资源简介

2.2立方根 教学设计
1.教学内容
本节课选自苏科版2024八年级上册第二章第2节《立方根》，核心知识点为“立方根”的定义及运算。内容围绕立方根的概念引入、与立方的互逆关系以及简单实际问题的应用展开，强调了正数、负数、零的立方根及开立方方法。
2.内容解析
通过类比平方根，学生能理解立方根“若x =a，则x是a的立方根”的定义；在此基础上，理解开立方与立方的逆运算关系；运用具体例题探索立方根的运算规律与应用价值，进一步体会立方根在度量几何体、求解方程及实际问题中的作用。
1.教学目标
（1）了解立方根的定义，会用根号表示一个数的立方根，能说出平方根与立方根的区别与联系。
（2）知道开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求千以内完全立方数的立方根，体会立方根的唯一性。
（3）能用立方根解决一些简单的实际问题。
2.目标解析
目标1要求学生在概念层面准确把握立方根与平方根区别；目标2强调熟练进行数值计算并认知三次方与三次根的对应关系；目标3关注运用立方根建模解决生活或几何问题，培养综合运用数学思维的能力。
3.重点难点
教学重点：立方根的定义与运算规律。
教学难点：立方根与立方的互逆运算在现实情境中的正确运用。
学生已具备平方根与整数指数运算的基础，对“互为逆运算”有一定认知。学习本节时，理解立方根概念较易，但将实际问题转化为立方根方程并准确运算相对困难，需要结合例题与实践反复强化。
创设情景，引入新课
师：同学们，已知某种植物细胞近似看作棱长为1的正方体，当这个细胞的体积增大1倍时，它的“棱长”会是多少？
师：请类比平方根的概念，说说你的猜想。
生：棱长3＝体积，13＝1，x3＝2，x＝？
猜想当 时，是的立方根，记作。
【设计意图】通过生活中“细胞体积增大”的情境创设，引导学生自然地思考并提出立方根的概念，激发学习兴趣并明确本节课要探究的方向。
探究点1：立方根的定义与性质
1. 概念引入
师：根据刚才的猜想，我们总结：
一般地，如果x3＝a，那么x叫作a的立方根(cube root)，也称为三次方根．a的立方根记作“”，读作“三次根号a”．
求一个数的立方根的运算叫作开立方 (extraction of cubic root).
开立方与立方互为逆运算
师：可以通过立方运算来求一个数的立方根，检验x是不是a的立方根，只要看x3是不是等于a即可，可以试一试。在下图中填空：
生：分组讨论、填写并对比上图，体会开平方与开立方在“被开方数”“解的个数”上的差别。
师：这与开平方既相似又有区别。请大家比较开平方与开立方有何不同？
生：分组讨论、填写并对比上图，体会立方根与平方根的区别与联系.
总结立方根的性质：
正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。
2. 典例分析：
例1： 下列各数有立方根吗？如果有，求出它们的立方根：
(1) 64； (2)－； (3) 0.027； (4) 9； (5) 0．
解：5个数都有立方根．
(1) ∵ 43＝64， ∴ 64的立方根是＝4；
(2)∵ ＝－，∴－的立方根是 ＝－；
(3) ∵ 0.33＝0.027， ∴ 0.027的立方根是＝0.3；
(4) 9的立方根是；
(5) 0的立方根是0．
【设计意图】通过具体的例题，让学生亲身体验“正数—正根、负数—负根、0—根为0”的立方根性质，突破概念理解的难点，培养数形结合与抽象概括能力。
探究点2：立方根的计算关系式
1. 问题引入
根据立方根的定义，，等于多少？
你有什么猜想？你能说明理由吗？
解：根据立方根的定义，得，．
猜想：a．
理由如下：根据立方根的定义，如果x3＝a ，那么x＝，
把x＝代入得，＝a .
2. 新知巩固
填空：
(1) ＝_______；＝_______；
(2) ＝_______；＝_________；
(3) ＝_________；＝_______.
观察上面各式，你有什么发现？
总结：立方根中三个重要的关系式
＝a
()3＝a
＝
探究点3：立方根在几何与实际问题中的应用
1. 问题引入
师：在几何中，球体积公式为 ，正方体体积公式为 。如果我们知道球体或正方体的体积，能否反推出其半径或棱长？
生：可以通过开立方来求出半径或棱长。
2. 典例分析
例2 有一个球形容器，容积为 ，求它的半径（壁厚忽略不计）。
解：设球的半径为rm．
由题意，得：πr3＝36π，
解得： r＝3(m)．
答：这个球形容器的半径为3m．
让学生观察该过程：先根据“体积—半径”关系式列出方程，再通过开立方求解。
【设计意图】通过球的体积与正方体的体积等实际情境问题，感受立方与开立方在实际中的应用价值；再通过含平方根、立方根的综合题，帮助学生内化“立方根”的运算方法和方程思想，提升运用所学知识解决问题的能力。
例3（思维提升）已知 的平方根是 ， 的立方根是 。
（1）求 的值；
（2）求 的算术平方根。
解：(1)由题意得，解得，
(2)由(1)可得a＋b＝16，
∴a＋b的算术平方根为4.
【设计意图】旨在将平方根与立方根相结合，通过方程组的综合应用进一步强化学生对根式运算及综合求解的理解与运用，锻炼学生的推理与表达能力，并为后续复杂问题奠定基础。
. 求下列各数的立方根：
解： 的立方根是 ;
0.001 的立方根是 ;
的立方根 ;
的立方根是 ;
的立方根是
求下列各数的立方根：
解：的立方根是 ;
的立方根 ;
的立方根是 ;
的立方根是 ;
的立方根是 .
求下列各式中的 ：
（1）
（2）
（3）
（4）.
解：（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
两个球形探空气球的体积分别约为 和 ，试计算它们的半径比（球的体积公式：，其中 为球的半径).
解：由球的体积公式可知：
.
故它们的半径比是 。
如果一个正方体的体积扩大到原来的 倍，那么它的棱长扩大到原来的多少倍？
解：设原棱长为 ，扩大后的棱长为 。由正方体的体积公式得：
解得：
答：棱长扩大到原来的 倍。
【设计意图】题目设置尊重认知规律，循序渐进，既训练学生的符号操作与计算，又提升空间思维与应用意识。
1. 问题引入
o 细胞体积倍增与棱长问题
o 类比平方根，引出立方根猜想
2. 概念引入
o 立方根定义：x =a → x=
o 立方根记号及表示
o 立方与开立方互为逆运算
3. 性质总结
o 正数、零、负数的立方根
o 核心关系式：＝a；()3＝a；＝等
4. 例题精讲
o 例题1：
o 例题2：
o 例题3：
5. 课堂小结
1. 课本配套练习：教材2.2节对应习题，完成求立方根题目；
2. 拓展探究：
o 选做：设计一个立方体物品尺寸翻倍的生活实例并计算新旧边长（或体积）的关系；
o 讨论交流：对比立方与平方的运算特点，分析在实际问题中可能的应用场景。
本节课围绕“立方根”概念展开，学生对立方根与平方根的区别与联系有了较清晰的认识，能认定正负数开立方的结果并运用于常见方程求解。但在列方程并应用于复杂情境（如建模题）时，一些学生仍显思路不畅，需要更多引导帮助他们理解如何将实际问题转化为x =a的形式。后期可增加小组合作时间，通过探究更多不同类型的体积或长度应用题，强化学生对开立方这一逆运算的理解与灵活运用，提升综合解题能力。

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