资源简介

类型1　集合的概念与运算
集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．
【例1】　(1)(多选题)已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B A，则实数m等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知全集U＝{x|x>0}，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2①求A∪B，( UA)∩B；
②若C (A∪B)，求a的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　充分条件与必要条件
若p q，且qp，则p是q的充分而不必要条件，同时q是p的必要而不充分条件；若p q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件．充分必要条件的判断和证明是平时考试的一个重点，常与不等式等知识结合命题，学会用集合的观点分析和解决充分必要条件的判断和求参范围问题，提升转化和化归能力．
【例2】　(1)(多选题)对于任意实数a，b，c，下列结论正确的有(　　)
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充分条件
B．“a＋是无理数”是“a是无理数”的必要条件
C．“a＝b”是“a2＝b2”的充分条件
D．“a>b”是“a>|b|”的必要条件
(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}，q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}，且q是p的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　全称量词命题和存在量词命题
全称量词强调的是“一切”“每一个”等等，常用符号“ ”表示，而存在量词强调的是部分，常用符号“ ”表示，对于全称量词命题和存在量词命题的否定要把握两点：一是改量词，二是否结论．
【例3】　(1)命题p：“ x∈R，x2＞0”，则(　　)
A．p是假命题； p： x∈R，x2＜0
B．p是假命题； p： x∈R，x2≤0
C．p是真命题； p： x∈R，x2＜0
D．p是真命题； p： x∈R，x2≤0
(2)已知p： x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，q： x∈R，x2＋2x＋2－a＝0．若命题 p是真命题，且命题q是真命题，求实数a的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3/3类型1　集合的概念与运算
集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．
【例1】　(1)(多选题)已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B A，则实数m等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知全集U＝{x|x>0}，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2①求A∪B，( UA)∩B；
②若C (A∪B)，求a的取值范围．
(1)ACD　[当m＝0时，B＝ ，符合题意．
当m≠0时，B＝．
由B A可知，＝2或＝3，
即m＝3或2．
综上可知m＝0或2或3．故选ACD．]
(2)[解]　①A∪B＝{x|3≤x<7}∪{x|2②若C＝ ，则5－a≥a，解得a≤．
若C≠ ，则2≤5－a解得综上所述，a≤3，即a的取值范围是{a|a≤3}．
类型2　充分条件与必要条件
若p q，且qp，则p是q的充分而不必要条件，同时q是p的必要而不充分条件；若p q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件．充分必要条件的判断和证明是平时考试的一个重点，常与不等式等知识结合命题，学会用集合的观点分析和解决充分必要条件的判断和求参范围问题，提升转化和化归能力．
【例2】　(1)(多选题)对于任意实数a，b，c，下列结论正确的有(　　)
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充分条件
B．“a＋是无理数”是“a是无理数”的必要条件
C．“a＝b”是“a2＝b2”的充分条件
D．“a>b”是“a>|b|”的必要条件
(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}，q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}，且q是p的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．
(1)ACD　[a＝b ac＝bc，A正确；“a＋是无理数”与a是不是无理数没有关系，B错误；
a＝b a2＝b2，C正确；a>b a>|b|，D正确．故选ACD．]
(2)[解]　∵q是p的充分而不必要条件，∴B?A，
∴或
解得－≤a<0或a≤－4．
∴a的取值范围为．
类型3　全称量词命题和存在量词命题
全称量词强调的是“一切”“每一个”等等，常用符号“ ”表示，而存在量词强调的是部分，常用符号“ ”表示，对于全称量词命题和存在量词命题的否定要把握两点：一是改量词，二是否结论．
【例3】　(1)命题p：“ x∈R，x2＞0”，则(　　)
A．p是假命题； p： x∈R，x2＜0
B．p是假命题； p： x∈R，x2≤0
C．p是真命题； p： x∈R，x2＜0
D．p是真命题； p： x∈R，x2≤0
(2)已知p： x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，q： x∈R，x2＋2x＋2－a＝0．若命题 p是真命题，且命题q是真命题，求实数a的取值范围．
(1)B　[由于02＞0不成立，故“ x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“ x∈R，x2＞0”的否定是“ x∈R，x2≤0”．故选B．]
(2)[解]　若p：“ x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”为真命题，则a小于或等于x的最小值，即a≤1，
∴当命题 p是真命题时，命题p为假命题，从而a>1．
若q：“ x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”为真命题，则Δ＝4－4(2－a)≥0，解得a≥1．
∵命题 p是真命题，且命题q是真命题，
∴需满足
解得a>1．
综上，实数a的取值范围是{a|a＞1}．
章末综合测评(一)　集合与逻辑
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|－3A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3}
C．{x|－3C　[由集合的并运算，得M∪N＝{x|－32．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是(　　)
A．对任意x∈R，都有x2＜1
B．不存在x∈R，使得x2＜1
C．存在x∈R，使得x2≥1
D．存在x∈R，使得x2＜1
D　[因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1．故选D．]
3．若p是q的充分条件，则q是p的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
B　[因为p是q的充分条件，所以p q，
所以q是p的必要条件．]
4．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是(　　)
A．1 B．3
C．4 D．6
C　[∵A＝{1，2}，由A∪B＝{0，1，2}可知B可能为{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}，共4个．]
5．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．2
C．4 D．2或4
A　[∵2∈A，∴a＝2或|a|＝2或a－2＝2，
∴a＝－2或a＝2或a＝4．
又|a|≠a，∴a＝2或4舍去．故a＝－2．]
6．下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(　　)
A．菱形的四条边都相等
B． x∈N，使2x为偶数
C． x∈R，x2＋2x＋1>0
D．π是无理数
A　[对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题．
对于B， x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题．
对于C， x∈R，x2＋2x＋1>0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题．
对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题．故选A．]
7．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是(　　)
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a>1
C　[方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1．故选C．]
8．已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A．{1，4，9} B．{3，4，9}
C．{1，2，3} D．{2，3，5}
D　[因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，
则A∩B＝{1，4，9}， A(A∩B)＝{2，3，5}．
故选D．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　)
A． A B．－2∈A
C．{0，2} A D．A {y|y<3}
ACD　[∵A＝{0，2}，∴ A，－2 A，{0，2} A，A {y|y<3}．故选ACD．]
10．下列存在量词命题中，是真命题的是(　　)
A． x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C． x∈R，|x|<0
D．有些自然数是偶数
ABD　[对于A，当x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；对于B，整数6能同时被2和3整除，所以B是真命题；对于D，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；对于C，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD．]
11．已知集合A＝{x|－1A．A∩B＝
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪( RB)＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩( RB)＝{x|2BD　[∵A＝{x|－1∴A∩B＝{x|－1∵ RB＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪( RB)＝{x|－12}＝{x|x<－2或x>－1}，故C错误；A∩( RB)＝{x|－12}＝{x|2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．命题“ 1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
{a|a≤1}　[命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，∵y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1．]
13．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
充分而不必要　[由于A＝{x|0＜x＜1}，所以A?B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要条件．]
14．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B＝________，其所有元素之和为________．
{0，6，12}　18　[当x＝0时，y＝2，3，对应的z＝0；
当x＝1时，y＝2，3，对应的z＝6，12．
即A⊙B＝{0，6，12}．
故集合A⊙B的所有元素之和为18．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；
(2)p： x∈R，x2＋2x＋5＞0．
[解]　(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题．
又由于“任意”的否定为“存在一个”，
因此，￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，
即“ x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．
(2)由于“ x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题．
又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，￢p：对任意一个x，都有x2＋2x＋5≤0，
即“ x∈R，x2＋2x＋5≤0”．
16．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}．
(1)若a＝1，求A∪B；
(2)在① RA RB，②A∪B＝A，③A∩B＝B，这三个条件中任选一个作为条件，求实数a的取值范围．
注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
[解]　(1)当a＝1时，B＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}．
(2)三个条件 RA RB，A∪B＝A，A∩B＝B都表示B A，所以解得－1≤a≤0，所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．
17．(本小题满分15分)已知集合A为非空数集，定义A＋＝{x|x＝a＋b，a，b∈A}，A－＝{x|x＝|a－b|，a，b∈A}．
(1)若集合A＝{－1，1}，直接写出集合A＋及A－；
(2)若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1[解]　(1)根据题意，由A＝{－1，1}，则A＋＝{－2，0，2}，A－＝{0，2}．
(2)证明：由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1所以A－中也只包含四个元素，
即A－＝{0，x2－x1，x3－x1，x4－x1}，
剩下的x3－x2＝x4－x3＝x2－x1，
x3－x1＝x4－x2，
所以x1＋x4＝x2＋x3．
18．(本小题满分17分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠ ．
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝ ，求a的取值范围．
[解]　(1)∵x∈A是x∈B的充分条件，
∴A B．
∴
解得a的取值范围为≤a≤2．
(2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠ ，
∴a＞0．
若A∩B＝ ，∴a≥4或3a≤2，所以a的取值范围为0＜a≤或a≥4．
19．(本小题满分17分)已知a≥，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤．
[证明]　因为a≥，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝＝，且0＜≤1，当x＝时，y＝＋c．
先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即＋c≤1，所以c≤．
即必要性成立．
再证充分性：因为c≤，当x＝时，y的最大值为＋c≤＝1，
所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}，
y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1．
即充分性成立．
所以对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤．
9/9

展开更多......

收起↑