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2.1　相等关系与不等关系
2.1.1　等式与不等式
第1课时　不等关系与不等式
学习任务 核心素养
1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大小．(重点) 1．借助不等式表示实际问题，提升数学建模素养． 2．通过比较大小，培养逻辑推理素养．
你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的行驶速度v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的行驶速度v2应该满足60≤v2≤100．
知识点　基本事实
如果a－b>0，那么a>b；
如果a－b＝0，那么a＝b；
如果a－b<0，那么a依据 a>b a－b>0；a＝b a－b＝0；a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式a≥b等价于“a不小于b”． (　　)
(2)若x－2≤0，则x<2． (　　)
(3)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2．某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　)
A．T<40　 B．T>40
C．T≤40 D．T≥40
C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40．]
类型1　用不等式(组)表示不等关系
【例1】　京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
[解]　设复兴号列车速度为v1＝350 km/h，
民航飞机速度为v2，普通客车速度为v3．
v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1，v3的关系：v1＞3v3．
　在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
[跟进训练]
1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于100 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
[解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0这时菜园的另一条边长为＝(m)．
因此菜园面积S＝x，
依题意有S≥100，即x≥100，
故该题中的不等关系可用不等式表示为x≥100(0类型2　比较两数(式)的大小
【例2】　【链接教材P34例1】
已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1．
[母题探究]
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．
【教材原题·P34例1】
例1　比较(x＋1)(x＋3)与(x＋2)2的大小．
[解]　因为(x＋1)(x＋3)－(x＋2)2＝(x2＋4x＋3)－(x2＋4x＋4)＝－1<0，
所以(x＋1)(x＋3)<(x＋2)2．
　作差法比较两个实数大小的基本步骤
[跟进训练]
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
[解]　2x2＋5x＋3－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋．
∵≥0，
∴＋＞0．
∴2x2＋5x＋3－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2．
类型3　不等关系的实际应用
【例3】　某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
先分别建立费用表达式，再思考如何借助基本事实比较两数大小．
[解]　设该单位职工有n人(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx．
因为y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2．
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
　解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后用作差法比较它们的大小即可．
[跟进训练]
3．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案．
[解]　因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30－x)个，则
解这个不等式组得18≤x≤20．
由于x只能取正整数，所以x的取值是18，19，20．
当x＝18时，30－x＝12；
当x＝19时，30－x＝11；
当x＝20时，30－x＝10．
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．
1．某路段竖立的的警示牌是提示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　)
A．v<60 B．v>60
C．v≤60 D．v≥60
[答案]　C
2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(　　)
A．a－b＞0 B．a－b＜0
C．a－b≥0 D．a－b≤0
[答案]　C
3．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　)
A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h或d<10 m
D．v<120 km/h且d≥10 m
A　[v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A．]
4．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5 倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
4.5t<28 000　[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000．]
5．(教材P34练习T2改编)若实数a>b，则a2－ab________ba－b2．(填“>”或“<”)
>　[因为a2－ab－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0．所以a2－ab＞ba－b2．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．作差法比较两个实数的大小的依据是什么？
[提示]　a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．作差法比较大小的一般步骤是什么？
[提示]　第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定差是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
课时分层作业(十)　不等关系与不等式
一、选择题
1．(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．变量y不超过a可表示为“y≤a”
CD　[对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B，x，y应满足x＜y，故B错误；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D正确．]
2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a≥b D．a≤b
C　[∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
∴a≥b．]
3．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是(　　)
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不能确定
A　[当a≠2，b≠－1时，M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5．故选A．]
4．已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，则t和s的大小关系是(　　)
A．t＞s B．t≥s
C．t＜s D．t≤s
D　[∵s－t＝a＋b2＋4－(a＋4b)＝b2－4b＋4＝(b－2)2≥0，∴t≤s．]
5．已知c＞1，且x＝，y＝，则(　　)
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
C　[用作商法比较，由题意x，y＞0，
∵＝＝＜1，∴x＜y．]
二、填空题
6．已知a，b为实数，则(a＋3)(a－5)______(a＋2)·(a－4)．(填“>”“<”或“＝”)
<　[因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．]
7．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为________．
8(x＋19)>2 200　[因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．]
8．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
m3>m2－m＋1　[∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0．]
三、解答题
9．现有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下表：
轮船运输量/t 飞机运输量/t
粮食 300 150
石油 250 100
现在要在一天内至少运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
[解]　设需要安排x艘轮船和y架飞机．
则即
10．已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小．
[解]　∵－(1－x)＝＝，
当x＝0时，＝1－x；
当1＋x＜0，即x＜－1时，＜0，∴＜1－x；
当1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0时，＞0，
∴＞1－x．
综上可知：x＝0时，＝1－x；x<－1时，<1－x；x>－1且x≠0时，>1－x．
11．已知0A．MB．M>N
C．M＝N
D．M与N的大小关系无法确定
B　[∵00，∴M>N，故选B．]
12．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　)
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
A　[由题图可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4，故选A．]
13．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A，B两点间的距离d满足的不等式为________．
2≤d≤2　[最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长2．故2≤d≤2．]
14．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，则宿舍间数为________．
10，11或12　[设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，解得∵x∈N＋，∴x＝10，11或12．]
15．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．
[解]　设住宅窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a0，于是>．又≥10%，因此>≥10%．所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．
10/102.1　相等关系与不等关系
2.1.1　等式与不等式
第1课时　不等关系与不等式
学习任务 核心素养
1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大小．(重点) 1．借助不等式表示实际问题，提升数学建模素养． 2．通过比较大小，培养逻辑推理素养．
你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的行驶速度v1(单位：km/h，下同)应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的行驶速度v2应该满足60≤v2≤100．
知识点　基本事实
如果a－b>0，那么a>b；
如果a－b＝0，那么a＝b；
如果a－b<0，那么a依据 a>b __________；a＝b __________；a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的__________与__________的大小
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式a≥b等价于“a不小于b”． (　　)
(2)若x－2≤0，则x<2． (　　)
(3)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a2．某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　)
A．T<40　 B．T>40
C．T≤40 D．T≥40
类型1　用不等式(组)表示不等关系
【例1】　京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
[跟进训练]
1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于100 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　比较两数(式)的大小
【例2】　【链接教材P34例1】
已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　作差法比较两个实数大小的基本步骤
[跟进训练]
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　不等关系的实际应用
【例3】　某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
先分别建立费用表达式，再思考如何借助基本事实比较两数大小．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后用作差法比较它们的大小即可．
[跟进训练]
3．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某路段竖立的的警示牌是提示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　)
A．v<60 B．v>60
C．v≤60 D．v≥60
2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(　　)
A．a－b＞0 B．a－b＜0
C．a－b≥0 D．a－b≤0
3．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　)
A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h或d<10 m
D．v<120 km/h且d≥10 m
4．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5 倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
5．(教材P34练习T2改编)若实数a>b，则a2－ab________ba－b2．(填“>”或“<”)
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．作差法比较两个实数的大小的依据是什么？
2．作差法比较大小的一般步骤是什么？
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