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第2课时　不等式的性质
学习任务 核心素养
1．掌握不等式的基本性质．(重点) 2．运用不等式的性质解决有关问题．(难点) 1．通过学习不等式的性质，培养数学抽象素养． 2．借助不等式的性质解决相关问题，提升数学运算素养．
楼房的采光率有一种简单的计算方法：设楼房的建筑面积为a，窗口的面积和为b，则楼房的采光率为(其中a>b>0)．
显而易见，如果增加窗口的面积，楼房的采光将变好，那么如何用不等式来表示这个事实呢？(不妨设增加的窗口面积为m，其中m>0)
知识点　不等式的基本性质
性质1：(对称性)a>b b性质2：(传递性)a>b，b>c a>c．
性质3：(可加性)a>b a＋c>b＋c．
推论1：a＋b>c a>c－b．
推论2：a>b，c>d a＋c>b＋d．
性质4：(可乘性)a>b，c>0 ac>bc．
a>b，c<0 ac推论3：a>b>0，c>d>0 ac>bd．
推论4：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
推论5：a＞b＞0 ＞．
性质5：a>b且ab>0 <．
a>b且ab<0 >．
(1)在性质2中，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递；
(2)在性质4中，要特别注意“乘数c”的符号；
(3)在推论3中，不但要求两个不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否则结论不一定成立．
1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
[提示]　a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立．
2．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
[提示]　不一定．如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立． (　　)
(2)同向不等式具有可加性和可乘性． (　　)
(3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数． (　　)
(4)当x>－3时，一定有<－． (　　)
(5)若a>b，则<． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2．若a>b，则下列各式正确的是(　　)
A．a－2>b－2　　 B．2－a>2－b
C．－2a>－2b D．a2>b2
A　[∵a>b，∴a－2>b－2，故选A．]
类型1　利用不等式性质判断命题真假
【例1】　对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
D　[法一：∵c2≥0，
∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0 ＞ ＞，
故B为假命题；
＞，故C为假命题；
ab＜0．
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错误．
取a＝2，b＝1，则＝＝1，有＜，故B错误．
取a＝－2，b＝－1，
则＝＝2，有＜，故C错误．]
　利用不等式性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质．
(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
[跟进训练]
1．(多选题)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　)
A．|a|>|b|　　　 B．bC．a＋bBCD　[∵<<0，∴b∴|b|>|a|，a＋b故选BCD．]
类型2　利用不等式性质证明简单不等式
【例2】　【链接教材P37例3、例4】
若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞．
[证明]　∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0．
又∵a＞b＞0，
∴a－c＞b－d＞0．
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0．
两边同乘以，
得＜．
又e＜0，∴＞．
[母题探究]
本例条件不变的情况下，求证：＞．
[证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
∵a＞b＞0，
∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜，
又∵e＜0，
∴＞．
【教材原题·P37例3、例4】
例3　已知a>b，cb－d．
[证明]　因为c－d．
由a>b和推论2知，a－c>b－d．
例4　求证：如果a>b>0，且d>c>0，那么>．
[证明]　由d>c>0和性质5，得>>0．
又由a>b>0和推论3，得>．
　利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟进训练]
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac[证明]　∵a>b，c>0，∴ac>bc．
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，即f－ac类型3　不等式性质的应用
【例3】　已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．
结合字母a，b的组合形式，思考应用不等式基本性质的哪一条解决问题．
[解]　因为1＜a＜4，2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2．
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2．
又因为2所以＜＜，
所以＜＜＝2，即＜＜2．
　求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确运用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除．
[跟进训练]
3．已知－2(1)a＋b；
(2)2a－3b．
[解]　(1)－1(2)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②
由①＋②得，－10<2a－3b≤3．
1．(多选题)若a＞b，c＞d，则下列不等关系一定成立的是(　　)
A．a＋c＞b＋d B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d
[答案]　ACD
2．与a>b等价的不等式是(　　)
A．|a|>|b| B．a2>b2
C．>1 D．a3>b3
D　[可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b．再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D．]
3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
B　[∵xa2．∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax．又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2．∴x2>ax>a2．故选B．]
4．设x>1，－1x>－y>y　[∵－1∴x>－y>y．]
5．已知60(27，56)　　[∵28∴－33<－y<－28．
又∵60由28回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．等式的性质有哪些？
[提示]　(1)如果a＝b，那么b＝a．
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c．
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c．
(4)如果a＝b，那么ac＝bc．
(5)如果a＝b，c≠0，那么＝．
2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
[提示]　不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘．
3．对不等式变形时，要注意什么？
[提示]　对不等式的每一次变形，都要有相应的性质为依据，否则，变形就是错误的．
课时分层作业(十一)　不等式的性质
一、选择题
1．已知a，b，c，d∈R，则下列命题必成立的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
B　[选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C，不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D，只有a＞b＞0时才成立，否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B．]
2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)
A．a>b ac2>bc2 B．> a>b
C． > >
C　[当c＝0时，A错误；当c<0时，B错误；当a<0，b<0时，D错误，故选C．]
3．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式正确的是(　　)
A．a－b>0 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0 D．a＋b<0
D　[∵a＋|b|<0，∴|b|<－a，∴b<－a，∴a＋b<0．故选D．]
4．设a>1>b>－1，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．< >
C．a2>2b D．a>b2
D　[A错误，例如a＝2，b＝－时，＝＝－2，此时，>；B错误，例如a＝2，b＝时，＝＝2，此时，<；C错误，例如a＝，b＝时，a2＝，2b＝，此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，故D正确．]
5．若1A．－3C．－3C　[∵－4又1二、填空题
6．能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________．
[答案]　1，－2(答案不唯一)
7．若8(2，5)　[∵2∵88．给出以下四个命题：
①a＞b an＞bn(n∈N＋)；②a＞|b| an＞bn(n∈N＋)；③a＜b＜0 ＞；④a＜b＜0 ＞．其中真命题的序号是________．
②③　[①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；
③a＜b＜0，得＞成立；
④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故＜，④不成立．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)(1)已知a＞b，ab＞0，求证：＜；
(2)已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d．
[证明]　(1)因为ab＞0，所以＞0．
又因为a＞b，所以a·＞b·，
即＜．
(2)因为c＜d，所以－c＞－d．
又因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，
即a－c＞b－d．
10．已知3＜a＋b＜4，0＜b＜1，求下列各式的取值范围．
(1)a；(2)a－b；(3)．
[解]　(1)∵0＜b＜1，
∴－1＜－b＜0，
∵3＜a＋b＜4，
∴2＜a＋b＋(－b)＜4，
即2＜a＜4．
(2)∵0＜b＜1，
∴－1＜－b＜0．
又∵2＜a＜4，
∴1＜a－b＜4．
(3)∵0＜b＜1，∴＞1，
又∵2＜a＜4，∴＞2．
11．(多选题)若正实数x，y满足x>y，则下列结论中正确的是(　　)
A．xyy2
C．<(m>0) D．<
BCD　[A中，由于x，y为正实数，且x>y，两边同乘y得xy>y2，故A选项错误；
B中，由于x，y为正实数，且x>y，所以x2>y2，故B选项正确；
C中，由于x，y为正实数，且x>y，m>0，所以y(x＋m)－x(y＋m)＝m(y－x)<0，则y(x＋m)D中，由于x，y为正实数，且x>y，所以x>x－y>0，取倒数得0<<，故D选项正确．]
12．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
C　[因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0，所以x＞0，又y＞z，所以xy＞xz，故选C．]
13．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
[3，8]　[∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴3≤z≤8．]
14．设a，b为正实数，有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若＝1，则a－b<1；
③若||＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1．
其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．
①④　[对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1 a－b＝ a－b>0 a>b>0，故a＋b>a－b>0．若a－b≥1，则≥1 0＜a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于②，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1．
对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1．
对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，
∴a≠b，不妨设a>b>0．
∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2．
即a3－b3>(a－b)3>0，
∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，∴0即|a－b|<1．因此正确．]
15．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad．以其中两个作条件，余下一个为结论，能组成哪几个正确的不等式命题？
[解]　由②可知>0，∴>0，若③式成立，即bc>ad，则bc－ad>0，∴ab>0，故由②③ ①正确；
由①ab>0得>0，不等式bc>ad两边同乘，得>，∴>，故由①③ ②正确；
由②得>0，∴>0，若①成立，则bc>ad，故由①② ③正确．
综上可知，①③ ②，①② ③，②③ ①．
11/11第2课时　不等式的性质
学习任务 核心素养
1．掌握不等式的基本性质．(重点) 2．运用不等式的性质解决有关问题．(难点) 1．通过学习不等式的性质，培养数学抽象素养． 2．借助不等式的性质解决相关问题，提升数学运算素养．
楼房的采光率有一种简单的计算方法：设楼房的建筑面积为a，窗口的面积和为b，则楼房的采光率为(其中a>b>0)．
显而易见，如果增加窗口的面积，楼房的采光将变好，那么如何用不等式来表示这个事实呢？(不妨设增加的窗口面积为m，其中m>0)
知识点　不等式的基本性质
性质1：(对称性)a>b __________．
性质2：(传递性)a>b，b>c __________．
性质3：(可加性)a>b __________．
推论1：a＋b>c __________．
推论2：a>b，c>d __________．
性质4：(可乘性)a>b，c>0 __________．
a>b，c<0 __________．
推论3：a>b>0，c>d>0 __________．
推论4：a>b>0 __________(n∈N，n≥2)．
推论5：a＞b＞0 ．
性质5：a>b且ab>0 ．
a>b且ab<0 ．
(1)在性质2中，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递；
(2)在性质4中，要特别注意“乘数c”的符号；
(3)在推论3中，不但要求两个不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否则结论不一定成立．
1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立． (　　)
(2)同向不等式具有可加性和可乘性． (　　)
(3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数． (　　)
(4)当x>－3时，一定有<－． (　　)
(5)若a>b，则<． (　　)
2．若a>b，则下列各式正确的是(　　)
A．a－2>b－2　　 B．2－a>2－b
C．－2a>－2b D．a2>b2
类型1　利用不等式性质判断命题真假
【例1】　对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是(　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用不等式性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质．
(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
[跟进训练]
1．(多选题)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　)
A．|a|>|b|　　　 B．bC．a＋b类型2　利用不等式性质证明简单不等式
【例2】　【链接教材P37例3、例4】
若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
本例条件不变的情况下，求证：＞．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[跟进训练]
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　不等式性质的应用
【例3】　已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．
结合字母a，b的组合形式，思考应用不等式基本性质的哪一条解决问题．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确运用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除．
[跟进训练]
3．已知－2(1)a＋b；
(2)2a－3b．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选题)若a＞b，c＞d，则下列不等关系一定成立的是(　　)
A．a＋c＞b＋d B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d
2．与a>b等价的不等式是(　　)
A．|a|>|b| B．a2>b2
C．>1 D．a3>b3
3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
4．设x>1，－15．已知60回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．等式的性质有哪些？
2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
3．对不等式变形时，要注意什么？
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