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2.1.2　基本不等式
学习任务 核心素养
1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养．
填写下表：
a b 与的大小关系
1
4 16
2 2
… …
(1)观察与的大小关系，从中你发现了什么结论？
(2)你能给出它的证明吗？
知识点　基本不等式
(1)定理：对任意a，b∈R，a2＋b2__________2ab，当且仅当__________时等号成立．
(2)推论：对任意正数a，b，，当且仅当__________时等号成立．
一般地，对于正数a，b，我们把________称为a，b的算术平均数，________称为a，b的几何平均数．把不等式(a＞0，b＞0)称为基本不等式．
常见变形：①ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
②a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
不等式a2＋b2≥2ab与不等式中等号成立的条件一样吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　)
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2． (　　)
(3)若a>0，b>0，则ab≤． (　　)
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)
A．a＝±1　　　 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
类型1　对基本不等式的理解
【例1】　(多选题)下面四个推导过程正确的有(　　)
A．若a，b为正实数，则≥2＝2
B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则＝－≤－2＝－2
D．若a<0，b<0，则≤ab
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面
(1)不等式成立的条件是a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，的等号成立，即＝ a＝b．
[跟进训练]
1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若x＞1，则x＋≥2＝2；
②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4；
③若a，b∈R，则≥2＝2．
类型2　利用基本不等式比较大小
【例2】　(1)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
(2)已知a，b，c是两两不相等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．在理解基本不等式时，要从形式到内涵中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．
[跟进训练]
2．若0A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
类型3　利用基本不等式证明不等式
【例3】　【链接教材P39例6】
已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>9．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由a＋b＋c＝1为切入点，思考是否需要把“”中的“1”替换成a＋b＋c，然后选择基本不等式证明>9．
[母题探究]
本例条件不变，求证：>8．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，如通过“1”的代换，为运用基本不等式创造条件．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
[跟进训练]
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　)
A．x≥2y B．x>2y
C．x≤2y D．x<2y
2．(多选题)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为(　　)
A．≥ab B．≥2
C．ab≤
3．下列不等式正确的是(　　)
A．a＋≥2
B．(－a)＋≤－2
C．a2＋≥2
D．(－a)2＋≤－2
4．比较大小：________2．(填“>”“<”“≥”或“≤”)
5．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．(填序号)
①；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何由不等式a2＋b2≥2ab导出？
2．基本不等式的常见变形有哪些？
5/52.1.2　基本不等式
学习任务 核心素养
1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养．
填写下表：
a b 与的大小关系
1
4 16
2 2
… …
(1)观察与的大小关系，从中你发现了什么结论？
(2)你能给出它的证明吗？
知识点　基本不等式
(1)定理：对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．
(2)推论：对任意正数a，b，，当且仅当a＝b时等号成立．
一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．把不等式(a＞0，b＞0)称为基本不等式．
常见变形：①ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
②a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
不等式a2＋b2≥2ab与不等式中等号成立的条件一样吗？
[提示]　不同，前者为a＝b，后者为a＝b>0．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　)
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2． (　　)
(3)若a>0，b>0，则ab≤． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)
A．a＝±1　　　 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
B　[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立．]
类型1　对基本不等式的理解
【例1】　(多选题)下面四个推导过程正确的有(　　)
A．若a，b为正实数，则≥2＝2
B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则＝－≤－2＝－2
D．若a<0，b<0，则≤ab
AC　[∵a，b为正实数，∴为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确；
∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的，故B错误；
由xy＜0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D错误，因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．]
　对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面
(1)不等式成立的条件是a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，的等号成立，即＝ a＝b．
[跟进训练]
1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)
①若x＞1，则x＋≥2＝2；
②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4；
③若a，b∈R，则≥2＝2．
②　[ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时，即x＝1，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]
类型2　利用基本不等式比较大小
【例2】　(1)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
(2)已知a，b，c是两两不相等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)B　(2)p>q　[(1)法一：显然＞，又因为＜(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞．故M＞P＞Q．
法二：取a＝，b＝，易知M>P>Q，故选B．
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．即p>q．]
　1．在理解基本不等式时，要从形式到内涵中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．
[跟进训练]
2．若0A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
D　[法一：∵0∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，
∴a＋b>a2＋b2，故选D．
法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．]
类型3　利用基本不等式证明不等式
【例3】　【链接教材P39例6】
已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>9．
由a＋b＋c＝1为切入点，思考是否需要把“”中的“1”替换成a＋b＋c，然后选择基本不等式证明>9．
[证明]　∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，
∴＝＝3＋
＝3＋≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2
＝9．
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴>9．
[母题探究]
本例条件不变，求证：>8．
[证明]　∵a，b，c是互不相等的正数，
且a＋b＋c＝1，∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴＝≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴＞8．
【教材原题·P39例6】
例6　对任意三个正实数a，b，c，求证：
a＋b＋c≥，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
[证明]　因为a，b，c>0，由基本不等式，得a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，把上述三个式子的两边分别相加，得
2(a＋b＋c)≥2()，
即a＋b＋c≥，
当且仅当a＝b，b＝c，c＝a，即a＝b＝c时等号成立．
　1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，如通过“1”的代换，为运用基本不等式创造条件．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
[跟进训练]
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2．
[证明]　由基本不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，当且仅当a2＝b2时等号成立，
同理，b4＋c4≥2b2c2，当且仅当b2＝c2时等号成立，c4＋a4≥2a2c2，当且仅当a2＝c2时等号成立，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，当且仅当a2＝b2＝c2时等号成立．
1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　)
A．x≥2y B．x>2y
C．x≤2y D．x<2y
B　[由题意可知x－2y>0，∴x>2y．]
2．(多选题)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为(　　)
A．≥ab B．≥2
C．ab≤
ACD　[由a，b∈R，得≥ab，A正确；由a，b∈R，得与不一定是正数，故B不一定成立；ab－＝－≤0，故C正确；－＝－≤0，故D正确，故选ACD．]
3．下列不等式正确的是(　　)
A．a＋≥2
B．(－a)＋≤－2
C．a2＋≥2
D．(－a)2＋≤－2
C　[A不成立，如a＝－1；B不成立，如a＝－1；D选项显然错误；故选C．]
4．比较大小：________2．(填“>”“<”“≥”或“≤”)
≥　[由于＝＝≥2，当且仅当＝，即x＝0时等号成立，故填≥．]
5．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．(填序号)
①；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab．
③　[根据≥ab，成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何由不等式a2＋b2≥2ab导出？
[提示]　对于a2＋b2≥2ab，若用a代替a2，b代替b2，便可得到a＋b≥2，即．
2．基本不等式的常见变形有哪些？
[提示]　①a＋b≥2；②ab≤．
课时分层作业(十二)　基本不等式
一、选择题
1．(多选题)下列条件可使≥2成立的是(　　)
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b>0 D．a<0，b<0
ACD　[当且仅当＝>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．]
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a－b<0 B．0<<1
C．< D．ab>a＋b
C　[∵a>b>0，由基本不等式知<一定成立．]
3．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　)
A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
A　[由a＋b≥2可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．]
4．下列各不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1，其中正确的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
B　[仅②④正确．]
5．已知a，b是正实数，则下列各式中不一定成立的是(　　)
A．a＋b≥2 ≥2
C．≥2
D　[由得a＋b≥2，∴A成立；
∵≥2＝2，∴B成立；
∵＝2，∴C成立；
∵＝，∴D不一定成立．]
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
　[∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴＝．]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤　[由题意得第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，
则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝＝1＋，
∴x≤，当且仅当a＝b时等号成立．]
8．已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
36　[y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时函数取得最小值4．又由已知x＝3时，ymin＝4，
∴＝3，即a＝36．]
三、解答题
9．已知a，b为正实数，且a＋b＝1．求证：≥4．
[证明]　＝＝1＋＋1
＝2＋≥2＋2＝4．
当且仅当a＝b时“＝”成立．
10．已知a，b，c为正数，求证：≥3．
[证明]　左边＝－1＋－1＋－1＝－3．
∵a，b，c为正数，
∴≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；
≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；
≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
∴－3≥3，
即≥3．
11．(多选题)设0A．a2＋b2C．a<2ab< ACD　[由0＝．又a212．已知a>1，则三个数的大小关系是(　　)
A．<< <<
C．<< <
C　[当a，b是正数时，≤，令b＝1，得．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．]
13．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a．
其中恒成立的是________．(填序号)
①②③　[由于a2＋1－a＝＋>0，故①恒成立；
由于＝ab＋≥2＋2＝4．当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋≥2＋2 ＝4．当且仅当＝，即a＝b时，“＝”成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．
综上，恒成立的是①②③．]
14．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段________的长度是a，b的几何平均数．
CD　[在Rt△ADB中，DC为高，由△ACD∽△BCD可知CD2＝AC·CB，∴CD＝．]
15．(1)已知a，b，c∈R，求证：(a＋b＋c)；
(2)若00，b>0，求证：．
[证明]　(1)∵，
∴＝(当且仅当a＝b时，等号成立)；
同理，(当且仅当b＝c时，等号成立)；
(当且仅当a＝c时，等号成立)．
三式相加得＝(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
(2)∵00，
左边＝＝a2＋b2＋b2＋a2
≥a2＋b2＋2
＝a2＋b2＋2ab＝＝右边．当且仅当b2＝a2时等号成立．
即≥(a＋b)2.
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