资源简介

第十八章 分式
18.5 分式方程
第1课时 解分式方程
教学设计
课题 18.5 分式方程 第1课时 解分式方程 授课人
教学目标 1.理解分式方程的概念，会判断分式方程，会解分式方程，并验根． 2.经历“分式方程→整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想培养学生的应用意识. 3.培养学生自主探索的意识，提高学生的观察能力和分析能力.
教学重点 掌握分式方程的概念及解法．
教学难点 会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程 ① 方程①的分母中含有未知数，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程 . 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 1.分式方程的概念 分式方程的概念: 分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 分式方程的特征: (1)是方程； (2)方程中含有分母； (3)分母中含有未知数. 2.分式方程的解法 如何解分式方程①呢？ 利用去分母将分式方程转化为整式方程求解. 我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个新的问题. 能否将分式方程化为整式方程呢 我们自然会想到通过“去分母”实现这种转变. 分式方程①中各分母的最简公分母是(30+v)(30－v). 把方程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，得 90(30－v)=60(30+v). 解得 v =6 检验：将v=6代入①中，左边= 5/2，右边= 5/2，这时左、右两边的值相等，因此v=6是分式方程①的解. 由此可知，江水的流速为6 km/h. 将方程①化成整式方程的关键步骤是什么？ “利用最简公分母去分母” 运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程 , ② 你发现了什么问题？ 类似于解分式方程①，在分式方程②的两边乘最简公分母(x－5)(x+5)，去分母得整式方程 x＋5=10. 解得 x=5. 将x=5代入②，分母x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义. 因此，x=5虽然是整式方程x+5=10的解，但不是分式方程 = 的解. 实际上，这个分式方程无解. 思考：比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢 分式方程 = 中隐含条件x2－25≠0，当将分式方程转化为整式方程时，这一条件就不存在了，实际上，在将方程 = 转化为整式方程时，将原来分式方程的解的范围扩大了，会产生所得整式方程的解不是分式方程的解的情况，也就是分式方程无解. 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子 (最简公分母). 方程①两边乘 (30＋v) (30－v)，得到整式方程，它的解为v=6. 当v=6时，最简公分母(30＋v) (30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同. 方程②两边乘(x－5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5. 当x=5时，最简公分母(x－5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解. 将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. “去分母法”解分式方程的步骤: 1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程； 2.解这个整式方程； 3.把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则需舍去； 4.写出原方程的解. 简记为:“一化二解三检验”. （链接例1、例2、针对练习） 解分式方程的一般步骤如下： 引导学生在已有知识经验基础上，尝试解分式方程.让学生积累去分母的经验，去分母的通法是分式两边同乘最简公分母;让学生感受到在去分母解分式方程的过程中已经对原分式方程进行了变形，这种变形可能会使方程的解发生变化.从而总结出解分式方程的一般步骤及注意事项.
典例精析 【例1（教材P165例题）】解方程. 【解】方程两边乘 x(x-3)，得 2x = 3x-9. 解得x = 9. 检验：当x = 9时， x(x-3) ≠ 0. 所以，原分式方程的解为x = 9. 教师提醒：检验是必不可少的一步. 【例2（教材P166例题）】解方程. 【解】方程两边乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验:当 x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此 x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 教师提醒：x=1是该分式方程的增根. 【针对练习】解方程: （1）． 解： 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． （2） 解： 方程两边都乘以得， 解得： 当时，， ∴不是原方程的解， ∴原方程无解． 让学生在解具体的分式方程后，反思解题思路和步骤，体会化归思想和程序化思想，积累解题经验.
随堂检测 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　D　) A. B. C. D. 2.要把方程化为整式方程,方程两边可以同乘以( D ) A.3y-6 B.3y C.3(3y-6) D.3y(y-2) 3.解方程: (1); (2). 【解】(1)方程两边乘x(x-2),得 2x=3x-6. 解得 x=6. 检验:当x=6时,x(x-2)≠0. 所以,原分式方程的解为x=6. (2)去分母，得 x2+(x+1)(x-1)=2x(x+1). 解得x=. 检验:把x=代入x(x+1)=. 所以原方程的解为x=. 4.若关于x的方程无解，求m的值. 【解】方程两边同乘以x-2,得 2-x+m=2x-4. 合并同类项，得3x=6+m， ∴m=3x-6. ∵该分式方程无解， ∴x=2， ∴m=0. 若关于x的方程解为正数，求m的取值范围. 【解】方程两边同乘以x-2,得 2-x+m=2x-4. 合并同类项，得3x=6+m， 解得， 由题意得，该分式方程有解，且解为正数， 即且， 且． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 掌握分式方程的概念； 理解解分式方程的步骤和注意事项； 能计算分式方程中的参数值. 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
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