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1.1　集合
1.1.1　集合
第1课时　集合与元素
学习任务 核心素养
1．通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点) 4．了解集合的分类和空集的含义． 1．通过对集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养． 2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养．
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的(如图所示)；三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；到目前为止，我们学的数可以分为有理数和无理数，……
你还可以举出一些数学中有关分类的实例吗？
知识点1　元素与集合的相关概念
(1)在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合或集，这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
(2)集合是数学中最基本的概念，具有以下基本属性：
①同一集合中的元素是__________的．
②集合中的元素是__________．亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的．
③集合中的元素__________．
(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三个基本属性，则这组对象也就不能构成集合．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)接近于0的数可以组成集合． (　　)
(2)分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的． (　　)
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． (　　)
知识点2　元素与集合的关系
(1)属于：若S是一个集合，a是S的一个元素．记作a∈S，读作“a属于S”．
(2)不属于：若a不是集合S的元素，记作a S(或a|∈S，a?S)，读作“a不属于S”．
2．已知集合A中的元素x满足x<1，则下列各式正确的是(　　)
A．3∈A　　 B．1∈A
C．0∈A D．－1 A
知识点3　常见的数集及表示符号
数集 自然数集 __________ 有理数集 __________
符号 __________ Z __________ R
通常用R＋表示全体正实数组成的集合；类似的有R－，Z＋，N＋，Q－，…．
3．用“∈”或“ ”填空：
________N；－3________Z；________Q；0________；________R．
知识点4　集合的分类
(1)有限集(或有穷集)：元素个数__________的集合．
(2)无限集(或无穷集)：元素__________的集合．
(3)空集：__________的集合，记作__________，空集也是有限集．
4．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于10 000的正整数构成的集合是无限集． (　　)
(2)不等式组的解集是有限集． (　　)
(3)方程x2＋1＝0的解构成的集合是空集． (　　)
类型1　集合的基本概念
【例1】　下列对象中能构成一个集合的是哪些？说明你的理由．
(1)你所在班级中的全体同学；
(2)你所在班级中比较高的同学；
(3)你所在班级中比较胖的同学；
(4)你所在班级中体重超过75 kg的同学；
(5)学习成绩比较好的同学．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
[跟进训练]
1．(多选题)下列各组对象能组成集合的是(　　)
A．中国古典文学四大名著
B．中国最美乡村
C．清华大学2025年入校的全体学生
D．的近似值的全体
类型2　元素与集合的关系
【例2】　(1)下列所给关系正确的个数是(　　)
①π∈R；② Q；③0∈N＋；④|－5| N＋．
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为(　　)
A．2 B．2或4
C．4 D．0
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
[跟进训练]
2．若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
类型3　集合中元素的基本属性及应用
【例3】　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
以集合中元素的确定性和互异性为切入点，思考求解a值的方法．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根据集合中元素的基本属性求值的3个步骤
[跟进训练]
3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x．
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选题)下列给出的对象中，不能构成集合的是(　　)
A．一切很大的数 B．好心人
C．漂亮的小女孩 D．不小于3的自然数
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)
A．3.14 B．－5
C．
4．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“ ”)．
5．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的值为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．集合中的元素有哪些基本属性？判断一组对象能否构成集合的关键是什么？
2．元素与集合间存在哪些关系？
3．学习了哪些常用数集？如何用字母表示？
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1.1.1　集合
第1课时　集合与元素
学习任务 核心素养
1．通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点) 4．了解集合的分类和空集的含义． 1．通过对集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养． 2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养．
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类．例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的(如图所示)；三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；到目前为止，我们学的数可以分为有理数和无理数，……
你还可以举出一些数学中有关分类的实例吗？
知识点1　元素与集合的相关概念
(1)在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合或集，这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
(2)集合是数学中最基本的概念，具有以下基本属性：
①同一集合中的元素是互不相同的．
②集合中的元素是确定的．亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的．
③集合中的元素没有顺序．
(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
[提示]　(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．
(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三个基本属性，则这组对象也就不能构成集合．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)接近于0的数可以组成集合． (　　)
(2)分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的． (　　)
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
知识点2　元素与集合的关系
(1)属于：若S是一个集合，a是S的一个元素．记作a∈S，读作“a属于S”．
(2)不属于：若a不是集合S的元素，记作a S(或a|∈S，a?S)，读作“a不属于S”．
2．已知集合A中的元素x满足x<1，则下列各式正确的是(　　)
A．3∈A　　 B．1∈A
C．0∈A D．－1 A
C　[∵0<1，∴0是集合A中的元素，∴0∈A，故选C．]
知识点3　常见的数集及表示符号
数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N Z Q R
通常用R＋表示全体正实数组成的集合；类似的有R－，Z＋，N＋，Q－，…．
3．用“∈”或“ ”填空：
________N；－3________Z；________Q；0________；________R．
[答案]　 　∈　 　 　∈
知识点4　集合的分类
(1)有限集(或有穷集)：元素个数有限的集合．
(2)无限集(或无穷集)：元素无限多的集合．
(3)空集：没有元素的集合，记作 ，空集也是有限集．
4．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于10 000的正整数构成的集合是无限集． (　　)
(2)不等式组的解集是有限集． (　　)
(3)方程x2＋1＝0的解构成的集合是空集． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
类型1　集合的基本概念
【例1】　下列对象中能构成一个集合的是哪些？说明你的理由．
(1)你所在班级中的全体同学；
(2)你所在班级中比较高的同学；
(3)你所在班级中比较胖的同学；
(4)你所在班级中体重超过75 kg的同学；
(5)学习成绩比较好的同学．
[解]　(1)班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合．
(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
(3)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
(4)“体重超过75 kg”是确定的，所以可以构成一个集合．
(5)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
　判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
[跟进训练]
1．(多选题)下列各组对象能组成集合的是(　　)
A．中国古典文学四大名著
B．中国最美乡村
C．清华大学2025年入校的全体学生
D．的近似值的全体
AC　[B选项中“最美”的标准不明确，不符合确定性，不能组成集合，D选项中“的近似值”的标准不确定，不能构成集合．故选AC．]
类型2　元素与集合的关系
【例2】　(1)下列所给关系正确的个数是(　　)
①π∈R；② Q；③0∈N＋；④|－5| N＋．
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为(　　)
A．2 B．2或4
C．4 D．0
(1)B　(2)B　[(1)①π是实数，所以π∈R正确；
②是无理数，所以 Q正确；③0不是正整数，所以0∈N＋错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5| N＋错误．故选B．
(2)集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A，6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，
所以a＝4，
综上所述，a＝2或4．故选B．]
　判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
[跟进训练]
2．若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
0，1，2　[∵∈N，
∴3－x＝1或2或3或6，
即x＝2或1或0或－3．
又x∈N，故x＝0或1或2．
即集合A中的元素为0，1，2．]
类型3　集合中元素的基本属性及应用
【例3】　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
以集合中元素的确定性和互异性为切入点，思考求解a值的方法．
[解]　由题意可知，a＝1或a2＝a，
(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1．
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0．
[母题探究]
本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
[解]　由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1．
　根据集合中元素的基本属性求值的3个步骤
[跟进训练]
3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x．
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
[解]　(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，
且x≠x2－2x，x2－2x≠3．
解得x≠－1且x≠0，x≠3．
(2)∵－2∈A，
∴x＝－2或x2－2x＝－2．
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴x＝－2．
1．(多选题)下列给出的对象中，不能构成集合的是(　　)
A．一切很大的数 B．好心人
C．漂亮的小女孩 D．不小于3的自然数
ABC　[“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A，B，C中的元素均不能构成集合．故选ABC．]
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　[由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．]
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)
A．3.14 B．－5
C．
D　[由题意可知，a∈R且a Q，所以a是无理数．故选D．]
4．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“ ”)．
∈　[由集合相等的定义可知，1∈B．]
5．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的值为________．
－1或－4　[∵3∈A，∴a2－a＋1＝3或|a＋1|＝3．
①若a2－a＋1＝3，则a＝2或a＝－1．
当a＝2时，|a＋1|＝3，此时集合A中含有两个3，因此应舍去．
当a＝－1时，|a＋1|＝0≠3，满足题意．
②若|a＋1|＝3，则a＝－4或a＝2(舍去)．
当a＝－4时，a2－a＋1＝21≠3，满足题意．
综上可知a＝－1或a＝－4．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．集合中的元素有哪些基本属性？判断一组对象能否构成集合的关键是什么？
[提示]　集合中的元素有确定性、互异性和无序性，其中确定性是判断一组对象能否构成集合的关键．
2．元素与集合间存在哪些关系？
[提示]　元素与集合间只有“属于”和“不属于”两种关系．
3．学习了哪些常用数集？如何用字母表示？
[提示]　自然数集(N)，整数集(Z)，有理数集(Q)和实数集(R)．
课时分层作业(一)　集合与元素
一、选择题
1．(多选题)下列各组对象能构成集合的是(　　)
A．拥有手机的人 B．2025年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于π的正整数
ACD　[B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以B不符合．故选ACD．]
2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列正确的是(　　)
A．∈M B．0 M
C．1∈M D．－∈M
D　[>1，故A错误；－2<0<1，故B错误；1不小于1，故C错误；－2<－<1，故D正确．]
3．(多选题)下列关系正确的有(　　)
A．∈R B． R
C．|－3|∈N D．|－|∈Q
[答案]　AC
4．已知集合S中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
D　[因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形．故选D．]
5．下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是(　　)
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
A　[由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而选项B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A．]
二、填空题
6．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a A，则实数a的取值范围是________．
[答案]　a<2
7．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若A中元素是a，b，则a＋b＝________．
2　[由题意可知，a，b是方程x2－2x－3＝0的两个根，∴a＋b＝2．]
8．用符号“∈”或“ ”填空：
(1)设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B，1＋________B；
(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C，5________C；
(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1__________D，(－1，1)__________D．
(1) 　∈　(2) 　∈　(3) 　∈　[(1)∵2＝>，∴2 B；
∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，
∴1＋<，
∴1＋∈B．
(2)∵n是正整数，
∴n2＋1≠3，∴3 C；
当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C．
(3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1是数，∴－1 D；
又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D．]
三、解答题
9．已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
[解]　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1．
当a＝1时，集合A有重复元素，
所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1．
综上知，a＝－1．
10．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．
[解]　因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0．
(1)当x＝0时，x2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1．
由(1)知x＝0舍去．
当x＝1时，集合A，B中的元素都是0，1，满足互异性．
综上知，x＝1，y＝0．
11．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含元素(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
A　[当x>0时，x＝|x|＝，－＝－x<0，此时集合共有2个元素，
当x＝0时，x＝|x|＝＝－＝－x＝0，此时集合共有1个元素，
当x<0时，＝|x|＝－x，－＝－x，此时集合共有2个元素．综上，此集合最多有2个元素．
故选A．]
12．(多选题)集合A有且只有2个元素构成，且满足“a∈A 且4－a∈A，a∈N＋且4－a∈N＋”，则实数a的值可以是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
AC　[因为a∈A且4－a∈A，a∈N＋且4－a∈N＋，
若a＝1，则4－a＝3，此时A满足要求；
若a＝2，则4－a＝2，此时A含1个元素不满足要求．
若a＝3，则4－a＝1，此时A满足要求；
若a＝4，则4－a＝0 N＋，此时A不满足要求．故选AC．]
13．已知集合P中元素x 满足：x∈N，且26　[∵x∈N，2∴结合数轴(图略)知a＝6．]
14．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则的可能取值所组成的集合中元素的个数为________，所有元素的和为________．
3　0　[当a，b同正时，＝＝1＋1＝2；
当a，b同负时，＝＝－1－1＝－2；
当a，b异号时，＝0．
∴的可能取值所组成的集合中元素共有3个，且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0．]
15．已知数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素．
[解]　根据题意，由2∈A可知，＝－1∈A；由－1∈A可知，＝∈A；由∈A可知，＝2∈A．
故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，，2．
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