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1.3　集合的基本运算
第1课时　交集与并集
学习任务 核心素养
1．理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集．(重点、难点) 2．能用Venn图表达集合的关系与运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点) 1．借助Venn图培养直观想象素养． 2．通过并集与交集的运算，提升数学运算素养．
1．两个集合的并集与交集的含义是什么
2．如何用Venn图表示集合的并集与交集
3．并集与交集有哪些性质
知识点1　交集
文字 语言 一般地，由既属于集合A又________集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作________，读作“________”
符号 语言 A∩B＝______________
图形语言
运算 性质 A∩B＝________，A∩A＝______，A∩ ＝ ∩A＝______，A∩B A，A∩B B，A B A∩B＝A
1．(1)当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗
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(2)若A∩B＝A，则A与B有什么关系
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1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，3}，则A∩B＝________．
2．若集合A＝{x|－32}，C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A∩C＝________．
知识点2　并集
文字 语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作________，读作“________”
符号语言 A∪B＝______________
图形 语言
运算 性质 A∪B＝________，A∪A＝______，A∪ ＝ ∪A＝______，A A∪B，B A∪B，A B A∪B＝B
2．(1)在什么条件下，集合A∪B的元素个数等于集合A与B的元素个数之和
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(2)若已知A∪B＝B，则集合A与B之间有何关系
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3．设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N＝________．
4．已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________．
类型1　交集运算
【例1】　【链接教材P8例5】
(1)设集合A＝{x|－2A．{2}　 B．{2，3}
C．{3，4}　 D．{2，3，4}
(2)已知集合A＝，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B元素的个数为(　　)
A．5　 B．4 　
C．3　 D．2
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时要用Venn图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍．
2．恰当地运用交集的交换律与结合律，可简化运算过程．
[跟进训练]
1．(1)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　)
A．{1，2，3，4}　 B．{2，3，4}
C．{2，4}　 D．{1}
(2)设集合A＝，B＝．若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是(　　)
A．－12
C．a≥－1　 D．a>－1
类型2　并集运算
【例2】　【链接教材P9例6】
(1)设集合A＝，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∪B＝(　　)
A．
C．
(2)已知集合M＝，N＝，则M∪N＝(　　)
A． 　　
B．
C． 　　
D．
(3)已知集合A＝，B＝，且A∪B＝{1，4，x2}，则满足条件的实数x的个数为(　　)
A．1　 B．2 　
C．3 　 D．4
[尝试解答]　________________________________________________________
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___________________________________________________________________
　在进行集合的并集运算时，(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．
[跟进训练]
2．(1)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　)
A．{2}　 B．{1，2}
C．{2，4，6}　 D．{1，2，4，6}
(2)设集合A＝，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝________．
类型3　由集合的并集、交集求参数
【例3】　已知集合A＝{x|－3[尝试解答]　________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
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2．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3___________________________________________________________________
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　利用集合交集、并集的性质解题
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等，解答时应灵活处理．
(2)当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝ 的情况，切不可漏掉．
[跟进训练]
3．已知M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，则实数a的值为________．
1．＝(　　)
A．
B．
C．
D．
2．集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　)
A．{1，3，4}　 B．{2，3，4}
C．{1，2，3，4}　 D．{0，1，2，3，4，9}
3．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，则(A∩B)∪C等于(　　)
A．{1，2，3}　 B．{1，2，4}
C．{2，3，4}　 D．{1，2，3，4}
4．(教材P10练习T3改编)已知集合A＝{x|－11}，则A∪B＝(　　)
A．{x|－1C．{x|x>－1}　 D．{x|x>1}
5．设集合A＝，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则集合A∩B＝________．
1 / 11.3　集合的基本运算
第1课时　交集与并集
学习任务 核心素养
1．理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集．(重点、难点) 2．能用Venn图表达集合的关系与运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点) 1．借助Venn图培养直观想象素养． 2．通过并集与交集的运算，提升数学运算素养．
1．两个集合的并集与交集的含义是什么？
2．如何用Venn图表示集合的并集与交集？
3．并集与交集有哪些性质？
知识点1　交集
文字语言 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”
符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
图形语言
运算性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ∩A＝ ，A∩B A，A∩B B，A B A∩B＝A
1．(1)当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？
(2)若A∩B＝A，则A与B有什么关系？
[提示]　(1)有，交集为空集．
(2)若A∩B＝A，则A B．
1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，3}，则A∩B＝________．
[答案]　{－1，0}
2．若集合A＝{x|－32}，C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A∩C＝________．
[答案]　{x|2知识点2　并集
文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”
符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
图形语言
运算性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝ ∪A＝A，A A∪B，B A∪B，A B A∪B＝B
2．(1)在什么条件下，集合A∪B的元素个数等于集合A与B的元素个数之和？
(2)若已知A∪B＝B，则集合A与B之间有何关系？
[提示]　(1)A∩B＝ ．
(2)A B．
3．设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N＝________．
[答案]　{3，4，5，6，7，8}
4．已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________．
[答案]　{x|x>0}
类型1　交集运算
【例1】　【链接教材P8例5】
(1)设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　)
A．{2} 　 B．{2，3}
C．{3，4} 　 D．{2，3，4}
(2)已知集合A＝，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B元素的个数为(　　)
A．5 　 B．4
C．3 　 D．2
(1)B　(2)D　[(1)由集合的基本定义可知A∩B＝{2，3}，故选B．
(2)因为8＝3×2＋2；14＝3×4＋2，
所以A∩B＝．]
【教材原题·P8例5】
例5　求下列每一组中两个集合的交集：
(1)A＝{x|x是不大于10的正奇数}，B＝{x|x是12的正因数}；
(2)C＝{x|x是等腰三角形}，D＝{x|x是直角三角形}．
[解]　(1)因为A＝{x|x是不大于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}，
B＝{x|x是12的正因数}＝{1，2，3，4，6，12}，
所以A∩B＝{1，3，5，7，9}∩{1，2，3，4，6，12}＝{1，3}；
(2)依题意知C∩D＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
＝{x|x是等腰直角三角形}．
　1．在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时要用Venn图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍．
2．恰当地运用交集的交换律与结合律，可简化运算过程．
[跟进训练]
1．(1)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　)
A．{1，2，3，4} 　 B．{2，3，4}
C．{2，4} 　 D．{1}
(2)设集合A＝，B＝．若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是(　　)
A．－12
C．a≥－1 　 D．a>－1
(1)B　(2)D　[(1)因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，
所以A∩B＝{2，3，4}．故选B．
(2)在数轴上表示两集合，
由上图可知，当a>－1时，A∩B≠ ．]
类型2　并集运算
【例2】　【链接教材P9例6】
(1)设集合A＝{x|x2＋2x＝0}，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∪B＝(　　)
A．{0} 　 B．{0，2}
C．{－2，0} 　 D．{－2，0，2}
(2)已知集合M＝，N＝，则M∪N＝(　　)
A．
B．
C．
D．
(3)已知集合A＝，B＝，且A∪B＝{1，4，x2}，则满足条件的实数x的个数为(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
(1)D　(2)A　(3)A　[(1)因为A＝，B＝{0，2}，所以A∪B＝{－2，0，2}．
(2)如图，在数轴上表示两集合，
所以M∪N＝．
(3)由A∪B＝，得x＝x2，又x≠1，所以x＝0．]
【教材原题·P9例6】
例6　已知集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，求A∩B，A∪B．
[解]　在数轴上表示出集合A，B(如图1-10)，则
A∩B＝{x|－1≤x＜2}∩{x|0≤x≤3}＝{x|0≤x＜2}；
A∪B＝{x|－1≤x＜2}∪{x|0≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．
　在进行集合的并集运算时，(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．
[跟进训练]
2．(1)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　)
A．{2} 　 B．{1，2}
C．{2，4，6} 　 D．{1，2，4，6}
(2)设集合A＝，B＝，则A∪B＝________．
[答案]　(1)D　(2)
类型3　由集合的并集、交集求参数
【例3】　已知集合A＝{x|－3[解]　由A∪B＝A得B A．
①当B＝ 时，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A．
②当B≠ 时，要使A∪B＝A，
只需
解得2≤k≤．
综合①②可知k≤．
[母题探究]
1．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
[解]　由A∩B＝A可知A B．
所以即
所以k∈ ．
所以k的取值范围为 ．
2．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3[解]　由题意可知解得k＝3．
所以k的值为3．
　利用集合交集、并集的性质解题
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等，解答时应灵活处理．
(2)当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝ 的情况，切不可漏掉．
[跟进训练]
3．已知M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，则实数a的值为________．
4　[因为M∩N＝{3}，所以a2－3a－1＝3，
解得a＝－1或a＝4．
又N＝{－1，a，3}，
所以a≠－1，所以a＝4．]
1．{x|x是矩形}∩{x|x是菱形}＝(　　)
A．{x|x是平行四边形} 　 B．{x|x是矩形}
C．{x|x是菱形} 　 D．{x|x是正方形}
[答案]　D
2．集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　)
A．{1，3，4} 　 B．{2，3，4}
C．{1，2，3，4} 　 D．{0，1，2，3，4，9}
C　[依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9，
则x可能的取值为0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}，
于是A∩B＝{1，2，3，4}．故选C．]
3．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，则(A∩B)∪C等于(　　)
A．{1，2，3} 　 B．{1，2，4}
C．{2，3，4} 　 D．{1，2，3，4}
D　[因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，
所以A∩B＝{1，2}．又C＝{2，3，4}，
所以(A∩B)∪C＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．]
4．(教材P10练习T3改编)已知集合A＝{x|－11}，则A∪B＝(　　)
A．{x|－1C．{x|x>－1} 　 D．{x|x>1}
C　[由题可知A＝{x|－11}，则A∪B＝{x|x>－1}．]
5．设集合A＝，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则集合A∩B＝________．
{(1，－1)}　[A∩B＝＝{(1，－1)}．]
课时分层作业(四)　交集与并集
一、选择题
1．已知集合M＝{x|－3A．{x|－1≤x<1}　　　 B．{x|x>－3}
C．{x|－3C　[由集合的并运算，得M∪N＝{x|－32．若集合A＝，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
A　[根据交集的定义可知，A∩B＝{x|－23．已知集合A＝，B＝{-2，0，2，4}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A．{－2，0，2，4} 　 B．{0，2，4}
C． 　 D．
C　[阴影部分所表示的集合是A∩B，又A∩B＝，故选C．]
4．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝(　　)
A．0或 　 B．0或3
C．1或 　 D．1或3
B　[由A∪B＝A，得A B，所以m∈A，又m≠1，所以m＝3或，所以m＝0或3，故选B．]
5．设S＝，T＝，则(　　)
A．S∪T＝S 　 B．S∪T＝T
C．S∩T＝S 　 D．S∩T＝
A　[S＝＝{(x，y)|x>0且y>0，或x<0且y<0}，所以S∪T＝S．]
二、填空题
6．已知A＝，B＝，若A∩B＝，则A∪B＝________．
　[由A∩B＝，得m＝3，
所以A∪B＝．]
7．已知A＝，B＝，则A∩B＝________．
　[由已知，得B＝，所以A∩B＝．]
8．设集合A＝，B＝，C＝，则B∩C的元素个数为________．
24　[由已知，得B＝，C＝，
所以B∩C＝，
所以，B∩C的元素个数为24．]
三、解答题
9．(教材P12习题1—1B组T5改编)已知集合A＝，B＝{x|x－m<0}．
(1)若A∩B＝ ，求实数m的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求实数m的取值范围．
[解]　(1)B＝，
由A∩B＝ ，得m≤－2．
(2)由A∪B＝B，得A B，所以m≥4．
10．设集合A＝，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
[解]　(1)由题意得，B＝，
又A＝{x|－1≤x＜3}，如图．
∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．
(2)由题意得，C＝，
又B∪C＝C，故B C，
∴－＜2，
∴a＞－4．
∴实数a的取值范围为{a|a＞－4}．
11．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
ABC　[A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∵A∩B＝B，∴B A．
当B＝ 时，ax－2＝0无解，∴a＝0．
当B≠ 时，此时a≠0，x＝，
∴＝1或＝2，解得a＝2或a＝1．
∴实数a的值为0或1或2．
故选ABC．]
12．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B，且x A∩B}．已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，则A*B＝(　　)
A．{x|1≤x<3}
B．{x|1≤x≤3}
C．{x|0≤x<1，或x>3}
D．{x|0≤x≤1，或x≥3}
C　[由题意，知A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，则A*B＝{x|0≤x<1，或x>3}．]
13．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，则x＋y＝______，A∪B＝________．
　{－1，－4，2，7}　[由A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，得7∈A，7∈B且－1∈B，
所以在集合A中x2－x＋1＝7，
解得x＝－2或3．
当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，
即2∈B，又2∈A，
但2 C，故x＝－2不合题意，舍去；
当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7，
故有2y＝－1，
解得y＝－，
经检验满足A∩B＝C．
综上知，所求x＝3，y＝－．
所以x＋y＝．
此时A＝{2，－1，7}，B＝{－1，－4，7}，
故A∪B＝{－1，－4，2，7}．]
14．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为 ________．
30　[5x－a≤0 x≤；6x－b＞0 x＞．
要使A∩B∩N＝{2，3，4}，
则
即
所以整数对(a，b)的个数为30．]
15．设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值；
(2)若 A∩B，且A∩C＝ ，求实数a的值；
(3)若A∩B＝A∩C≠ ，求实数a的值．
[解]　(1)B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，
因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则A＝{2，3}，所以解得a＝5．
(2)因为 A∩B，且A∩C＝ ，B＝{2，3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，
所以－4 A，2 A，3∈A，所以32－3a＋a2－19＝0，
即a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2．
当a＝－2时，A＝{－5，3}，满足题意；
当a＝5时，A＝{2，3}，不满足题意，舍去．
综上可知，a＝－2．
(3)因为A∩B＝A∩C≠ ，
B＝{2，3}，C＝{－4，2}，
所以2∈A，则22－2a＋a2－19＝0，
即a2－2a－15＝0，解得a＝5或a＝－3．
当a＝5时，A＝{2，3}，不满足题意，舍去；
当a＝－3时，A＝{－5，2}，满足题意．
综上可知，a＝－3．
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