资源简介

§2　对数的运算
1．对数具有哪三条运算性质 适用条件是什么
2．换底公式的内容是什么
1．对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝________，
(2)loga＝________，
(3)logaMb＝________(b∈R)．
2．换底公式
若c>0，且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)．
结合对数的换底公式探究logba与logab，lobm与logab之间有什么关系
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思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差． (　　)
(2)loga(xy)＝logax·logay． (　　)
(3)log2(－5)2＝2log2(－5)． (　　)
(4)由换底公式可得logab＝． (　　)
类型1　对数运算性质的应用
【例1】　【链接教材P102例1】
求下列各式的值：
(1)log2(47×25)；
(2)lg；
(3)lg 14－2 lg＋lg 7－lg 18；
(4)lg 5·lg 20＋(lg 2)2．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　对数式的化简与求值的思路
(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简．
(2) 先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
[跟进训练]
1．求下列各式的值．
(1)log312－log32；(2)lg25＋2lg 2－lg22．
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类型2　对数换底公式的应用
【例2】　【链接教材P105例3，例4】
计算：(1)log29·log34；(2)．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　换底公式的应用技巧
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．
[跟进训练]
2．计算(log43＋log83)·．
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类型3　对数中的条件求值
【例3】　【链接教材P102例2】
已知log189＝a，18b＝5，求log3645．(用a，b表示)
[尝试解答]　________________________________________________________
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[母题探究]
1．若18b＝5，18a＝9，如何求log1845(用a，b表示)
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2．若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢
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　解对数综合应用问题的三种方法
(1)化统一：所求为对数式，条件转为对数式．
(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．
(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．
[跟进训练]
3．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，求logzm的值．
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1．(教材P107习题4—2A组T5改编)已知lg a＝2.31，lg b＝1.31，则等于(　　)
A．　 B． 　
C．10　 D．100
2．＝(　　)
A．　 B．2 　
C． D．
3.2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　 B．1
C．2　 D．4
4．lg的值是________．
5．若b·log3a＝4，则b的值为________．
2 / 2§2　对数的运算
学习任务 核心素养
1．掌握对数的运算性质．(重点) 2．能灵活使用对数的运算性质和换底公式进行化简、求值．(难点) 1．通过对数的运算性质的应用，培养数学运算素养． 2．借助对数的运算性质及换底公式的推导，培养逻辑推理素养．
1．对数具有哪三条运算性质？适用条件是什么？
2．换底公式的内容是什么？
1．对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，
(2)loga＝logaM－logaN，
(3)logaMb＝blogaM(b∈R)．
2．换底公式
若c>0，且c≠1，则logab＝．
结合对数的换底公式探究logba与 与logab之间有什么关系？
[提示]　logba＝，lologab．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差． (　　)
(2)loga(xy)＝logax·logay． (　　)
(3)log2(－5)2＝2log2(－5)． (　　)
(4)由换底公式可得logab＝． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
类型1　对数运算性质的应用
【例1】　【链接教材P102例1】
求下列各式的值：
(1)log2(47×25)；
(2)lg；
(3)lg 14－2 lg＋lg 7－lg 18；
(4)lg 5·lg 20＋(lg 2)2．
[解]　(1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19．
(2)lg ．
(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0．
(4)法一：原式＝lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝(lg 10)2＝1．
法二：原式＝(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝1．
【教材原题·P102例1】
例1　计算：
(1)log2(64×512)；(2)lg 0.0001；(3)log3．
[解]　(1)log2(64×512)＝log264＋log2512＝6＋9＝15；
(2)lg 0.0001＝lg 10-4＝－4lg 10＝－4；
(3)log3．
　对数式的化简与求值的思路
(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简．
(2) 先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
[跟进训练]
1．求下列各式的值．
(1)log312－log32；(2)lg25＋2lg2－lg22．
[解]　(1) ．
(2)法一：lg25＋2lg 2－lg22
＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 2＋lg 5
＝lg 10
＝1．
法二：lg25＋2lg 2－lg22＝(1－lg 2)2＋2lg 2－lg22＝1－2lg 2＋lg22＋2lg 2－lg22＝1．
类型2　对数换底公式的应用
【例2】　【链接教材P105例3，例4】
计算：(1)log29·log34；(2)．
[解]　(1)由换底公式可得，
log29·log34＝＝4．
(2)原式＝··lo·．
【教材原题·P101例3，例4】
例3　计算：
(1)log2781；
(2)log1625·log58；
(3)logab·logba(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)．
[解]　根据对数的换底公式，得
(1)log2781＝；
(2)log1625·log58＝；
(3)logab·logba＝·＝1．
例4　计算：
(1)log4＋log23－log0.5；
(2)(log32＋log23)2－．
[解]　根据对数的换底公式，得
(1)log4＋log23－log0.5＋log23－
＝log2＋log23－log25
＝log2＝log21＝0；
(2)(log32＋log23)2－
＝
＝2．
　换底公式的应用技巧
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．
[跟进训练]
2．计算(log43＋log83)·．
[解]　原式＝．
类型3　对数中的条件求值
【例3】　【链接教材P102例2】
已知log189＝a，18b＝5，求log3645．(用a，b表示)
[解]　因为18b＝5，
所以b＝log185．
所以log3645＝
＝
＝
＝．
[母题探究]
1．若18b＝5，18a＝9，如何求log1845(用a，b表示)
[解]　因为18b＝5，18a＝9，所以log185＝b，log189＝a，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b．
2．若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢
[解]　因为9b＝5，所以log95＝b．
所以log3645＝．
【教材原题·P102例2】
例2　已知log23＝a，log25＝b，用a，b表示下列各数的值：
(1)log230；(2)log2；(3)log2．
[解]　(1)log230＝log2(2×3×5)＝log22＋log23＋log25＝1＋a＋b；
(2)log2＝log25－log29＝log25－log232＝log25－2log23＝b－2a；
(3)log2
＝log220
＝(log23＋log25)－(log24＋log25)
＝(a＋b)－(2＋b)
＝－1．
　解对数综合应用问题的三种方法
(1)化统一：所求为对数式，条件转为对数式．
(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．
(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．
[跟进训练]
3．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，求logzm的值．
[解]　由logxm＝24得logmx＝，由logym＝40得logmy＝，由logxyzm＝12得logm(xyz)＝，则logmx＋logmy＋logmz＝．
所以logmz＝，
所以logzm＝60．
1．(教材P107习题4—2A组T5改编)已知lg a＝2.31，lg b＝1.31，则等于(　　)
A． 　 B．
C．10 　 D．100
B　[由已知得lg ＝lg b－lg a＝1.31－2.31＝－1，∴．]
2．＝(　　)
A． 　 B．2
C． 　 D．
B　[原式＝＝2．]
3．2log510＋log50.25＝(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．4
C　[原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2．]
4．lg ＋lg 的值是________．
1　[lg＝lg 10＝1．]
5．若b·log3a＝4，则b的值为________．
81　[logab·log3a＝·＝4，
所以lg b＝4lg 3＝lg 34，
所以b＝34＝81．]
课时分层作业(二十五)　对数的运算
一、选择题
1．若ab＞0，给出下列四个等式：
①lg (ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b；
③lg ＝lg ；④lg (ab)＝．
其中一定成立的等式的序号是(　　)
A．①②③④ 　 B．①②
C．③④ 　 D．③
D　[∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab＞0，∴＞0，lg ＝lg ，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg (ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D．]
2．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)
A．d＝ac 　 B．a＝cd
C．c＝ad 　 D．d＝a＋c
B　[由已知，得a＝，所以a＝cd．]
3．若lg x－lg y＝t，则lg －lg ＝(　　)
A．3t 　 B．t
C．t 　 D．
A　[lg＝3(lg x－lg y)＝3t．]
4．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　)
A．1033 　 B．1053
C．1073 　 D．1093
D　[由题意，lg ＝lg ＝＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28．
又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，
故与最接近的是1093．故选D．]
5．3lg 2－2lg 3＝(　　)
A．0　 　 B．lg 2
C．lg 3　 　 D．lg 6
A　[令M＝3lg 2，N＝2lg 3，
则lg M＝lg 2lg 3，
lg N＝lg 3lg 2，
∴lg M＝lg N，∴M＝N，
∴3lg 2－2lg 3＝M－N＝0．]
二、填空题
6．已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________．(用m，n表示)
m＋2n　[loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n．]
7．(2024·全国甲卷)已知a>1，，则a＝________．
64　[log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，
所以log2a＝6，故a＝26＝64．]
8．若lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则＝________．
4　[因为lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y．
又x＞0，y＞0且x－2y＞0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4． ]
三、解答题
9．用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga(x2yz)；(2)loga；(3)loga．
[解]　(1)loga(x2yz)＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz．
(2)loga＝logax2－loga(yz)＝2logax－(logay＋logaz)＝2logax－logay－logaz．
(3)loga＝loga－loga(y2z)＝logax－2logay－logaz．
10．(教材P107习题4—2B组T2改编)计算：
(1)2log32－log3＋log38；
(2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316．
[解]　(1)原式＝log34－log3＋log38＝log39＝2．
(2)原式＝log3(32×36)＋log2＋log43·2log34＝log338＋log22＋2＝11．
11．(多选)实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系不正确的有(　　)
A．＝1 　 B．＝2
C．＝2 　 D．
BCD　[＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确．
＝lg 4＋lg 5＝lg 20≠2，故B不正确．
＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故CD不正确．故选BCD．]
12．已知2x＝9，2y＝，则x＋2y的值为(　　)
A．6 　 B．8
C．1 　 D．log48
A　[由2x＝9，得x＝log29，由2y＝，得y＝log2，
∴x＋2y＝log29＋2log2＝2log23＋2log2＝＝2log2＝2log28＝2×3＝6．]
13．设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2．
(1)log2＋log2＝________；
(2)若log4＝1，log8(a＋b－c)＝，则＝________．
(1)1　(2)3　[(1)原式＝log2
＝log2
＝log2
＝log22＝1．
(2)由log4＝1，得－3a＋b＋c＝0， ①
由log8(a＋b－c)＝，得a＋b－c＝4， ②
由题设知a2＋b2＝c2， ③
由①②③及a，b，c为正数，可得a＝6，b＝8，c＝10．
所以＝3．]
14．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：
x 3 5 8 9 15
lg x 2a－b a＋c 3－3a－3c 4a－2b 3a－b＋c＋1
请将错误的一个改正为lg ________＝________．
15　3a－b＋c　[由lg 9＝2lg 3，对照表格可知3，9的对数值没错，lg 8＝3lg 2，所以lg 8＝3－3a－3c等价于lg 2＝1－a－c，比较lg 5＝a＋c，由lg 2＋lg 5＝1可知lg 5，lg 8的值没错，而lg 15＝lg 3＋lg 5＝3a－b＋c，所以表格中lg 15错误，应改为：lg 15＝3a－b＋c．]
15．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值．
[解]　原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0(x＞0)．
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝．
又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝．
∴lg (ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg (ab)·(logab＋logba )＝12．
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