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14.3角平分线 第1课时 教学设计
一、内容与内容解析
（一）教学内容
本节课是人教版初中数学八年级（上册）第十四章“全等三角形”的第三节。内容包括角平分线性质定理的逆定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上）；角平分线性质定理与逆定理的区别与联系；角平分线性质定理及逆定理的综合应用（如证明角相等、线段相等，确定角平分线上的点）。
（二）教学内容解析
地位与作用：本节是角平分线第一课时的延续，逆定理是对“角平分线”的双向刻画（性质：“在平分线上→距离相等”；逆定理：“距离相等→在平分线上”）。它既是全等三角形判定的进一步应用，也是后续学习“轴对称图形性质”“三角形内心”的基础，同时为解决“点的位置判定”“角平分线作图依据”等问题提供理论支撑，是几何推理中“双向思维”培养的关键内容。
核心要点：重点是理解并掌握角平分线性质定理的逆定理，能区分并综合运用原定理与逆定理；难点是逆定理的证明思路（构建全等三角形时辅助线的添加），以及在复杂图形中根据需求选择“原定理”或“逆定理”解决问题。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】探索并证明角平分线性质定理的逆定理。
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1、能复述角平分线性质定理的逆定理；会用全等三角形证明逆定理；能区分原定理与逆定理的条件和结论，综合运用两者解决简单几何问题。
2、通过“猜想—证明—辨析—应用”的过程，培养逆向思维能力、逻辑推理能力，体会“双向推理”的数学思想。
3、感受几何定理的对称性，激发对逻辑推理的兴趣，培养严谨的思维习惯和规范的证明书写能力。
（二）教学目标解析
1、文字表述：能准确说出“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”；
2、符号表述：若PD\perp OA于D，PE\perp OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）。
3、区分定理：能明确原定理“条件是点在角平分线上，结论是距离相等”；逆定理“条件是距离相等，结论是点在角平分线上”，即两者条件与结论互换。
4、应用定理：能根据问题需求选择定理（如已知“点在角平分线上”，用原定理证“距离相等”；已知“距离相等”，用逆定理证“点在角平分线上”）。
三、学生学情分析
已有基础
已掌握角平分线性质定理（原定理）的内容、证明及简单应用，明确“点在角平分线上→距离相等”的逻辑关系。 已熟练掌握全等三角形的判定定理（AAS、HL等）和性质，具备证明“角相等”“点在角平分线上”的理论基础。 已理解“点到角两边的距离”的概念，能准确识别图形中的垂线段。
存在困难
逆向思维薄弱：难以从原定理的“结论”出发，猜想逆定理的“条件”，对“逆命题”的构建缺乏主动意识。证明思路局限：证明逆定理时，易忽略“连接角的顶点与点P”这一辅助线，无法通过全等三角形证“角相等”（即“点在角平分线上”）。 定理混淆：应用时易混淆原定理与逆定理的条件和结论（如已知“距离相等”，却误用原定理推导）。
综合应用障碍：在需要同时运用原定理和逆定理的问题中，无法根据图形条件判断“该用哪个定理”，缺乏“双向推理”的思维习惯。
基于上述分析，确定本节课的教学难点为：
【教学难点】能熟练运用角平分线性质定理的逆定理解决问题。
四、教学策略分析
1. 逆向猜想引导法：从原定理的“条件与结论互换”入手，通过提问“如果把原定理的结论当条件，条件当结论，这个命题是否成立？”，引导学生自主猜想逆定理，培养逆向思维
2. 问题链驱动法：针对逆定理证明设计递进式问题，如“要证点P在∠AOB的平分线上，需证什么？”（∠DOP=∠EOP）→“如何证角相等？”→“需要添加什么辅助线？”（连接OP），帮助学生构建证明思路。
3. 对比辨析法：通过表格对比原定理与逆定理的“条件、结论、图形语言、符号表述、作用”，明确两者区别与联系，避免混淆。
4. 案例分析法：结合典型综合题（如“证明两条角平分线交于一点”），引导学生分析“何时用原定理，何时用逆定理”，总结应用规律（已知“点在平分线上”用原定理，已知“距离相等”用逆定理）。
五、教学过程分析
（一）情境引入
提问：“上节课我们学了角平分线的性质定理，谁能复述一下？它的条件和结论分别是什么？”（学生回答后，教师板书原定理的条件、结论、符号表述）：
原定理：条件（点在角平分线上，且到两边的连线垂直）→ 结论（垂线段相等）；
设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。
（二）主动参与、感悟新知
活动一：角平分线的判定定理
猜想证明:已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
【归纳】角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
【注意】 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.
几何表示：如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证:
(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等；
(2)△ABC的三条角平分线交于一点.
分析 (1)由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等. (2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上.
证明 (1)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
(2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上，
∴△ABC的三条角平分线交于一点.
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
1．如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ．
2．如图，于点F，于点E，，和相交于点D．求证：平分．
3．如图，，于，于，则①；②；③点在的角平分线上，其中正确的结论是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证:FD平分∠BFE.
5.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点 P，求证:
(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；
(2)点P在∠A的平分线上.

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