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2.1.3　基本不等式的应用
学习任务 核心素养
1．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点) 2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点) 1．通过基本不等式求最值，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．
某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一位顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？
知识点　用基本不等式求最值
已知x，y都为正数，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值；
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值．
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
x＋的最小值是2吗？
[提示]　不一定．如当x<0时，x＋<0．
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．
1．若x>0，则y＝x＋的最小值为________．
4　[∵x>0，∴y＝x＋≥2＝4．
当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．]
2．已知0　[∵0当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．]
类型1　利用基本不等式求最值
【例1】　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0[解]　(1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故当x＝1时，y最大值＝1．
(2)∵00，
∴y＝x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤＝＝，
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立．故当x＝时，y最大值＝．
　利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创造应用基本不等式的条件．
[跟进训练]
1．(1)已知x>0，求y＝的最小值；
(2)已知0[解]　(1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9．
(2)法一：∵0∴1－3x>0．
∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤＝，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值．
法二：∵00．
∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值．
类型2　利用基本不等式求条件最值
【例2】　已知x＞0，y＞0，且满足＝1．求x＋2y的最小值．
[解]　∵x＞0，y＞0，＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立．
故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18．
[母题探究]
若把“＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求的最小值．
[解]　∵x>0，y>0，
∴＝(x＋2y)
＝8＋＋2＝10＋≥10＋2＝18．
当且仅当＝时等号成立，
结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴当x＝，y＝时，取到最小值18．
　常数代换法求最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
[跟进训练]
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求的最小值．
[解]　法一：∵a>0，b>0，且a＋2b＝1，
∴＝·1＝·(a＋2b)
＝1＋＋2＝3＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当即时，等号成立．
∴的最小值为3＋2．
法二：∵a>0，b>0，且a＋2b＝1，
∴＝＝1＋＋2＝3＋≥3＋2，
当且仅当即时，等号成立．
∴的最小值为3＋2．
类型3　利用基本不等式解决实际问题
【例3】　【链接教材P41例10】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
引入每间虎笼的长和宽的参数x，y，建立等式2x＋3y＝18．由此思考每间虎笼面积xy最值的求法．
[解]　设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18．
设每间虎笼面积为S，则S＝xy．
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y．
∵x>0，
∴0∵00．
∴S≤＝．
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5．
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
【教材原题·P41例10】
例10　某公司设计了如图2.1-5所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆弧相连接．已知这块绿化景观地带的内圈周长为400 m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？
[解]　设平行线段长为x m，半圆的直径为d m，中间矩形区域的面积为S m2．
由题意可知
S＝xd，且2x＋πd＝400，
所以S＝xd＝·πd·2x≤＝，
当且仅当πd＝2x＝200，即d＝，x＝100时，等号成立．
所以，当平行线段的长设计为100 m时，中间矩形区域的面积S最大，最大值为 m2．
　应用基本不等式解决实际问题的思路与方法
(1)理解题意，设出变量．
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题．
(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值．
(4)根据实际背景写出答案．
[跟进训练]
3．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
[解]　设隔墙的长度为x(x>0) m，总造价为y元，则隔墙造价为2x×248＝496x元，池底造价为200×80＝16 000元，
四周围墙造价为×400＝800×元．
因此，总造价为y＝496x＋800＋16 000＝1 296x＋＋16 000
≥2＋16 000＝28 800＋16 000＝44 800．
当且仅当1 296x＝，即x＝时，等号成立．
这时，污水池的长为18 m．
故当污水池的长为18 m，宽为 m时，总造价最低，最低为44 800元．
1．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
B　[∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2．]
2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．2 D．4
A　[由基本不等式得，ab≤＝1．
当且仅当即a＝b＝1时，等号成立．
∴ab的最大值为1．]
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是(　　)
A． B．4
C． D．5
C　[∵a＋b＝2，∴＝1．
∴＝＝＋2＝，
当且仅当即时，等号成立．
故y＝的最小值为．]
4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
5　8　[由题意可知，年平均利润＝－x－＋18＝－＋18≤－2＋18＝8，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，年平均利润最大，为8万元．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．利用基本不等式求最值时，必须满足哪三个条件？
[提示]　一正、二定、三相等．
2．应用基本不等式求最值的依据是什么？
[提示]　a＋b≥2和ab≤，即“和定积最大，积定和最小”．
3．利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？
[提示]　直接法、配凑法、常数代换法等．
课时分层作业(十三)　基本不等式的应用
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)
A．2 B．a
C． D．3
D　[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a－1＝，即a＝2时，等号成立．]
2．已知函数y＝x＋－2(x<0)，则函数有(　　)
A．最大值0 B．最小值0
C．最大值－4 D．最小值－4
C　[∵x<0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立．]
3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是(　　)
A．3 B．－3
C．3－2 D．－1
C　[∵x＞0，∴y＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．]
4．若x＞0，y＞0，且＝1，则x＋y的最小值是(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
C　[x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋4
＝5＋≥5＋2＝5＋4＝9，
当且仅当即时，等号成立．
故x＋y的最小值为9．]
5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16 B．25
C．9 D．36
B　[(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，
当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，等号成立．
所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25，故选B．]
二、填空题
6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
1　[y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立．
∴函数y＝x＋(x≥0)的最小值为1．]
7．已知a>0，b>0，且h＝min，其中min{a，b}表示a，b两数中较小的数，则h的最大值为________．
　[由题意知，08．已知x>0，y>0，且满足＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．
3　2　[∵＝1，
∴1＝≥2，
∴xy≤3，
当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时等号成立．]
三、解答题
9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
[解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＝1，
又x>0，y>0，
则1＝≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64．
(2)由2x＋8y－xy＝0，
得＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋≥10＋2＝18，
当且仅当x＝12，y＝6时，等号成立．
所以x＋y的最小值为18．
10．(源自人教A版教材)(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
(2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
[解]　设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x＋y)m．
(1)由已知得xy＝100．
由，
可得x＋y≥2＝20，
所以2(x＋y)≥40，
当且仅当x＝y＝10时，上式等号成立．
因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m．
(2)由已知得2(x＋y)＝36，矩形菜园的面积为xy m2．
由＝＝9，
可得xy≤81，
当且仅当x＝y＝9时，上式等号成立．
因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2．
11．(多选题)下列不等式一定成立的是(　　)
A．x2＋>x(x>0)
B．x＋≥2(x>0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．>1(x∈R)
BC　[A中，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；
B中，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，所以B一定成立；
C中，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立；
D中，因为x2＋1≥1，所以0<≤1，所以D不成立．]
12．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
D　[y＝＝，
又∵－40．
故y＝－≤－1．
当且仅当－(x－1)＝，即x＝0时，等号成立．]
13．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大．
2　[由C＝＝＝5，当且仅当t＝，即t＝2时，等号成立．]
14．在等式1＝右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，则这两个数分别为________和________．
4　12　[设＝1，a，b∈N＋，
∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)
＝1＋9＋≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．
又＝1，∴＝1，∴a＝4，b＝12．
这两个数分别是4和12．]
15．我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值．
(1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)．
(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明：
设a>0，b>0，c>0，求证：(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值：
设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值．
[解]　(1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0，．
(2)证明：因为a>0，b>0，c>0，
又因为a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥3>0，
所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc．
(3)因为a>0，b>0，c>0，，所以abc≤，
又因为a＋b＋c＝1，
0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1，
所以(1－a)(1－b)(1－c)≤＝，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为．
13/132.1.3　基本不等式的应用
学习任务 核心素养
1．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点) 2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点) 1．通过基本不等式求最值，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．
某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一位顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？
知识点　用基本不等式求最值
已知x，y都为正数，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值_________；
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值_________．
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
x＋的最小值是2吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．
1．若x>0，则y＝x＋的最小值为________．
2．已知0类型1　利用基本不等式求最值
【例1】　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创造应用基本不等式的条件．
[跟进训练]
1．(1)已知x>0，求y＝的最小值；
(2)已知0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　利用基本不等式求条件最值
【例2】　已知x＞0，y＞0，且满足＝1．求x＋2y的最小值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
若把“＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求的最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　常数代换法求最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
[跟进训练]
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求的最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　利用基本不等式解决实际问题
【例3】　【链接教材P41例10】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
引入每间虎笼的长和宽的参数x，y，建立等式2x＋3y＝18．由此思考每间虎笼面积xy最值的求法．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　应用基本不等式解决实际问题的思路与方法
(1)理解题意，设出变量．
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题．
(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值．
(4)根据实际背景写出答案．
[跟进训练]
3．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．2 D．4
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是(　　)
A． B．4
C． D．5
4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．利用基本不等式求最值时，必须满足哪三个条件？
2．应用基本不等式求最值的依据是什么？
3．利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？
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