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1.2.3　全称量词和存在量词
第1课时　含有量词的命题
学习任务 核心素养
1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(重点) 2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(重点) 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(难点) 1．借助全称量词、存在量词的含义，培养数学抽象素养． 2．通过全称量词命题、存在量词命题的判断，提升逻辑推理素养．
某学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式体操表演．这1 000名学生符合下列条件：
(1)所有学生都来自高二年级；
(2)至少有30名学生来自高二(1)班；
(3)每一个学生都有固定表演路线．
上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称作什么命题？
知识点1　全称量词与全称量词命题
(1)“任意”“所有”“每一个”等量词叫作__________，数学上用符号“__________”表示．
(2)语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作__________命题，用符号简单地表示为__________．
全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
1．命题“自然数是正整数”是全称量词命题吗？它的量词是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列命题中是全称量词命题的有______．(填序号)
①任意一个偶数都能被2整除；
②有的矩形是正方形；
③三角形的内角和是180°．
2．“任意一个实数的平方都大于等于0”用符号“ ”可表示为________．
知识点2　存在量词与存在量词命题
(1)“有一个”“存在某个”“至少有一个”等量词叫作__________量词，数学上用符号“__________”表示．
(2)语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”是命题，叫作存在量词命题，用符号简单地表示为__________．
2．“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________． (填“全称量词”或“存在量词”)
类型1　全称量词命题与存在量词命题的识别
【例1】　【链接教材P20例6】
判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题．
(1)对任意x∈{x|x>－1}，3x＋4>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(4)某个四边形不是平行四边形．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
[跟进训练]
1．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________．(填序号)
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
类型2　全称量词命题与存在量词命题的真假
【例2】　【链接教材P20例7、P21例8】
判断下列命题的真假：
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；
(2) x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
[跟进训练]
2．判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2＋1> ；
(2) α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2；
(3)存在一个数既是偶数又是负数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　依据含量词命题的真假求参数的取值范围
【例3】　命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
判断方程ax2＋2x－1＝0是否为关于x的一元二次方程，由此思考命题为真的情况．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
[跟进训练]
3．若命题“p： x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥1　　B．m＞1　　C．m＜1　　D．m≤1
1．(多选题)下列是全称量词的是(　　)
A．任意一个 B．所有的
C．每一个 D．很多
2．下列命题中是存在量词命题的是(　　)
A．任何一个实数乘0都等于0
B．任意一个负数都比零小
C．每一个正方形都是矩形
D．一定存在没有最大值的二次函数
3．(教材P21练习T2改编)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
4．命题p： x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．
5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．常见的全称量词有哪些？用符号怎么表示？
2．常见的存在量词有哪些？用符号怎么表示？
3．全称量词命题如何用符号表述？存在量词命题呢？
6/61.2.3　全称量词和存在量词
第1课时　含有量词的命题
学习任务 核心素养
1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(重点) 2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(重点) 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(难点) 1．借助全称量词、存在量词的含义，培养数学抽象素养． 2．通过全称量词命题、存在量词命题的判断，提升逻辑推理素养．
某学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式体操表演．这1 000名学生符合下列条件：
(1)所有学生都来自高二年级；
(2)至少有30名学生来自高二(1)班；
(3)每一个学生都有固定表演路线．
上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称作什么命题？
知识点1　全称量词与全称量词命题
(1)“任意”“所有”“每一个”等量词叫作全称量词，数学上用符号“ ”表示．
(2)语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称量词命题，用符号简单地表示为 x∈M，p(x)．
全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
1．命题“自然数是正整数”是全称量词命题吗？它的量词是什么？
[提示]　是全称量词命题．它的量词是“所有的”(“每一个”等)．即所有的自然数都是正整数．
1．下列命题中是全称量词命题的有______．(填序号)
①任意一个偶数都能被2整除；
②有的矩形是正方形；
③三角形的内角和是180°．
[答案]　①③
2．“任意一个实数的平方都大于等于0”用符号“ ”可表示为________．
x∈R，x2≥0　[命题“任意一个实数的平方都大于等于0”，用“ ”符号可以表示为 x∈R，x2≥0．]
知识点2　存在量词与存在量词命题
(1)“有一个”“存在某个”“至少有一个”等量词叫作存在量词，数学上用符号“ ”表示．
(2)语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”是命题，叫作存在量词命题，用符号简单地表示为 x∈M，p(x)．
2．“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
[提示]　是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
3．命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________． (填“全称量词”或“存在量词”)
[答案]　有些　存在量词
类型1　全称量词命题与存在量词命题的识别
【例1】　【链接教材P20例6】
判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题．
(1)对任意x∈{x|x>－1}，3x＋4>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(4)某个四边形不是平行四边形．
[解]　(1)全称量词命题，表示为 x∈{x|x>－1}，3x＋4>0．
(2)全称量词命题，表示为 a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(3)存在量词命题，表示为 x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．
(4)存在量词命题，表示为 x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．
【教材原题·P20例6】
例6　指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代：
(1)对任意正实数a，a2－a－2>0；
(2)对某个大于10的正整数n，()n＝1 024．
[解]　(1)命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集．该命题可以写成“ a∈R＋，a2－a－2>0”．
(2)命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集．该命题可以写成“ n>10且n∈N＋，()n＝1 024”，或者写成“ n∈N＋且n>10，()n＝1 024”“ n∈N＋∩(10，＋∞)，()n＝1 024”．
　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
[跟进训练]
1．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________．(填序号)
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
①②③　④　[①②③是全称量词命题；④是存在量词命题；⑤不是命题．]
类型2　全称量词命题与存在量词命题的真假
【例2】　【链接教材P20例7、P21例8】
判断下列命题的真假：
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；
(2) x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0．
[解]　(1)因为面积相等的三角形不一定相似，故它是假命题．
(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，
所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
【教材原题·P20例7、P21例8】
例7　判断下列全称量词命题的真假：
(1) x∈R，x2＋2>0；
(2) x∈N，x4≥1．
[解]　(1)因为 x∈R，x2≥0，从而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0．因此“ x∈R，x2＋2>0”是真命题．
(2)因为0∈N，且当x＝0时，x4≥1不成立，因此“ x∈N，x4≥1”是假命题．
例8　判断下列存在量词命题的真假：
(1) a∈Z，a2＝3a－2；
(2) a≥3，a2＝3a－2；
(3)设A，B，C是平面上不在同一直线上的三点，在该平面上存在某个点P，使得PA＝PB＝PC．
[解]　(1)因为1∈Z且12＝3×1－2，因此“ a∈Z，a2＝3a－2”是真命题．
(2)因为a2＝3a－2只有两个实数根a＝1或a＝2，所以当a≥3时a2≠3a－2．因此“ a≥3，a2＝3a－2”是假命题．
(3)以A，B，C为顶点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设P是△ABC的外心，则PA＝PB＝PC．因此“该平面上存在某个点P，使得PA＝PB＝PC”是真命题．
　全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
[跟进训练]
2．判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2＋1> ；
(2) α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2；
(3)存在一个数既是偶数又是负数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
[解]　(1)真命题，因为x2≥0，
所以x2＋1≥1，x2＋1>恒成立．
(2)真命题，例如α＝0，β＝1，符合题意．
(3)真命题，如数－2，－4等，既是偶数又是负数．
(4)假命题，如边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．
类型3　依据含量词命题的真假求参数的取值范围
【例3】　命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
判断方程ax2＋2x－1＝0是否为关于x的一元二次方程，由此思考命题为真的情况．
[解]　当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根，得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0．
综上可得a≥－1．
即实数a的取值范围是．
　利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
[跟进训练]
3．若命题“p： x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥1　　B．m＞1　　C．m＜1　　D．m≤1
B　[命题p： x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1．]
1．(多选题)下列是全称量词的是(　　)
A．任意一个 B．所有的
C．每一个 D．很多
ABC　[很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词．故选ABC．]
2．下列命题中是存在量词命题的是(　　)
A．任何一个实数乘0都等于0
B．任意一个负数都比零小
C．每一个正方形都是矩形
D．一定存在没有最大值的二次函数
D　[D选项是存在量词命题．]
3．(教材P21练习T2改编)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
C　[对于B，D，它们是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除．故选C．]
4．命题p： x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．
存在量词命题　假　[命题p是存在量词命题，
因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式Δ＝22－4×5<0，
即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．]
5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为________．
x<0，使(1＋x)(1－9x)>0　[“有些”是存在量词，所以命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”可表述为 x<0，使(1＋x)(1－9x)>0．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．常见的全称量词有哪些？用符号怎么表示？
[提示]　全称量词有：“所有的”“任意一个”等，用符号“ ”表示．
2．常见的存在量词有哪些？用符号怎么表示？
[提示]　存在量词有：“存在一个”“至少有一个”等，用符号“ ”表示．
3．全称量词命题如何用符号表述？存在量词命题呢？
[提示]　全称量词命题用符号简记为“ x∈M，p(x)”，存在量词命题用符号简记为“ x∈M，p(x)”．
课时分层作业(八)　含有量词的命题
一、选择题
1．(多选题)下列命题是“ x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　)
A．有一个x∈R，使得x2>3成立
B．对有些x∈R，使得x2>3成立
C．任选一个x∈R，都有x2>3成立
D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立
ABD　[原命题为存在量词命题，A，B，D选项均为对应的存在量词命题，C为全称量词命题．故选ABD．]
2．下列命题中的假命题是(　　 )
A． x∈R，|x|＝0
B． x∈R，2x－10＝1
C． x∈R，x3>0
D． x∈R，x2＋1>0
C　[当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．]
3．下列命题中是存在量词命题的是(　　 )
A． x∈R，x2＞0
B． x∈R，x2≤0
C．平行四边形的对边平行
D．矩形的任一组对边相等
B　[对于A，含有全称量词“ ”，为全称量词命题；对于B，含有存在量词“ ”，为存在量词命题，满足题意；对于C，省略了全称量词“所有”，为全称量词命题；对于D，省略了全称量词“所有”，为全称量词命题．故选B．]
4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　 )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
B　[对于A，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；对于B，x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；对于C，因为＋(－)＝0，所以C是假命题；对于D，对于任意一个负数x，都有<0，所以D是假命题．]
5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　)
A． x∈Q，有x∈P B． x Q，有x P
C． x Q，使得x∈P D． x∈P，使得x Q
B　[∵P∩Q＝P，∴P Q，
∴ x Q，有x P，故B正确．]
二、填空题
6．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________．
存在量词命题　 x，y∈R，x＋y＞1　[命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是存在量词命题，用符号表示为“ x，y∈R，x＋y＞1”．]
7．下列命题：
①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③不存在实数x，使x2＋x＋1<0；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝ ．
其中，所有真命题的序号为________．
①②③　[命题①②显然为真命题；由于 x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立，故③为真命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，6∈(A∩B)，故④为假命题．]
8．若一次函数y＝kx＋2(x∈R)的图象恒过第三象限，则实数k的取值范围为________．
{k|k>0}　[一次函数y＝kx＋2的图象过点(0，2)，若恒过第三象限，则k>0．]
三、解答题
9．已知命题p： x≥－，2x＋2－a＝0为真命题，求实数a的取值范围．
[解]　因为p为真命题，即方程2x＋2－a＝0在x≥－范围内有实根，所以a＝2x＋2≥2×＋2＝1，
所以a≥1，即实数a的取值范围为{a|a≥1}．
10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后用符号表示，并判断真假．
(1)对任意实数a，b，若a>b，则<；
(2)有些实数a，b能使＝成立．
[解]　(1)全称量词命题．
用符号表示： a，b∈R，若a>b，则<，
当a＝1，b＝－1时，＝1，＝－1，则>，可知该命题为假命题．
(2)存在量词命题．
用符号表示： a，b∈R，＝，
当a＝b＝0时，＝，可知该命题为真命题．
11．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是(　　)
A．{a|a≥－3} B．{a|a>－3}
C．{a|a≤－3} D．{a|a<－3}
D　[因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}．
又因为 a∈M，都有a A，所以a<－3．故选D．]
12．(多选题)下列四个命题：
①一切实数均有相反数；② a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形．
其中，是真命题的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
ABD　[①为真命题；②为真命题，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于③，等腰梯形的对角线相等，故③为假命题；④为真命题．]
13．若存在实数x∈{x|x≤1}，使不等式4x＋3≥m能成立，则实数m的取值范围是________．
{m|m≤7}　[因为不等式4x＋3≥m的解集为，
所以只需要≤1，
即m≤7．]
14．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________．
(答案不唯一)　[存在两个不相等的正数a，b，如a＝，b＝时，使得a－b＝ab是真命题．]
15．选择合适的量词( ， )，加在下列语句的前面，使其成为一个真命题．
(1)x>2；
(2)x是偶数；
(3)若x是无理数，则x2是无理数；
(4)a2＋b2＝c2．(这是含有三个变量的语句，用p(a，b，c)表示)
[解]　(1) x∈R，x>2．
(2) x∈Z，x是偶数．
(3) x∈R，若x是无理数，则x2是无理数．
(4) a，b，c∈R，a2＋b2＝c2．
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