个；
故选：B.
5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
【答案】B
【分析】
根据题意得到，再结合求解即可.
【详解】，，
因为，
当时，为偶数，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，有重复数字，去掉，共有个元素.
综上中元素的个数为个.
故选：B
易错归纳03 忽视空集
【易错陷阱·避错攻略】
1、当已知求参数时，一定要分析集合为空集的情况； 2、若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析；
1．集合，，若，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】讨论是否为空集，参照子集问题模板求解即可.
【详解】因为，，且，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．
当时，可得，要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．
故选：A．
2．已知集合，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围.
【详解】当为空集时，时.解不等式，可得.
因为空集是任何集合的子集，所以当时，.
当不为空集时，时，解不等式，可得.
此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.

已知，，所以需满足.
解不等式，可得.
综合可得，又因为前提是，所以取交集得.
综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得.
能使成立的所有组成的集合为，
故选： C.
3．已知集合，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式不等式求解集合A及，然后按照和分类讨论，根据集合的关系列不等式组求解即可.
【详解】因为，所以，所以或，
所以或，所以，
当时，，解得，满足；
当时，要使，则，解得，
综上，，即的取值范围是.
故选：D
.
4．（24-25高三上·河北承德·月考）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据得到，当时满足，求出的取值范围，当时，列出不等式组求出的取值范围，结合两种情况求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为，且满足，，
所以当时满足，
此时，解得，
当时，则有，
解得,综上，，
即实数的取值范围为．
故选：A．
易错归纳04 充分、必要条件判断颠倒
【易错陷阱·避错攻略】
1、条件关系判定的常用结论 与的关系结论，但是的充分不必要条件，但是的必要不充分条件且，即是的充要条件且是的既不充分也不必要条件
2、判断充分条件与必要条件的基本思路 （1）分清楚条件是什么，结论是什么； （2）尝试用条件推结论，或用结论推条件(举反例说明不成立是常用的推理方法)； （3）指出条件是结论的什么条件． 3、判断充分条件、必要条件、充要条件的几种方法 （1）定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假，并注意和图示相结合，例如若p q，则p是q的充分条件． （2）等价转化法：将原命题转化为与之等价的命题再进行判断． （3）集合法：利用集合间的关系进行判断，如果条件p和结论q都是集合，那么若p q，则p是q的充分条件；若q p，则p是q的必要条件；若p=q，则p与q互为充要条件． 4、小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
1．（2025·广东·模拟预测）设是定义在实数集上的周期函数，则“的最小周期为1”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分必要条件
【答案】B
【分析】利用周期的定义即可得充分性，当时，即可验证必要性.
【详解】由的最小周期为1可得，即，
所以“的最小周期为1” ，
当时，，但的最小正周期是2，
所以推不出“的最小周期为1”，所以“的最小周期为1”是“”的充分不必要条件，
故选：B.
2．（2025·天津和平·二模）若，直线：，直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据两直线的位置关系，结合充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】当时，，则；
若，则，解得或.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2025·福建宁德·三模）设是两个不同平面，是平面内的两条不同直线.甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面平行的判定和性质分析判断即可.
【详解】由，是平面内的两条不同直线，得不到，
因为与可能相交，只要和的交线平行即可得到；
反过来，若，是平面内的两条不同直线，则和没有公共点，
所以由能得到，
故甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2025·安徽·三模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式和充分条件和必要条件证明过程,求结果.
【详解】时，结合基本不等式，，充分性成立；
当，时，满足，但此时，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据椭圆的标准方程，曲线表示椭圆求解的取值范围，再根据充分条件、必要条件进行判断即可.
【详解】若曲线表示椭圆，则，解得或，
则“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
6．（2025·辽宁沈阳·三模）等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为，根据、分别求出的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】设等比数列的公比为，
由可得，因为，则，解得，
由可得，因为，则，解得或，
因为是或的真子集，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
易错归纳05 根据命题的真假求参数的取值范围
【易错陷阱·避错攻略】
存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立．解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数．
1．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解.
【详解】因为命题“”为真命题，所以．
令与在上均为增函数，
故为增函数，当时，有最小值，即，
故选：A．
2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得命题：“，”为真命题，讨论是否为0，解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知命题“，”为假命题，
则命题“，”为真命题，
故当时，，即为，符合题意；
当时，需满足解得.
综上，实数的取值范围是.
故选：D.
3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解.
【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
其否定为：，，而函数的值域为，
由“，”为假命题，得“，”为真命题，则，
所以的取值范围是.
故选：C
4．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目条件可得出：命题：“，都有”为真命题；再构造函数，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果.
【详解】因为命题：“，都有”为真命题，
所以命题：“，都有”为真命题.
令，.
则.
因为，
所以，
所以函数为增函数.
又因为，
所以.
故选：B.
5．（24-25高三上·吉林·期中）已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意得到命题“”为真命题，讨论和两种情况可求得结果.
【详解】因为命题“”为假命题，
所以，命题“”为真命题，
因为集合，集合，
所以，当时，即时，成立，
当时，
由“”得，解得，
综上，实数的取值范围为.
故选：B.
6．若“，使得”为假命题，则m的最大值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【分析】根据条件，先将问题转化为“，”，然后通过对数运算性质化简并计算出的值，由此可求的最大值.
【详解】因为“，使得”为假命题，
所以“，”为真命题；
因为，
设，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，
即，，所以，所以的最大值为，故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是：化简时要注意到.
1．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】将集合与集合所代表方程的关系进行联立求解，利用代入法得到一个关于的方程，求解的值后再得到对应的值，从而确定两个集合的交集.
【详解】将代入，得，解得或0，
所以.则中元素的个数为3个.
故选：C
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得，即，由，得，所以．
3．（2025·山东·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由一元二次不等式解法和指数函数性质求出集合A和集合B即可根据交集定义求解.
【详解】由题集合，
集合，
所以.
故选：D
4．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则中的元素个数至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项.
【详解】由中元素的互异性，得，即且，
而，则当且时，与均互异，
因此中至少有元素，取，此时，有4个元素，
∴ 中的元素个数至少为4个.
故选：C
5．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，解得或
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，.
故选：B.
6．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题可先分别分析集合与集合所代表的元素特征，再根据交集的定义求出.
【详解】已知集合，其中表示整数集.
当取遍所有整数时，表示所有的偶数，即集合是由所有偶数组成的集合.
已知集合，其中表示自然数集（包括）.
当时，；当时，；当时，；以此类推.
所以集合是由所有大于等于的自然数组成的集合.
由于集合是所有偶数组成的集合，集合是所有大于等于的自然数组成的集合，那么就是所有大于等于的偶数组成的集合.
大于等于的偶数可以表示为（），其中表示正整数集.
所以.
故选：C.
7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，则可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合，得到得情况，即可得到答案.
【详解】当时，由，可得，所以为或；当时，由，可得，
所以为或或；
当时，由知，，
所以为或；
当，则，所以为综上，共有8种取值．
故选：D．
8．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合是否为空集进行分类讨论可求的范围．
【详解】当时，，则，即，
当时，若，则或，
解得或，
综上，实数的取值范围为．
故选：D．
9．（23-24高三上·江苏苏州·期中）满足的实数对，构成的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【分析】结合集合相等及二次函数的单调性即可求.
【详解】由，又，
则，所以在单调递增，
故值域为，
即是的两根，解得，
当时，点为，
当时，点为，
当时，点为.
故选：C
10．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先解方程得集合A，再根据，结合包含关系求实数，即得结果.
【详解】,
因为，
当时，，
当时，即时，令，解得，
则或，则对应实数的值为，
则实数a组成的集合的元素有3个，
所以实数a组成的集合的真子集个数有，
故选：C.
11．（2025·北京延庆·一模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出直线与抛物线有一个交点的等价条件结合充分条件和必要条件的定义，即可得出结论.
【详解】由，得，
因为直线与抛物线只有一个公共点，
所以当时，交点为只有一个公共点，符合题意；
当时，，
所以直线与抛物线只有一个公共点的充要条件是或，
所以”能推出“直线与抛物线只有一个公共点，
直线与抛物线只有一个公共点不能推出，
“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分而不必要条件，
故选：A
12．（2025·北京朝阳·二模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系化弦为切，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由，
得，解得或，
由，得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
13．（2025·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形，
若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形，
四边形是正方形时，必有，即有，
故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.
故选：B.
14．（24-25高三上·辽宁·月考）已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】，分和，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出为真命题，需满足，再利用根的判别式得到为真命题，需满足，求交集得到答案.
【详解】恒成立，
当时，，满足要求，
当时，需满足，解得，
故为真命题，需满足，
，，则，解得，
故为真命题，需满足，
综上，的取值范围为
故选：D
15．（2025·江西·模拟预测）已知及其导函数的定义域均为，且不是常函数，则命题“是周期函数”是“是周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先令为周期函数，设周期为，得，两边求导验证充分性；通过举例验证必要性即可求解.
【详解】若是周期函数，设周期为，则，
两边求导，有：，所以也是周期为的周期函数；
若为周期函数，但不一定为周期函数，
例如，，不具有周期性，而，周期为，
所以“是周期函数”是“是周期函数”的充分不必要条件，
故选：A
16．（24-25高三下·江苏盐城·月考）已知命题为假命题，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】写出为真命题，求出为偶函数且为函数的一个周期，求出，，得到答案.
【详解】由题意得为真命题，
令，则定义域为R，
，
故为R上的偶函数，
又，
所以为的一个周期，
当时，，
因为，所以，所以，
故在R上的值域为，
所以a的取值范围为.
故选：C

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