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§3　不等式
3.1　不等式的性质
学习任务 核心素养
1．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．(重点) 2．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点) 1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养．
1．如何比较两个实数的大小
2．等式的基本性质有哪些
3．不等式的基本性质有哪些
知识点1　实数a，b大小比较的基本事实
1．文字叙述
如果a－b是正数，那么a________b；如果a－b等于0，那么a________b；如果a－b是负数，那么a________b，反过来也成立．
2．符号表示
a－b>0 a________b；a－b＝0 a__b；
a－b<0 a________b．
1．(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)p q的含义是什么
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1．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
知识点2　不等式的性质
性质1：如果a>b，且b>c，那么________．
性质2：如果a>b，那么a＋c________b＋c．
性质3：(1)如果a>b，c>0，那么ac__bc；
(2)如果a>b，c<0，那么ac________bc．
性质4：如果a>b，c>d，那么a＋c________b＋d．
性质5：(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac________bd；
(2)如果a>b>0，c性质6：当a>b>0时，______，其中n∈N+，n≥2．
2．(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗
(2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗
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2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．a>b>－b>－a 　　 B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a 　　 D．a>b>－a>－b
3．下列命题正确的是(　　)
A．a>b，c≠0 ac2>bc2　
B．aC．a>b且cb＋d　
D．a>b a2>b2
4．若a>b>0，n>0，则______．(填“>”“<”或“＝”)
类型1　数式的大小比较
【例1】　【链接教材P25例1】
(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与的大小．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．利用作差法比较大小的四个步骤
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．
(4)作出结论．
注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．
2．作商法比较大小
如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1．方法图示如下：
依据 a>0，b>0 >1 a>b； ＝1 a＝b； <1 a1 ab
应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小
步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论
[跟进训练]
1．若x∈R，y∈R，则(　　)
A．x2＋y2>2xy－1
B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1
D．x2＋y2≤2xy－1
2．已知a，b为正实数，试比较的大小．
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类型2　不等式的性质
【例2】　【链接教材P25例2，P26例3】
(1)对于实数x，y，z，下列结论正确的是(　　)
A．若x>y，则xz2>yz2
B．若yC．若xD．若xxy>y2
(2)若c>a>b>0，求证：．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．利用不等式的性质判断正误的两种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
2．利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟进训练]
3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．ab>bc　 B．ac>bc
C．ab>ac　 D．a|b|>|b|c
4．若a>b>0，c___________________________________________________________________
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类型3　不等式的性质的应用
【例3】　已知12[尝试解答]　________________________________________________________
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[母题探究]
1．在例3的条件下，求b的取值范围．
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2．若将本例中的条件改为“2≤a－b≤4，1≤a＋b≤2”，求2a－b的取值范围．
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　求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用“若等式恒成立，则等式两边对应项系数相等”求出待定系数的取值，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．
[跟进训练]
5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2． (　　)
(2)若a>b，则ac>bc． (　　)
(3)当n∈N*时，若a>b，则an>bn． (　　)
2．设P＝3x2－x＋1，Q＝2x2＋x则(　　)
A．P≥Q　 B．P≤Q
C．P>Q　 D．P3．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则(　　)
A．b<0，c<0　 B．b>0，c>0
C．b>0，c<0　 D．04．已知A＝a2＋b2－4a＋2b＋5，则A与0的大小关系是________．
5．若x1 / 1§3　不等式
3.1　不等式的性质
学习任务 核心素养
1．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．(重点) 2．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点) 1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养．
1．如何比较两个实数的大小？
2．等式的基本性质有哪些？
3．不等式的基本性质有哪些？
知识点1　实数a，b大小比较的基本事实
1．文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a2．符号表示
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a1．(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种吗？
(2)p q的含义是什么？
[提示]　(1)是．
(2)p q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．
1．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
m3>m2－m＋1　[m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
∵m>1，∴(m－1)(m2＋1)>0．故m3＞m2－m＋1．]
知识点2　不等式的性质
性质1：如果a>b，且b>c，那么a>c．
性质2：如果a>b，那么a＋c>b＋c．
性质3：(1)如果a>b，c>0，那么ac>bc；
(2)如果a>b，c<0，那么ac性质4：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d．
性质5：(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；
(2)如果a>b>0，c性质6：当a>b>0时，>，其中n∈N＋，n≥2．
2．(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗？
(2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗
[提示]　(1)不一致，同向不等式相乘时各项均为正数．
(2)不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立．
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．a>b>－b>－a　　　
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a　　　
D．a>b>－a>－b
[答案]　C
3．下列命题正确的是(　　)
A．a>b，c≠0 ac2>bc2
B．aC．a>b且cb＋d
D．a>b a2>b2
[答案]　A
4．若a>b>0，n>0，则________．(填“>”“<”或“＝”)
[答案]　<
类型1　数式的大小比较
【例1】　【链接教材P25例1】
(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与的大小．
[解]　(1)(x3－1)－(2x2－2x)
＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)．
∵x<1，∴x－1<0．
又>0，
∴(x－1)<0．
即x3－1<2x2－2x．
(2)a－，
∵a>0，
∴当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；
当a＝1时，a＝；
当0【教材原题·P25例1】
例1　试比较(x＋1)(x＋5)与(x＋3)2的大小．
[解]　因为(x＋1)(x＋5)－(x＋3)2
＝(x2＋6x＋5)－(x2＋6x＋9)
＝－4＜0，
所以(x＋1)(x＋5)＜(x＋3)2．
　1．利用作差法比较大小的四个步骤
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．
(4)作出结论．
注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．
2．作商法比较大小
如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1．方法图示如下：
依据 a>0，b>0 >1 a>b； ＝1 a＝b； <1 a1 ab
应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小
步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论
[跟进训练]
1．若x∈R，y∈R，则(　　)
A．x2＋y2>2xy－1 　 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 　 D．x2＋y2≤2xy－1
A　[因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A．]
2．已知a，b为正实数，试比较与的大小．
[解]　由于－＝
＝，
再由a，b为正实数可得＞0，＞0，2≥0，可得≥0，
所以，当且仅当a＝b时，取等号．
类型2　不等式的性质
【例2】　【链接教材P25例2，P26例3】
(1)对于实数x，y，z，下列结论正确的是(　　)
A．若x＞y，则xz2＞yz2
B．若y＜z＜0，则＞
C．若x＜y＜0，则＜
D．若x＜y＜0，则x2＞xy＞y2
(2)若c>a>b>0，求证：>．
(1)D　[对于A，当z＝0时，xz2＝yz2，故A错误；
对于B，＞1，0＜＜1，因此，＜，故B错误；
对于C，当x＜y＜0时，＞，故C错误；
对于D，由x＜y＜0得，x2＞xy，xy＞y2，
因此x2＞xy＞y2，故D正确．]
(2)证明：因为a>b>0 －a<－b c－a因为c>a，所以c－a>0．
所以0上式两边同乘，
得>>0．
又因为a>b>0，所以>．
【教材原题·P25例2，P26例3】
例2　试证明：若0＜a＜b，m＞0，则＞．
[证明]　．
因为a＜b，所以b－a＞0．
又b＞0，m＞0，故＞0．
因此＞．
例3　(1)已知a＞b，ab＞0，求证：＜；
(2)已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d．
[证明]　(1)因为ab＞0，所以＞0．
又因为a＞b，所以由不等式的性质3，得a·＞b·，即＜．
(2)因为c＜d，所以－c＞－d．
又因为a＞b，所以由不等式的性质4，得a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d．
　1．利用不等式的性质判断正误的两种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
2．利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟进训练]
3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．ab>bc 　 B．ac>bc
C．ab>ac 　 D．a|b|>|b|c
C　[因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac．]
4．若a>b>0，c．
[证明]　∵c－d>0．
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，
两边同乘，
得0<<．
又e<0，
∴>．
类型3　不等式的性质的应用
【例3】　已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a－b，的取值范围．
[解]　∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15．
又12＜a＜60，∴12－36＜a－b＜60－15．
∴－24＜a－b＜45．
又＜＜，
∴＜＜．∴＜＜4．
[母题探究]
1．在例3的条件下，求b的取值范围．
[解]　∵12＜a＜60，15＜b＜36，
∴6∴－62．若将本例中的条件改为“2≤a－b≤4，1≤a＋b≤2”，求2a－b的取值范围．
[解]　设2a－b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即2a－b＝(m＋n)a＋(n－m)b．
于是解得
∴2a－b＝．
又∵2≤a－b≤4，1≤a＋b≤2，
∴≤7．
即≤2a－b≤7．
　求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用“若等式恒成立，则等式两边对应项系数相等”求出待定系数的取值，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．
[跟进训练]
5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
[解]　设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
解得λ1＝．
又－(a＋b)≤(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1．
故a＋3b的取值范围为－≤a＋3b≤1．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2． (　　)
(2)若a>b，则ac>bc． (　　)
(3)当n∈N*时，若a>b，则an>bn． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
2．设P＝3x2－x＋1，Q＝2x2＋x则(　　)
A．P≥Q 　 B．P≤Q
C．P>Q 　 D．PA　[因为P－Q＝x2－2x＋1＝≥0，所以P≥Q．]
3．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则(　　)
A．b<0，c<0 　 B．b>0，c>0
C．b>0，c<0 　 D．0D　[由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，
又∵b>c，∴04．已知A＝a2＋b2－4a＋2b＋5，则A与0的大小关系是________．
A≥0　[]
5．若x＜y＜0，则(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小关系是________．
>　[(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．]
课时分层作业(八)　不等式的性质
一、选择题
1．限速40 km/h的路标，提示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是(　　)
A．v<40 　 B．v≤40
C．v>40 　 D．v≥40
B　[不超过即小于或等于．]
2．已知a>b>c>0，若P＝，则(　　)
A．P≥Q 　 B．P≤Q
C．P>Q 　 D．PD　[由a>b>c>0，得a－c>b－c>0，①
>>0，②
两式相乘，得>．则P3．已知－1<α<0，1<β<2，则－β的范围为(　　)
A． 　 B．
C．(－1，0) 　 D．(－1，1)
A　[<<0，－2<－β<－1，
同向不等式相加，得－<－β<－1．]
4．已知a＝，则下列关系正确的是(　　)
A．a＞b 　 B．a≤b
C．a≥b 　 D．a＜b
D　[，
∵＞＞0，
∴＜，即a＜b．故选D．]
5．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ab>0，bc－ad>0，则>0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，c>d>0，则>
BC　[若a>0>b，0>c>d，则ac0，bc－ad>0，则>0，化简得>0，故B正确；若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，故D错误．故选BC．]
二、填空题
6．(教材P25例2改编)b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再加入m克糖(m＞0)，则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式________．
[答案]　>
7．已知1＜a＜2，3＜b＜5，则的取值范围是________．
＜＜　[∵3＜b＜5，∴＜＜．
又1＜a＜2，
∴＜＜．]
8．设a＝2－，则a，b，c之间的大小关系为________．
c>b>a　[<0，b＝－a>0，c＝>0，
由b－c＝3<0，得b所以c>b>a．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)·(x＋4)的大小．
[解]　因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)
＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)
＝2>0，
所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．
10．已知a＞0，b＞0，试比较M＝与N＝的大小．
[解]　因为
M－N＝
＝
＝＝(a－b)
＝－．
因为a＞0，b＞0，
所以(1＋a)(1＋b)＞0，－(a－b)2≤0，得M－N≤0，当a＝b时，M＝N；
当a≠b时，M＜N．
11．已知a＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c 　 B．c＞a＞b
C．c＞b＞a 　 D．b＞c＞a
D　[∵a2＝8＋，
c2＝8＋，
∴b2＞c2＞a2，
又a＞0，b＞0，c＞0，
∴b＞c＞a．故选D．]
12．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d．已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球的质量由大到小的排列顺序是(　　)
A．d＞b＞a＞c 　 B．b＞c＞d＞a
C．d＞b＞c＞a 　 D．c＞a＞d＞b
A　[由a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c得2a＋b＋d＞2c＋b＋d，
即2a＞2c，即a＞c．所以b＜d，
又a＋c＜b．∴a＜b，综上可得d＞b＞a＞c．故选A．]
13．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
3≤z≤8　[∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
－2≤－(x＋y)≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z的取值范围是3≤z≤8．]
14．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a；⑤＞这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．
②④　[若x＞y，a＞b，则－x＜－y，
∴a－y＞b－x．
若x＞y，a＞b，则－b＞－a，
∴x－b＞y－a，
若x＞y，a＞b，则推不出ax＞by．
若x＞y，a＞b，推不出＞．
综上，①③⑤错误，②④正确．]
15．若a>b>0，c|c|．
(1)求证：b＋c>0．
(2)求证：<．
(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<所求式<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．
[解]　(1)证明：因为|b|>|c|，且b>0，c<0，所以b>－c，所以b＋c>0．
(2)证明：因为c－d>0．
又a>b>0，所以由同向不等式的可加性可得a－c>b－d>0，
所以(a－c)2>(b－d)2>0，
所以0<<，①
因为a>b＞0，0＞d>c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d>b＋c，所以a＋d>b＋c>0，②
所以由不等式同向同正可乘性，
①②相乘得<．
(3)因为a＋d>b＋c>0，0<<，所以<<或<<．(只要写出其中一个即可)
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