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类型1　不等式的性质及应用
本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用．
【例1】　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．AB D．A>B
(2)如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定成立的是(　　)
A．ab＞ac B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　基本不等式及其应用
基本不等式(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤和a＋b≥2．其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧，在应用该知识点解决最值时，务必把握“一正、二定、三相等”这一前提条件．
【例2】　(1)已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
(2)设x<－1，求y＝的最大值．
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类型3　一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应把握三个关键点：一图象的开口方向，二是否有根，三根的大小关系．把握好以上三点，数形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生出的恒成立问题，数形结合求解便可．
【例3】　(1)若不等式ax2＋3x＋2>0的解集为{x|b(2)求关于x的不等式ax2＋3x＋2>－ax－1(其中a>0)的解集．
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类型4　不等式在实际问题中的应用
不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键．
【例4】　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，写出公园ABCD所占面积S与x的关系式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3/3类型1　不等式的性质及应用
本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用．
【例1】　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．AB D．A>B
(2)如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定成立的是(　　)
A．ab＞ac B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0
(1)B　(2)C　[(1)∵A－B＝a2＋3ab－4ab＋b2＝a2－ab＋b2＝＋b2≥0，故A≥B．
(2)c＜b＜a，ac＜0 a＞0，c＜0．
对于A： ab＞ac，A正确．
对于B： c(b－a)＞0，B正确．
对于C： cb2≤ab2cb2＜ab2，C错误，即C不一定成立．
对于D：ac＜0，a－c＞0 ac(a－c)＜0，D正确．故选C．]
类型2　基本不等式及其应用
基本不等式(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤和a＋b≥2．其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧，在应用该知识点解决最值时，务必把握“一正、二定、三相等”这一前提条件．
【例2】　(1)已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
(2)设x<－1，求y＝的最大值．
(1)　[因为x>0，y>0，2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤＝＝．
当且仅当2x＝3y，
即x＝，y＝1时，xy取到最大值．]
(2)[解]　∵x<－1，∴x＋1<0．
∴－(x＋1)>0，
∴y＝＝＝＝(x＋1)＋＋5
＝－＋5≤－2＋5＝1，
当
即x＝－3时，等号成立．
∴y＝的最大值为1．
类型3　一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应把握三个关键点：一图象的开口方向，二是否有根，三根的大小关系．把握好以上三点，数形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生出的恒成立问题，数形结合求解便可．
【例3】　(1)若不等式ax2＋3x＋2>0的解集为{x|b(2)求关于x的不等式ax2＋3x＋2>－ax－1(其中a>0)的解集．
[解]　(1)将x＝1代入ax2＋3x＋2＝0，
可得a＝－5，
所以不等式ax2＋3x＋2>0即为不等式－5x2＋3x＋2>0，可转化为(x－1)(5x＋2)<0，
所以原不等式的解集为，所以b＝－．
(2)不等式ax2＋3x＋2>－ax－1可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0．
当－<－1，即0当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当－>－1，即a>3时，原不等式的解集为．
综上所述，当0当a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当a>3时，原不等式的解集为．
类型4　不等式在实际问题中的应用
不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键．
【例4】　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，写出公园ABCD所占面积S与x的关系式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
[解]　(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则长A1B1为ax米，
由a2x＝4 000，
得a＝．
则S＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·＋160
＝80＋4 160(x>1)．
(2)80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760．
当且仅当2＝，
即x＝2.5时，等号成立，
此时a＝40，ax＝100．
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．
章末综合测评(二)　一元二次函数、方程和不等式
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1A．{x|－1C．{x|1A　[A＝{x|－12．给定下列命题：
①a>b a2>b2；②a2>b2 a>b；③a>b <1；④a>b <．
其中正确的命题个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
A　[取a＝0，b＝－1可知①③④均错误．取a＝－2，b＝1可知②错误，故①②③④均错误，故选A．]
3．设m>1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为(　　)
A．PC．P≥Q D．P≤Q
C　[∵m>1，∴P＝m＋＝m－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当m－1＝，即m＝3时，等号成立．
∴P≥Q，故选C．]
4．不等式|x|(1－2x)＞0的解集为(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不等式即为－x(1－2x)＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为，故选A．]
5．已知＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
D　[∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8．
当且仅当＝，即x＝y＝4，等号成立．]
6．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　)
A．
B．
C．{x|－2＜x＜1}
D．{x|x＜－2或x＞1}
A　[由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．
由根与系数的关系得

∴不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2＋x－1＜0．
解得－1＜x＜．]
7．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．－1C．－C　[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为(　　)
A．12元
B．16元
C．12元到16元之间
D．10元到14元之间
C　[设销售价定为每件x元，利润为y元，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，
所以每件销售价应为12元到16元之间．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知2A．6<2x＋y<9
B．2<2x－y<3
C．－1D．4ACD　[∵2∴4∴4<2x<6，6<2x＋y<9，
∴－3<－y<－2，－1故选ACD．]
10．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(aA．aC．AD　[设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为，∴v＝＝．
由于b>a>0，由基本不等式可得<，
∴v＝<＝．
另一方面，v＝<＝，v－a＝－a＝>>0，∴v>a，
故a11．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(　　)
A．ab有最大值
B．有最小值
C．有最小值4
D．a2＋b2有最小值
AC　[∵a>0，b>0，且a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，
∴ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴ab有最大值，∴A正确；
()2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋(a＋b)＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴0<，∴B错误；
＝＝≥4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴有最小值4，∴C正确；
a2＋b2≥2ab，2ab≤，
∴a2＋b2的最小值不是，∴D错误．
故选AC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．要使有意义，则x的取值范围为________．
{x|－7＜x＜1}　[要使有意义，则7－6x－x2>0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－713．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________．
(x＋4)(x－6)>0(答案不唯一)　[由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，不等式解集中的整数解只有一个在集合A中即可．故不等式可以是(x＋4)(x－6)>0，解集为{x|x>6或x<－4}，解集中只有－5在集合A中．]
14．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示，总利润y为正数)，则营运年数的取值范围是________；每辆客车营运________年时，年平均利润最大．
{3，4，5，6，7，8，9}　5　[由题意可设二次函数解析式为：y＝a(x－6)2＋11，x∈N＋，
又函数图象过点(4，7)，故7＝a(4－6)2＋11，
∴a＝－1．
∴y＝－(x－6)2＋11，x∈N＋．
由y>0得6－∴x＝3，4，5，6，7，8，9．
由＝＝－x－＋12≤－2·＋12＝－10＋12＝2可知，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0，0≤a≤1．
[解]　由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0．
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；
③当1－a综上所述，当0≤a<时，解集为{x|a＜x＜1－a}；
当a＝时，解集为 ；
当16．(本小题满分15分)(1)若正数x，y满足x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围．
(2)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1．求证：≥10．
[解]　(1)xy＝x＋y＋8≥2＋8，
所以()2－2－8≥0，
所以(－4)(＋2)≥0，
所以≥4，
所以xy≥16(当且仅当x＝y＝4时取等号)，
所以xy的取值范围为[16，＋∞)．
(2)证明：＝
＝4＋≥4＋2＋2＋2＝10，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以≥10．
17．(本小题满分15分)已知关于x的不等式2kx2＋kx－<0，k≠0．
(1)若不等式的解集为，求k的值；
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
[解]　(1)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为，
所以－和1是方程2kx2＋kx－＝0的两个实数根，由根与系数的关系可得－×1＝，得k＝．
(2)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为R，k≠0，
所以解得－3故k的取值范围为{k|－318．(本小题满分17分)某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中p＞q＞0，经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？
方案 第一次(提价) 第二次(提价)
甲 p% q%
乙 q% p%
丙 (p＋q)% (p＋q)%
[解]　设商品原价为a，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N甲、N乙、N丙，则
N甲＝a(1＋p%)(1＋q%)，
N乙＝a(1＋q%)(1＋p%)，
N丙＝a＝a．
显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a与a(1＋p%)(1＋q%)的大小．
N甲－N丙＝a＝(2pq－p2－q2)
＝－(p－q)2＜0．
∴N丙＞N甲，
∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大．
19．(本小题满分17分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(单位：千辆/时)与汽车的平均速度v(单位：千米/时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
[解]　(1)y＝＝＝≈11.08．
当且仅当v＝，即v＝(40千米/时)时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64．
所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64(千米/时)这个范围内．
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