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第2课时　表示集合的方法
学习任务 核心素养
1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点) 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点) 3．能正确使用区间表示集合． 1．通过学习描述法表示集合，培养数学抽象的素养． 2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养．
四大名著是指中国古典文学名著《三国演义》(作者罗贯中)、《水浒传》(作者 施耐庵)、《西游记》(作者 吴承恩)、《红楼梦》(作者曹雪芹、高鹗)．四大名著是中国古典文学的精品，承载着中国文化的精髓．中国古典四大名著能组成集合吗？如何表示该集合？
知识点1　列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来，这种表示集合的方法叫作列举法．
1．方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　)
A．{(－2，2)} B．{－2，2}
C．{－2} D．{2}
B　[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2，2}．]
以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？
(1)满足x<1的所有实数组成的集合A；
(2)所有有理数组成的集合Q．
知识点2　描述法
(1)定义：把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这种表示法叫作描述法．
(2)书写方法：通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件．
例如，所有偶数的集合表示为E＝{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
1．(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
[提示]　(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5．
(2){x|x<5，x∈R}．
用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集，区分的关键是代表元素．如{x|x>3，x∈R}是数集，{(x，y)|y＝x＋1}是点集．
2．(1)用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　)
A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}
(2)用描述法表示不等式4x－5<7的解集为______．
(1)C　(2){x|x<3}　[(1)该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，故选C．
(2)用描述法可表示为{x|x<3}．]
知识点3　区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤b} {x|x＜b}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b)
2．(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
[提示]　(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
3．(1){x|10≤x≤100}用区间表示为____________；
(2){x|x>1}用区间表示为________．
(1)[10，100]　(2)(1，＋∞)　[结合区间的定义可知(1)为[10，100]，(2)为(1，＋∞)．]
类型1　用列举法表示集合
【例1】　【链接教材P4例3】
用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．
[解]　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．
(2)小于8的质数有2，3，5，7，
所以B＝{2，3，5，7}．
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，
所以C＝．
(4)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，
所以D＝{(1，4)}．
【教材原题·P4例3】
例3　用列举法表示下列集合：
(1)由方程x2－1＝0的所有实数解构成的集合S；
(2)平方小于225的所有素数构成的集合P．
[解]　(1)S＝{1，－1}；
(2)平方小于225的正整数有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，于是平方小于225的所有素数构成的集合P＝{2，3，5，7，11，13}．
　用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用大括号括起来．
提醒：大括号“{　}”含有“所有”“全体”的含义，因此实数集R不能表示成{R}．
[跟进训练]
1．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N．
[解]　(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1，0，1，2，故A＝{－2，－1，0，1，2}．
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，
∴M＝{2，3}．
(3)解方程组得
∴B＝{(3，2)}．
(4)15的正约数有1，3，5，15，故N＝{1，3，5，15}．
类型2　用描述法表示集合
【例2】　【链接教材P5例4】
用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
[解]　(1){x∈R|1(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．
(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．
【教材原题·P5例4】
例4　选择适当方法表示下列集合：
(1)由大于20且小于30的所有实数组成的集合A；
(2)由方程x2＋y2＝4的所有整数解(x，y)组成的集合B．
[解]　(1)用描述法：A＝{x∈R|20(2)用列举法：B＝{(0，2)，(0，－2)，(2，0)，(－2，0)}；
用描述法：B＝{(x，y)|x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z}．
　用描述法表示集合的2个步骤
提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．
[跟进训练]
2．用描述法表示下列集合：
(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－4上的点组成的集合；
(3)使函数y＝有意义的实数x组成的集合．
[解]　(1){(x，y)|x∈R，y＝0}．
(2){(x，y)|y＝x2－4}．
(3){x|x≠1}．
类型3　表示集合的方法的综合应用
【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
明确集合A的含义，由此转化成代数问题，即方程解的个数问题．
[解]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}．
[母题探究]
本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．
[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1．
综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．
　集合与含有参数的方程的综合问题
解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
[跟进训练]
3．若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．(用集合表示)
　[当a＝0时，方程有实数解x＝－1，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝1－4a≤0，解得a≥．
故实数a的取值范围为．]
类型4　区间的应用
【例4】　【链接教材P5例5】
把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1[解]　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．
(2){x|x<0}＝(－∞，0)．
(3){x|－1【教材原题·P5例5】
例5　用区间表示下列集合：
(1){x∈R|－2≤x≤4}；
(2){t∈R|t(3){u∈R|u≥0}．
[解]　(1){x∈R|－2≤x≤4}＝[－2，4]；
(2){t∈R|t(3){u∈R|u≥0}＝[0，＋∞)．
　用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
[跟进训练]
4．已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是________．
(－3，2)　[由题意可知a2＋a＋1<7，
即a2＋a－6<0，
令函数y＝a2＋a－6，由函数图象(图略)可知，
当y＜0时，－3所以实数a的取值范围是(－3，2)．]
1．集合{x∈N|x－3<2}的另一种表示法是(　　)
A．{0，1，2，3，4}
B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5}
D．{1，2，3，4，5}
A　[{x∈N|x－3<2}＝{x∈N|x<5}＝{0，1，2，3，4}．故选A．]
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　)
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3D　[由题意可知，满足题设条件的只有选项D．故选D．]
3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)
A．{1，－2}
B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2，1)}
D．{(1，－2)}
D　[由得∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]
4．大于－2小于3的整数用列举法表示为________；用描述法表示为________．
{－1，0，1，2}　{x|－25．(教材P6练习T3改编)用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2[答案]　(1)[1，＋∞)　(2)(2，4]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？
[提示]　列举法和描述法．
2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？
[提示]　(1)前两个集合为数集，后一个集合为点集；
(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自变量x的取值组成的集合；
{y|y＝x＋1，x∈R}表示因变量y的取值组成的集合；
{(x，y)|y＝x＋1}表示函数y＝x＋1上的点(x，y)组成的集合．
3．区间可以表示任何集合吗？区间[a，b]中a，b满足什么条件？
[提示]　区间不能表示所有集合；区间[a，b]中a，b满足a，b∈R且a课时分层作业(二)　表示集合的方法
一、选择题
1．(多选题)已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式成立的是(　　)
A．0∈A B．1.5 A
C．－1 A D．6∈A
ABC　[A＝{x∈N|x<6}＝{0，1，2，3，4，5}．
故选ABC．]
2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为(　　)
A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}
C．{x2－3x＋2＝0} D．{1，2}
D　[解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1，2}．]
3．已知区间[2a－1，11]，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，6) B．(6，＋∞)
C．(1，6) D．(－1，6)
A　[由题意可知，2a－1<11，解得a<6．]
4．(多选题)方程组的解集可表示为(　　)
A．
B．
C．(2，1)
D．{(2，1)}
ABD　[由得故结合选项可知ABD均正确．]
5．下列集合的表示方法正确的是(　　)
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
D　[选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．]
二、填空题
6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________．
{x|x＝2n，n∈N＋}　[正整数中所有的偶数均能被2整除．]
7．已知集合A＝，用列举法表示集合A＝________．
{1，2，4}　[∵m∈N，且y＝∈N，
∴m＝1，2，4．
∴A＝{1，2，4}．]
8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________．
{1，3}　[由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，
所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，
即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．]
三、解答题
9．(源自人教A版教材)试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B．
[解]　(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0．
因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
方程x2－2＝0有两个实数根，－，因此，用列举法表示为A＝{，－}．
(2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为
B＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．
10．已知集合A＝．
(1)用列举法表示集合A；
(2)求集合A的所有元素之和．
[解]　(1)由∈Z，得3－x＝±1，±2，±4．解得x＝－1，1，2，4，5，7．
又∵x∈Z，
∴A＝{－1，1，2，4，5，7}．
(2)由(1)得集合A中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18．
11．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
B　[当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8．由集合元素的互异性知M中共有4个元素．]
12．(多选题)已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为(　　)
A．2 B．－2
C．－3 D．1
AC　[因为2∈M，
所以3x2＋3x－4＝2或x2＋x－4＝2．
若3x2＋3x－4＝2，则x＝－2或x＝1．当x＝－2或x＝1时，x2＋x－4＝－2，不满足集合中元素的互异性，所以舍去．
若x2＋x－4＝2，则x＝－3或x＝2．
当x＝－3或x＝2时，3x2＋3x－4＝14，满足集合中元素的互异性．
综上所述，x＝－3或x＝2．故选AC．]
13．已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________．
{0，1}　[∵x∈A，
∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；
当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1．
∴B＝{0，1}．]
14．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若1∈A，则A用列举法可表示为________；若A中有且只有一个元素，则a的值组成的集合B＝________．
　{0，1}　[若1∈A，则1是方程ax2＋2x＋1＝0的实数根，
∴a＋2＋1＝0，解得a＝－3，
∴方程为－3x2＋2x＋1＝0，
解得x＝1或x＝－，
∴A＝．
当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0，即2x＋1＝0，
解得x＝－，此时A＝；
当a≠0时，若集合A中有且只有一个元素，则方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，
∴解得a＝1，此时A＝{－1}．
综上，当a＝0或a＝1时，集合A中有且只有一个元素，∴a的值组成的集合B＝{0，1}．]
15．已知U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3 A，则a2 A；③若a3∈A，则a4 A．求集合A．
[解]　假设a1∈A，则a2∈A．又若a3 A，则a2 A，∴a3∈A，与集合A中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，
∴a1 A．
假设a4∈A，则a3 A，则a2 A，且a1 A，与集合A中有且仅有两个元素不符，
∴假设不成立，∴a4 A．
故集合A＝{a2，a3}，经检验知符合题意．
13/13第2课时　表示集合的方法
学习任务 核心素养
1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点) 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点) 3．能正确使用区间表示集合． 1．通过学习描述法表示集合，培养数学抽象的素养． 2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养．
四大名著是指中国古典文学名著《三国演义》(作者罗贯中)、《水浒传》(作者 施耐庵)、《西游记》(作者 吴承恩)、《红楼梦》(作者曹雪芹、高鹗)．四大名著是中国古典文学的精品，承载着中国文化的精髓．中国古典四大名著能组成集合吗？如何表示该集合？
知识点1　列举法
把集合中的元素__________出来，并用__________括起来，这种表示集合的方法叫作列举法．
1．方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　)
A．{(－2，2)} B．{－2，2}
C．{－2} D．{2}
以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？
(1)满足x<1的所有实数组成的集合A；
(2)所有有理数组成的集合Q．
知识点2　描述法
(1)定义：把集合中元素__________，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这种表示法叫作描述法．
(2)书写方法：通常在大括号里先写出集合元素的一般__________或__________，再画一条__________，然后在__________后面列出这些元素要满足的__________．
例如，所有偶数的集合表示为E＝{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
1．(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[提示]　(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5．
(2){x|x<5，x∈R}．
用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集，区分的关键是代表元素．如{x|x>3，x∈R}是数集，{(x，y)|y＝x＋1}是点集．
2．(1)用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　)
A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}
(2)用描述法表示不等式4x－5<7的解集为______．
知识点3　区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 __________
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤b} {x|x＜b}
符号 __________ [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b)
2．(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(1){x|10≤x≤100}用区间表示为____________；
(2){x|x>1}用区间表示为________．
类型1　用列举法表示集合
【例1】　【链接教材P4例3】
用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用大括号括起来．
提醒：大括号“{　}”含有“所有”“全体”的含义，因此实数集R不能表示成{R}．
[跟进训练]
1．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　用描述法表示集合
【例2】　【链接教材P5例4】
用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用描述法表示集合的2个步骤
提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．
[跟进训练]
2．用描述法表示下列集合：
(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－4上的点组成的集合；
(3)使函数y＝有意义的实数x组成的集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　表示集合的方法的综合应用
【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
明确集合A的含义，由此转化成代数问题，即方程解的个数问题．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　集合与含有参数的方程的综合问题
解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
[跟进训练]
3．若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．(用集合表示)
类型4　区间的应用
【例4】　【链接教材P5例5】
把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
[跟进训练]
4．已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是________．
1．集合{x∈N|x－3<2}的另一种表示法是(　　)
A．{0，1，2，3，4}
B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5}
D．{1，2，3，4，5}
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　)
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－33．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)
A．{1，－2}
B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2，1)}
D．{(1，－2)}
4．大于－2小于3的整数用列举法表示为________；用描述法表示为________．
5．(教材P6练习T3改编)用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？
2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？
3．区间可以表示任何集合吗？区间[a，b]中a，b满足什么条件？
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