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第2课时　含量词命题的否定
学习任务 核心素养
1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．(重点) 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点) 通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．”
结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．
知识点　含有一个量词的命题的否定
命题 否定 结论
全称量词命题 x∈I，p(x) __________ 全称量词命题的否定是__________命题
存在量词命题 x∈I，p(x) __________ 存在量词命题的否定是__________命题
对全称量词命题、存在量词命题进行否定时，注意不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论的否定，要先改变量词，再否定结论．
对省略量词的命题怎样否定？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
2．已知命题p： x>0，总有x＋1>1，则 p为________．
类型1　全称量词命题的否定
【例1】　写出下列命题的否定：
(1)所有分数都是有理数；
(2)所有被5整除的整数都是奇数；
(3) x∈R，x2－2x＋1≥0．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　对全称量词命题否定的两个步骤
(1)全称量词( )存在量词( )；
(2)结论否定结论．
[跟进训练]
1．写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)任何一个圆都是轴对称图形；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　存在量词命题的否定
【例2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有的素数是偶数；
(2) a，b∈R，a2＋b2≤0．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　对存在量词命题否定的两个步骤
(1)存在量词( )全称量词( )；
(2)结论否定结论．
[跟进训练]
2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假：
(1)p：存在x∈R，2x＋1≥0；
(2)q：存在x∈R，x2－x＋<0；
(3)r：有些分数不是有理数．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　全称量词命题与存在量词命题的综合应用
【例3】　对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．
以“函数值恒大于实数m”为切入点，思考建立二次函数y＝x2＋4x－1的最大值还是最小值与实数m的不等关系．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求解含量词的命题中参数取值范围问题的策略
(1) 对于全称量词命题“ x∈M，a＞y(或a＜y)”为真命题的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞y最大值(或a＜y最小值)．
(2)对于存在量词命题“ x∈M，a＞y(或a＜y)”为真命题的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞y最小值(或a＜y最大值)．
[跟进训练]
3．若命题“ x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
1．命题“ x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A． x R，x2≠x
B． x∈R，x2＝x
C． x R，x2≠x
D． x∈R，x2＝x
2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　 )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
3．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
4．量词“至多有一个”的否定为________．
5．命题“ x∈Q，x2＝5”的否定是______(填“真”或“假”)命题．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．全称量词命题的否定是什么命题？存在量词命题呢？
2．对只含有一个量词的命题否定时只否定结论吗？
3．当全称量词命题为真命题时，其命题的否定为真命题还是假命题？
5/5第2课时　含量词命题的否定
学习任务 核心素养
1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．(重点) 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点) 通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．”
结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．
知识点　含有一个量词的命题的否定
命题 否定 结论
全称量词命题 x∈I，p(x) x∈I， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈I，p(x) x∈I， p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
对全称量词命题、存在量词命题进行否定时，注意不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论的否定，要先改变量词，再否定结论．
对省略量词的命题怎样否定？
[提示]　一般地，对于省略了量词的全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之亦然．
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
B　[量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B．]
2．已知命题p： x>0，总有x＋1>1，则 p为________．
[答案]　 x>0，使得x＋1≤1
类型1　全称量词命题的否定
【例1】　写出下列命题的否定：
(1)所有分数都是有理数；
(2)所有被5整除的整数都是奇数；
(3) x∈R，x2－2x＋1≥0．
[解]　(1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．
(2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数．
(3) x∈R，x2－2x＋1<0．
　对全称量词命题否定的两个步骤
(1)全称量词( )存在量词( )；
(2)结论否定结论．
[跟进训练]
1．写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)任何一个圆都是轴对称图形；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．
[解]　(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)存在一个圆不是轴对称图形．
(3) a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
类型2　存在量词命题的否定
【例2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有的素数是偶数；
(2) a，b∈R，a2＋b2≤0．
[解]　(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数．
由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定： a，b∈R，a2＋b2>0．
∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，
∴命题的否定是假命题．
　对存在量词命题否定的两个步骤
(1)存在量词( )全称量词( )；
(2)结论否定结论．
[跟进训练]
2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假：
(1)p：存在x∈R，2x＋1≥0；
(2)q：存在x∈R，x2－x＋<0；
(3)r：有些分数不是有理数．
[解]　(1)任意x∈R，2x＋1<0，为假命题．
(2)任意x∈R，x2－x＋≥0．
因为x2－x＋＝≥0，
所以是真命题．
(3)一切分数都是有理数，是真命题．
类型3　全称量词命题与存在量词命题的综合应用
【例3】　对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．
以“函数值恒大于实数m”为切入点，思考建立二次函数y＝x2＋4x－1的最大值还是最小值与实数m的不等关系．
[解]　因为y＝x2＋4x－1，x∈R，
则y＝(x＋2)2－5，
因为 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可．
所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．
[母题探究]
把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．
[解]　令y＝－x2＋4x－1，
因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，
又因为 x∈R，－x2＋4x－1>m有解，
所以只要m小于函数的最大值即可，
所以所求m的取值范围是{m|m<3}．
　求解含量词的命题中参数取值范围问题的策略
(1) 对于全称量词命题“ x∈M，a＞y(或a＜y)”为真命题的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞y最大值(或a＜y最小值)．
(2)对于存在量词命题“ x∈M，a＞y(或a＜y)”为真命题的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞y最小值(或a＜y最大值)．
[跟进训练]
3．若命题“ x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
{a|a≤4}　[∵命题“ x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，
∴ x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，
∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，
则Δ＝(－4)2－4a≥0，
解得a≤4．]
1．命题“ x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A． x R，x2≠x
B． x∈R，x2＝x
C． x R，x2≠x
D． x∈R，x2＝x
D　[此全称量词命题的否定为 x∈R，x2＝x．]
2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　 )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
C　[利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．
“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C．]
3．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
D　[因为p为假命题，所以 p为真命题，所以 x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1．故选D．]
4．量词“至多有一个”的否定为________．
[答案]　至少有两个
5．命题“ x∈Q，x2＝5”的否定是______(填“真”或“假”)命题．
[答案]　真
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．全称量词命题的否定是什么命题？存在量词命题呢？
[提示]　全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．对只含有一个量词的命题否定时只否定结论吗？
[提示]　不是，需先改变量词，再否定结论，如全称量词命题： x∈M，p(x)的否定为存在量词命题： x∈M， p(x)．
3．当全称量词命题为真命题时，其命题的否定为真命题还是假命题？
[提示]　假命题．
课时分层作业(九)　含量词命题的否定
一、选择题
1．设命题p： n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(　　 )
A． n∈N，n2>2n B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n D． n∈N，n2＝2n
C　[因为“ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M， p(x)”，所以命题“ n∈N，n2>2n”的否定是“ n∈N，n2≤2n”．故选C．]
2．已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x．则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
B　[对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题；对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．故选B．]
3．下列存在量词命题的否定中真命题的个数是(　　)
(1) x∈R，x≤0；(2)至少有一个整数，它既不是合数，又不是素数；(3) x∈Z，使3x＋4＝5．
A．0 B．1
C．2 D．3
B　[对于(1)，取x＝－1，显然－1<0，故为真命题，其否定为假命题；
对于(2)，存在整数1，既不是合数又不是素数，故为真命题，其否定为假命题；
对于(3)，当3x＋4＝5成立时，x＝ Z，因而不存在x∈Z，使3x＋4＝5，故为假命题，其否定为真命题．故选B．]
4．(多选题)关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A． p： x∈R，x2＋1＝0
B． p： x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题， p是假命题
D．p是假命题， p是真命题
AC　[命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题， p是假命题．]
5．(多选题)对下列命题的否定说法正确的是(　　)
A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p： n∈N，2n≤100；p的否定： n∈N，2n>100
ABD　[“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．]
二、填空题
6．命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．
x∈R，|x|＋x2<0　[全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“ x∈R，|x|＋x2<0”．]
7．给出下列四个命题：
①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．
以上命题的否定为真命题的序号是________．
③④　[写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①②是真命题，③④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．]
8．若命题“ x＜2 025，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
{a|a≥2 025}　[由于命题“ x＜2 025，x＞a”是假命题， 因此其否定“ x＜2 025，x≤a”是真命题，所以a≥2 025．]
三、解答题
9．某中学开展小组合作学习模式，高二(1)班王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致，为什么？
[解]　一致．因为命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的取值范围是一致的．
10．(源自人教B版教材)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p： x∈R，x2≥－1；
(2)q： x∈{1，2，3，4，5}，(3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形．
[解]　(1) p： x∈R，x2<－1，由p是真命题可知 p是假命题．
(2) q： x∈{1，2，3，4，5}，≥x．将集合中的元素逐个验证，当x＝1时不等式成立，因此 q是真命题．
(3) s：所有直角三角形都是等腰三角形．因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以 s是假命题．
11．命题“ x∈R， n∈N＋，使得n≥x2”的否定是(　　 )
A． x∈R， n∈N＋，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N＋，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N＋，使得n＜x2
D． x∈R， n∈N＋，使得n＜x2
D　[由于存在量词命题的否定是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“ x∈R， n∈N＋，使得n≥x2”的否定为“ x∈R， n∈N＋，使得n＜x2”．]
12．(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　　)
A．p：所有四边形的内角和都是360°
B．q： x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．r： x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D．s：对所有实数a，都有|a|＞0
BD　[对于A， p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题．
对于B， q： x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题，这是由于 x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0恒成立．
对于C， r： x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题．
对于D， s：存在实数a，使|a|≤0，真命题．]
13．已知命题：“ x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
[－8，＋∞)　[当x∈{x|1≤x≤2}时，
因为x2＋2x＝(x＋1)2－1，
所以3≤x2＋2x≤8，
由题意有a＋8≥0，∴a≥－8．]
14．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0．
(1)命题p的否定为：________；
(2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．
(1) x∈R，x2＋2x＋a≠0　(2){a|a≤1}　[(1)命题“存在x∈R，x2＋2x＋a＝0”是存在量词命题，其否定为： x∈R，x2＋2x＋a≠0．
(2)存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，
∴Δ＝4－4a≥0，
∴a≤1．]
15．已知命题p： x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命题q： x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题， q为假命题，求实数m的取值范围．
[解]　由题意知命题p，q是真命题．
由 x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3．
由 x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，
因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．
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