资源简介

§4　事件的独立性
1．当事件A，B满足什么条件时，事件A与B相互独立
2．相互独立事件有哪些性质
3．如何求相互独立事件同时发生的概率
4．相互独立事件与互斥事件的区别是什么
相互独立事件的概念和性质
定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的____没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件
计算 公式 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝____________
性质 如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立．即当事件A，B相互独立时，则事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立
(1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(　　)
A．A与B，A与C均相互独立
B．A 与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
2．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是(　　)
A．0.56　　　　　　 B．0.92
C．0.94　 D．0.96
类型1　相互独立事件的判断
【例1】　判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”；
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法：事件A，B相互独立 P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)利用性质：A与B相互独立，则A与与B，也都相互独立．
[跟进训练]
1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
类型2　相互独立事件概率的计算
【例2】　【链接教材P215例1】
甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变设问)保持条件不变，求三人均未被选中的概率．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2．(变条件，变设问)若条件“3人能被选中的概率分别为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
[跟进训练]
2．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型3　相互独立事件概率的实际应用
【例3】　三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，将它们中的两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
[跟进训练]
3．电路从A到B共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
4．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响．求该选手被淘汰的概率．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
不同赛制的可靠性探究
　　乒乓球比赛规则如下：
在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10分平后，先多得2分的一方为胜方；
1场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；
一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任何一方运动员都有权要求不超过1分钟的休息时间．
某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．
1．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用五局三胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3．两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同)
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立． (　　)
(2)必然事件与任何一个事件相互独立． (　　)
(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立． (　　)
2．坛子里放有3个白球、2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是(　　)
A．互斥事件　 B．相互独立事件
C．对立事件　 D．不相互独立事件
3．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
4．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．
5．(教材P218习题7—4B组T1改编)在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为．在同一时间内，则至少有一个气象台预报准确的概率是________．
2 / 2§4　事件的独立性
学习任务 核心素养
1．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．(难点、易混点) 2．结合古典概型，利用独立性计算概率．(重点) 1．通过对事件独立性概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过计算相互独立事件的概率，培养数学运算素养．
1．当事件A，B满足什么条件时，事件A与B相互独立？
2．相互独立事件有哪些性质？
3．如何求相互独立事件同时发生的概率？
4．相互独立事件与互斥事件的区别是什么？
相互独立事件的概念和性质
定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件
计算 公式 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B)
性质 如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立．即当事件A，B相互独立时，则事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立
(1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？
[提示]　(1)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(　　)
A．A与B，A与C均相互独立
B．A 与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
A　[由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A．]
2．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是(　　)
A．0.56　 　B．0.92　 　C．0.94　 　D．0.96
C　[∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴目标被击中的概率为1－0.06＝0.94．]
类型1　相互独立事件的判断
【例1】　判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”；
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
[解]　(1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件．
(2)样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，即P(AB)＝P(A)P(B)．
故事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此A，B不是互斥事件．
　判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法：事件A，B相互独立 P(AB)＝P(A)·P(B)．
(2)利用性质：A与B相互独立，则A与也都相互独立．
[跟进训练]
1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
A　[对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．]
类型2　相互独立事件概率的计算
【例2】　【链接教材P215例1】
甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率．
[解]　设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(1)3人同时被选中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝＝．
(2)3人中有2人被选中的概率
P2＝P(ABCBC)
＝＝．
3人中只有1人被选中的概率
P3＝P(A C)＝＝．
故3人中至少有1人被选中的概率为P1＋P2＋P3＝＝．
[母题探究]
1．(变设问)保持条件不变，求三人均未被选中的概率．
[解]　法一：三人均未被选中的概率
P＝P()＝＝．
法二：由例2(2)知，三人至少有1人被选中的概率为，
∴三人均未被选中的概率P＝1－＝．
2．(变条件，变设问)若条件“3人能被选中的概率分别为”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率．
[解]　设甲被选中的概率为P(A)，乙被选中的概率为P(B)，
则P(A)[1－P(B)]＋P(B)[1－P(A)]＝， ①
P(A)P(B)＝， ②
由①②知P(A)＝，P(B)＝，
故恰有2人被选中的概率
P＝P(AB BC)＝．
【教材原题·P215例1】
例1　甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)两人都译出密码的概率；
(2)两人都译不出密码的概率；
(3)恰有一人译出密码的概率；
(4)至多有一人译出密码的概率；
(5)至少有一人译出密码的概率．
[解]　记“甲独立译出密码”为事件A，“乙独立译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝．
(1)设事件C表示“两人都译出密码”，则C＝AB．因为A与B相互独立，所以
P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝＝．
即两人都译出密码的概率为．
(2)设事件D表示“两人都译不出密码”，则D＝也相互独立．因此，
P(D)＝P()
＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝
＝．
即两人都译不出密码的概率为．
(3)设事件E表示“恰有一人译出密码”，事件E可以看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件，所以E＝AB彼此互斥，因此
P(E)＝P(AB)
＝P(AB)
＝P(A)P()P(B)
＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)
＝
＝．
即恰有一人译出密码的概率为．
(4)设事件F表示“至多有一个译出密码”．
方法1　事件F可以看作事件“两人都译不出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件，所以F＝D∪E，且D与E彼此互斥，因此
P(F)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝＝．
即至多有一人译出密码的概率为．
方法2　事件F的对立事件为“两人都译出密码”，所以＝C，因此
P(F)＝1－P()＝1－P(C)＝1－＝．
即至多有一个译出密码的概率为．
(5)设事件G表示“至少有一人译出密码”．
方法1　事件G可以看作事件“两人都译出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件，所以G＝C∪E，且C与E彼此互斥，因此
P(G)＝P(C∪E)＝P(C)＋P(E)＝＝．
即至少有一人译出密码的概率为．
方法2　事件G的对立事件为“两人都译不出密码”，所以＝D，因此
P(G)＝1－P()＝1－P(D)＝1－＝．
即至少有一人译出密码的概率为．
　1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
[跟进训练]
2．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
[解]　(1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝＝．
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，
则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＝．
类型3　相互独立事件概率的实际应用
【例3】　三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，将它们中的两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
[解]　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝．
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，
∴不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)A1]
＝P(A2∪A3)·P(A1)
＝[1－P()·P()]·P(A1)
＝＝．
　求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
[跟进训练]
3．电路从A到B共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[由题意知A与C之间未连通的概率是＝，连通的概率是1－＝．E与F之间连通的概率是＝，未连通的概率是1－＝，故C与B之间未连通的概率是＝，故C与B之间连通的概率是1－＝，故A与B之间连通的概率是＝，故选B．]
4．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响．求该选手被淘汰的概率．
[解]　记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai(i＝1，2，3)，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝．
法一：该选手被淘汰的概率为
P()＋P(A1)＋P(A1A2)
＝P()＋P(A1)P()＋P(A1)P(A2)P()
＝＝．
法二：该选手被淘汰的概率为1－P(A1A2A3)＝1－＝．
不同赛制的可靠性探究
乒乓球比赛规则如下：
在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10分平后，先多得2分的一方为胜方；
1场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；
一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任何一方运动员都有权要求不超过1分钟的休息时间．
某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．
1．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？
[提示]　甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用三局两胜制时，甲获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲最终获胜的概率为P1＝0.62＋2×0.62×(1－0.6)＝0.648．
2．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用五局三胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？
[提示]　甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由独立事件的概率公式，得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P2＝0.63＋3×0.63(1－0.6)＋6×0.63(1－0.6)2＝0.682 56．
3．两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同)
[提示]　甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率P>．采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的概率为P3＝p2＋2p2(1－p)．
采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P4＝p3＋3p3(1－p)＋6p3(1－p)2．而P4－P3＝p2(6p3－15p2＋12p－3)＝3p2(p－1)2(2p－1)．
因为P>，所以P4>P3，即五局三胜制下甲最终获胜的可能性更大．
所以五局三胜制更能选拔出最强的选手．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立． (　　)
(2)必然事件与任何一个事件相互独立． (　　)
(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立． (　　)
[提示]　(1)正确．不可能事件的发生与任何一个事件的发生都没有影响．
(2)正确．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．
(3)错误．因为两个事件互斥，所以二者不能同时发生，所以这两个事件不相互独立．
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
2．坛子里放有3个白球、2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是(　　)
A．互斥事件 　 B．相互独立事件
C．对立事件 　 D．不相互独立事件
D　[由于事件A1是否发生对事件A2发生的概率有影响，所以A1与A2是不相互独立事件．]
3．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝＝．]
4．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．
　[由题意知P＝＝．]
5．(教材P218习题7—4B组T1改编)在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和．在同一时间内，则至少有一个气象台预报准确的概率是________．
　[记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B．
至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P()＝1－＝．]
课时分层作业(四十四)　事件的独立性
一、选择题
1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
A　[由题意可知，甲、乙同时中靶的概率为＝．]
2．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　)
A．0.504 　 B．0.994
C．0.496 　 D．0.064
B　[由题意得所求概率为1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994．]
3．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为(　　)
A．　 　 B．
C．　 　 D．
C　[设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A，B相互独立，P(A)＝P(B)＝＝，
则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－＝．故选C．]
4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某汽车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为＝．]
5．国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球贏球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为(　　)
A．　 　 B．
C．　 　 D．
B　[设双方20：20平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1，2，3，…)，
则P(甲以23：21赢)＝P(A2A3A4)＋P(A1A3A4)＝P()P(A2)P(A3)P(A4)＋P(A1)·P()P(A3)P(A4)＝＋＝．]
二、填空题
6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
　[设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝，所以p＝．]
7．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．
0.24　0.96　[由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96．]
8．国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是，且各轮考核能否通过互不影响．则该软件至多进入第三轮考核的概率为________．
　[设事件Ai(i＝1，2，3，4)表示“该软件能通过第i轮考核”，
由已知得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，
设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则
P(C)＝P(＋A1＋A1A2)＝P()＋P(A1)＋P(A1A2)
＝＝．]
三、解答题
9．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
[解]　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.1．
(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1＝P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．
10．(源自人教B版教材)已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8．
(1)若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？
(2)若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？
[解]　(1)记事件A：甲投中，B：乙投中，因为A与B相互独立，所以
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.7×0.8＝0.56，
即都命中的概率为0.56．
(2)记事件Ai：甲第i次投中，其中i＝1，2，则P(A1)＝P(A2)＝0.7．
恰好投中一次，可能是第一次投中且第二次没投中，也可能是第一次没投中且第二次投中，即
A1A2，
注意到A1与A2相互独立，且A1A2互斥，因此
P(A1A2)
＝P(A1)P()P(A2)
＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)
＝0.7×(1－0.7)＋(1－0.7)×0.7
＝0.42．
11．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，
则灯亮这一事件E＝ABC∪ABC互斥，
所以P(E)＝P(ABC∪ABC)
＝P(ABC)＋P(ABC)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()P(C)
＝＝．]
12．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
D　[由题意，P()·P()＝，P()·P(B)＝P(A)·P()．
设P(A)＝x，P(B)＝y，
则
即
∴x2－2x＋1＝，
∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，
∴x＝．]
13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
　[依题意得，加工出来的零件的正品率是＝，因此加工出来的零件的次品率是1－＝．]
14．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
0.46　[设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，
同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1A3A2A3发生，
故所求概率为P＝P(A1A2A3∪A1A3A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A1A3)＋P(A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P()P(A3)＋P()P(A2)P(A3)
＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46．]
15．某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4．第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5．
(1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
(2)分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
(3)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．
[解]　(1)分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1，B1；
设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则P(E)＝P(A1·)＝0.5×0.4＝0.2．
(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件A，B，C，则
P(A)＝0.5×0.6＝0.3，P(B)＝0.6×0.5＝0.3，P(C)＝0.4×0.5＝0.2．
(3)设F表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，
则P(F)＝P(AC)
＝0.3×0.7×0.8＋0.7×0.3×0.8＋0.7×0.7×0.2＝0.434．
2 / 2

展开更多......

收起↑