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1.2.2　充分条件和必要条件
第1课时　充分条件与必要条件
学习任务 核心素养
1．理解充分条件、必要条件的概念．(重点、易混点) 2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系．(重点) 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(难点) 1．通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养．
“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？
(1)不断更新的数据让人们理由更加充分；
(2)做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密；
(3)积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会；
(4)文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质．
知识点　充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p__________q p__________q
条件关系 p是q的__________条件 q是p的__________条件 p不是q的__________条件 q不是p的__________条件
充分条件就是“有之必成立，无之未必成立”，必要条件就是“有之未必成立，无之必不成立．”
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件． (　　)
(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． (　　)
(3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立． (　　)
(4)“x>1”是“x>0”的充分条件． (　　)
2．下列表述形式与“p q”是等价的有________．(填序号)
①p是q的充分条件；②q的充分条件是p；③q是p的必要条件；④p的必要条件是q．
类型1　充分条件的判断
【例1】　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若a∈Q，则a∈R；
(2)若x>1，则x>2；
(3)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；
(4)若△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p q问题．
(2)除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A B，则p是q的充分条件．
[跟进训练]
1．设x∈R，则使x>3成立的一个充分条件是(　　)
A．x>4　　 B．x>0
C．x>2 D．x<2
类型2　必要条件的判断
【例2】　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若a是1的平方根，则a＝1；
(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12；
(3)若a是无理数，则a是无限小数；
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立．若p q为真，则p是q的充分条件，若q p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A B，则甲是乙的必要条件．
[跟进训练]
2．下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)在△ABC中，p：B>C；q：AC>AB；
(2)p：|x|>2；q：x>2．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　充分条件与必要条件的应用
【例3】　(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值；
(2)已知M＝{x|a－1判断p与q的推出关系，由此思考采用什么方式建立待求参数的关系式．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[跟进训练]
3．已知p：实数x满足3a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列选项是“a>1”的必要条件的是(　　)
A．a<2 B．a>2
C．a<0 D．a>0
2．若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是(　　)
A．0 B．2
C．4 D．16
3．(教材P19练习T1改编)在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　)
A．四边形是平行四边形且对角线相等
B．四边形两组对边相等
C．四边形的对角线互相平分
D．四边形的对角线垂直
4．用符号“ ”与“”填空：
(1)x2＝1________x＝1；
(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．
5．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若“p q”是真命题，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
2．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？
3．充分条件、必要条件的主要判断方法有哪些？
5/51.2.2　充分条件和必要条件
第1课时　充分条件与必要条件
学习任务 核心素养
1．理解充分条件、必要条件的概念．(重点、易混点) 2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系．(重点) 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(难点) 1．通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养．
“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？
(1)不断更新的数据让人们理由更加充分；
(2)做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密；
(3)积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会；
(4)文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质．
知识点　充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
充分条件就是“有之必成立，无之未必成立”，必要条件就是“有之未必成立，无之必不成立．”
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件． (　　)
(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． (　　)
(3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立． (　　)
(4)“x>1”是“x>0”的充分条件． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．下列表述形式与“p q”是等价的有________．(填序号)
①p是q的充分条件；②q的充分条件是p；③q是p的必要条件；④p的必要条件是q．
[答案]　①②③④
类型1　充分条件的判断
【例1】　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若a∈Q，则a∈R；
(2)若x>1，则x>2；
(3)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；
(4)若△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC．
[解]　(1)由于Q R，所以p q，所以p是q的充分条件．
(2)法一：由x>1x>2，所以p不是q的充分条件．
法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，
所以B A，所以p不是q的充分条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此pq，所以p不是q的充分条件．
(4)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC．因此p q，所以p是q的充分条件．
　充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p q问题．
(2)除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A B，则p是q的充分条件．
[跟进训练]
1．设x∈R，则使x>3成立的一个充分条件是(　　)
A．x>4　　 B．x>0
C．x>2 D．x<2
A　[只有x>4 x>3，其他选项均不可推出x>3．]
类型2　必要条件的判断
【例2】　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若a是1的平方根，则a＝1；
(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12；
(3)若a是无理数，则a是无限小数；
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．
[解]　(1)1的平方根是±1，所以pq，所以q不是p的必要条件．
(2)因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2，所以m＝±12，所以pq，所以q不是p的必要条件．
(3)因为无理数是无限不循环小数，
所以p q，所以q是p的必要条件．
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p q，所以q是p的必要条件．
　必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立．若p q为真，则p是q的充分条件，若q p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A B，则甲是乙的必要条件．
[跟进训练]
2．下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)在△ABC中，p：B>C；q：AC>AB；
(2)p：|x|>2；q：x>2．
[解]　(1)在△ABC中，由大角对大边知，B>C AC>AB，所以q是p的必要条件．
(2)因为当|x|>2时，x>2或x<－2，
所以pq，
所以q不是p的必要条件．
类型3　充分条件与必要条件的应用
【例3】　(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值；
(2)已知M＝{x|a－1判断p与q的推出关系，由此思考采用什么方式建立待求参数的关系式．
[解]　(1)由x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，
令A＝{2，－3}，B＝，
∵q是p的充分条件，∴B A．
当－＝2时，m＝－；当－＝－3时，m＝．
所以m＝－或m＝．
(2)因为N是M的必要条件，所以M N．
于是从而可得－2≤a≤7．
故a的取值范围为－2≤a≤7．
　充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[跟进训练]
3．已知p：实数x满足3a[解]　p：3a即集合A＝{x|3aq：－2≤x≤3，
即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，
所以A B，
所以 －≤a<0，
所以a的取值范围是．
1．下列选项是“a>1”的必要条件的是(　　)
A．a<2 B．a>2
C．a<0 D．a>0
D　[由题意，“选项”是“a>1”的必要条件，表示“a>1”能推出“选项”．故选D．]
2．若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是(　　)
A．0 B．2
C．4 D．16
B　[由“x＝2”能得出“x2＝4”，选项B正确．]
3．(教材P19练习T1改编)在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　)
A．四边形是平行四边形且对角线相等
B．四边形两组对边相等
C．四边形的对角线互相平分
D．四边形的对角线垂直
A　[四边形是平行四边形且对角线相等，则四边形是矩形．故选A．]
4．用符号“ ”与“”填空：
(1)x2＝1________x＝1；
(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．
(1)　(2) 　[(1)命题“若x2＝1，则x＝1”是假命题，故x2＝1x＝1．
(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数 a＋b是偶数．]
5．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
a≤1　[因为x>1 x>a，所以a≤1．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若“p q”是真命题，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
[提示]　p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？
[提示]　不同．若p是q的充分条件，则p q；若p的充分条件是q，则q p．
3．充分条件、必要条件的主要判断方法有哪些？
[提示]　定义法和集合关系法．
课时分层作业(六)　充分条件与必要条件
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分又是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
[答案]　A
2．命题p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．无法判断
D．既不充分又不必要条件
B　[a＝b (a＋b)(a－b)＝0，则p是q的必要条件．故选B．]
3．下列“若p，则q”形式的命题中，满足p是q的充分条件的是(　　)
A．若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB
B．若x是无理数，则x2也是无理数
C．若x＝y，则＝
D．若四边形的四条边相等，则四边形是正方形
A　[线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，故A满足题意；若x＝，则x2＝2，故B不满足题意；对于C，若x＝y<0，则无意义，故C不满足题意；四条边相等的四边形未必是正方形，故D不满足题意．]
4．下列p是q的必要条件的是(　　)
A．p：a＝1，q：|a|＝1
B．p：－1C．p：aD．p：a>b，q：a>b＋1
D　[要满足p是q的必要条件，即q p，只有q：a>b＋1 q：a－b>1 p：a>b．故选D．]
5．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．无法判断
D．既不充分又不必要条件
A　[由题意可知，好货 不便宜，故选A．]
二、填空题
6．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．
必要　充分　[由于x＝0 x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．]
7．下列说法正确的是________．(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－2①③　[②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．]
8．已知命题p：A＝{x|1≤x≤2}，命题q：B＝{x|xa>2　[“q的充分条件是p”，即A是B的充分条件，即A B，得a>2．]
三、解答题
9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？
(1)若x>2，则|x|>1；
(2)若x<3，则x2<4；
(3)若x＝1，则x－1＝；
(4)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等．
[解]　(1)若x>2，则|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即p是q的充分条件．
(2)若x<3，则x2<4不一定成立，反之若x2<4，则－2(3)若x＝1，则x－1＝成立，反之当x＝2时，x－1＝成立，但x＝1不成立，即p是q的充分条件．
(4)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分又不必要条件．
10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？
[解]　(1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，
则只要 {x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2．
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3} ，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．
11．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　 )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
A　[因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙丙，如图．综上，有丙 甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
]
12．(多选题)下列式子：
①x<1；②0其中，可以是－1A．① B．②
C．③ D．④
BCD　[∵－113．若命题p：A＝{x|a3}，且p是q的充分条件，则实数a的取值范围为________．
{a|a≤－3或a≥3}　[因为p是q的充分条件，
所以A B，
又A＝{x|a3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，解得a≤－3或a≥3，
所以实数a的取值范围是{a|a≤－3或a≥3}．]
14．已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．
{a|a≤－9}　[∵p是q的必要条件，
∴q p，
∴解得a≤－9．
故实数a的取值范围是{a|a≤－9}．]
15．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由．
[解]　记A＝{x|x>2或x<－1}，由4x＋p<0，得x<－，记B＝．
由题意得B A，则－≤－1，即p≥4，此时x<－≤－1 x>2或x<－1，故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件．
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