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第2课时　函数的概念(二)
学习任务 核心素养
1．会判断两个函数是不是同一个函数．(重点) 2．会求一些简单函数的值域．(难点) 1．通过判断两个函数为同一个函数，提升数学抽象素养． 2．通过求一些简单函数的值域，提升逻辑推理、数学运算素养．
(1)函数f (x)＝与g(x)＝x是同一个函数吗？为什么？
(2)函数h(x)＝x0与φ(x)＝1是同一个函数吗？为什么？
知识点1　同一个函数
两个函数f (x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f (x)＝g(x)时，叫作相等．也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数．
定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一个函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．
1．给出下列两组函数，其中表示同一个函数的是________．(填序号)
①f (x)＝x，g(x)＝；
②f (x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1．
[答案]　②
知识点2　常见函数的值域
函数 定义域 值域
f (x)＝ax＋b(a≠0) R R
f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) R 当a>0时，值域为
当a<0时，值域为
y＝(a≠0) {x|x≠0} {y|y≠0}
2．函数f (x)＝x2＋1的值域为________．
[1，＋∞)　[∵f (x)＝x2＋1≥1，∴f (x)的值域为[1，＋∞)．]
类型1　同一个函数的判断
【例1】　【链接教材P66例2】
(多选题)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f (x)＝与g(x)＝x
B．f (x)＝x与g(x)＝
C．f (x)＝x0与g(x)＝
D．f (x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
CD　[对于A，f (x)＝＝－x与g(x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．
对于B，g(x)＝＝|x|与f (x)＝x的对应关系和值域不同，故不是同一个函数．
对于C，f (x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一个函数．
对于D，f (x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一个函数．故选CD．]
【教材原题·P66例2】
例2　下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？
(1)y＝()2；
(2)y＝；
(3)y＝．
[解]　(1)函数y＝()2＝x(x∈[0，＋∞))，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同，但定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．
(2)函数y＝＝x(x∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数．
(3)函数y＝＝t(t∈(－∞，0)∪(0，＋∞))，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同，但定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．
　同一个函数的判断应注意的3点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
[跟进训练]
1．下列各组函数：
①f (x)＝，g(x)＝x－1；
②f (x)＝，g(x)＝；
③f (x)＝，g(x)＝；
④f (x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一个函数的是________．(填上所有正确的序号)
③⑤　[①不是同一个函数，定义域不同，
f (x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R．
②不是同一个函数，对应关系不同，f (x)＝，g(x)＝．
③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．
④不是同一个函数，值域不同，f (x)≥0，g(x)∈R．
⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．]
类型2　求函数的值域
【例2】　求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(2)y＝＋1；
(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5]；
(4)y＝．
结合不同的函数类型及函数的图象特征，思考选用哪种方式求最值．
[解]　(1)∵y＝2x＋1，且x∈{1，2，3，4，5}，
∴y∈{3，5，7，9，11}．
∴函数的值域为{3，5，7，9，11}．
(2)∵≥0，∴＋1≥1．
∴函数的值域为[1，＋∞)．
(3)配方得y＝(x－2)2＋2．
∵x∈[1，5]，画函数图象如图所示，由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2，11]．
(4)∵y＝＝＝3＋≠3，
∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．
　求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数解析式通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
[跟进训练]
2．求下列函数的值域：
(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；
(2)y＝x＋．
[解]　(1)∵x∈[－5，－2]在对称轴x＝－1的左侧，
∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升．
∴当x＝－5时，ymin＝－12，当x＝－2时，ymax＝3．
∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12，3]．
(2)法一：设u＝，则u≥0，∴x＝．
∴y＝＋u＝(u＋1)2．
∵u≥0，∴y≥，
∴y＝x＋的值域为．
法二：∵2x－1≥0，∴x≥．
而当x增大时y也增大，∴y≥，
∴y＝x＋的值域为．
1．函数f (x)＝的定义域为(　　)
A．(－1，1) B．[0，1]
C．{1} D．[－1，1]
C　[要使函数有意义，则有解得1≤x≤1，即x＝1．故函数f (x)的定义域为{1}，故选C．]
2．(教材P67练习T2(1)改编)下列函数中，与函数y＝x是同一个函数的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝|x| D．y＝
D　[函数y＝x的定义域为R；y＝()2的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R．故选D．]
3．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(　　)
A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
A　[当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1，0，3}．]
4．将函数y＝的定义域用区间表示为________．
(－∞，0)∪(0，1]　[由
解得x≤1且x≠0，
用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．]
5．函数f (x)＝的值域为________．
(－∞，－3)∪(－3，＋∞)　[f (x)＝＝＝－3＋≠－3，
∴函数的值域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何判断两个函数是否是同一个函数？
[提示]　判定两个函数是不是同一个函数时，就看定义域和对应关系是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．
2．求函数值域的常用方法有哪些？
[提示]　(1)观察法；(2)配方法；(3)分离常数法；(4)换元法．
课时分层作业(十八)　函数的概念(二)
一、选择题
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)
D　[由题意可得解得x≥－1且x≠1，
故函数y＝的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．]
2．函数y＝的值域为(　　)
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，－1]
B　[由题意得，x＋1≥0，则有y≥0，所以B正确．]
3．下列各组函数中是同一个函数的是(　　)
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
B　[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，故选B．]
4．已知函数y＝f (x)与函数y＝是同一个函数，则函数y＝f (x)的定义域是(　　)
A．[－3，1] B．(－3，1)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，1]
A　[由于y＝f (x)与y＝是同一个函数，故二者定义域相同，所以y＝f (x)的定义域为{x|－3≤x≤1}，故写成区间形式为[－3，1]．故选A．]
5．若函数f (x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的值是(　　)
A．－1 B．－1或3
C．3 D．0
A　[由题意得， a＝－1．]
二、填空题
6．试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数________．
y＝(x＋1)2(答案不唯一)　[函数y＝x2与y＝(x＋1)2的定义域和值域都相同．]
7．函数y＝的定义域用区间表示为________．
(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6]　[要使函数有意义，需满足
即
∴定义域为(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，6]．]
8．函数y＝的值域为__________．
　[∵x2＋x＋1＝＋，
∴0<．
∴值域为．]
三、解答题
9．求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝2x－．
[解]　(1)y＝＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2，
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(2)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，
所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，
由t≥0，结合函数的图象(如图)可得原函数的值域为．
10．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域．
(1)x∈R；(2)x∈[0，＋∞)；(3)x∈[－2，2]；(4)x∈[1，2]．
[解]　(1)∵y＝(x＋1)2－4，∴y≥－4，
∴值域为[－4，＋∞)．
(2)∵y＝x2＋2x－3的图象如图所示，当x＝0时，y＝－3，
∴当x∈[0，＋∞)时，值域为[－3，＋∞)．
(3)根据图象可得当x＝－1时，y＝－4；
当x＝2时，y＝5．
∴当x∈[－2，2]时，值域为[－4，5]．
(4)根据图象可得当x＝1时，y＝0；
当x＝2时，y＝5．
∴当x∈[1，2]时，值域为[0，5]．
11．(多选题)下列函数中，定义域是其值域子集的有(　　)
A．y＝x＋6 B．y＝－x2－2x＋5
C．y＝ D．y＝－1
AC　[A中，定义域和值域都为R，符合题意．
B中，y＝－x2－2x＋5＝－(x＋1)2＋6，定义域为R，值域为(－∞，6]，不符合题意．
C中，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，符合题意．D中，定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠－1}，不符合题意，故选AC．]
12．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有(　　)
A．10个 B．9个
C．8个 D．4个
B　[由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域包含2个元素的集合有4个，定义域包含3个元素的集合有4个，定义域包含4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]
13．已知集合A＝{x|y＝}，若函数f (x)＝－x，x∈A，则函数f (x)的值域是________．
(－∞，2]　[∵A＝{x|y＝}＝{x|x≥－2}，
∴－x≤2，即函数f (x)的值域是(－∞，2]．]
14．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当a≥b时，a*b＝a；当a[－2，2]　[由题意知f (x)＝x2－2，
因为x∈(－2，2]，
所以x2∈[0，4]，
所以f (x)∈[－2，2]．]
15．已知函数f (x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
[解]　存在．理由如下：
f (x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的对称轴为x＝1，顶点为(1，1)且图象开口向上．
∵m>1，
∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，
∴要使f (x)的定义域和值域都是[1，m]，
则有
∴m2－m＋＝m，
即m2－4m＋3＝0，
∴m＝3或m＝1(舍)，
∴存在实数m＝3满足条件．
10/10第2课时　函数的概念(二)
学习任务 核心素养
1．会判断两个函数是不是同一个函数．(重点) 2．会求一些简单函数的值域．(难点) 1．通过判断两个函数为同一个函数，提升数学抽象素养． 2．通过求一些简单函数的值域，提升逻辑推理、数学运算素养．
(1)函数f (x)＝与g(x)＝x是同一个函数吗？为什么？
(2)函数h(x)＝x0与φ(x)＝1是同一个函数吗？为什么？
知识点1　同一个函数
两个函数f (x)和g(x)，当且仅当有相同的__________且对__________都有f (x)＝g(x)时，叫作相等．也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数．
定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一个函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．
1．给出下列两组函数，其中表示同一个函数的是________．(填序号)
①f (x)＝x，g(x)＝；
②f (x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1．
知识点2　常见函数的值域
函数 定义域 值域
f (x)＝ax＋b(a≠0) R __________
f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) R 当a>0时，值域为_______
当a<0时，值域为_______
y＝(a≠0) __________ __________
2．函数f (x)＝x2＋1的值域为________．
类型1　同一个函数的判断
【例1】　【链接教材P66例2】
(多选题)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f (x)＝与g(x)＝x
B．f (x)＝x与g(x)＝
C．f (x)＝x0与g(x)＝
D．f (x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　同一个函数的判断应注意的3点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
[跟进训练]
1．下列各组函数：
①f (x)＝，g(x)＝x－1；
②f (x)＝，g(x)＝；
③f (x)＝，g(x)＝；
④f (x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一个函数的是________．(填上所有正确的序号)
类型2　求函数的值域
【例2】　求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(2)y＝＋1；
(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5]；
(4)y＝．
结合不同的函数类型及函数的图象特征，思考选用哪种方式求最值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数解析式通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
[跟进训练]
2．求下列函数的值域：
(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；
(2)y＝x＋．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函数f (x)＝的定义域为(　　)
A．(－1，1) B．[0，1]
C．{1} D．[－1，1]
2．(教材P67练习T2(1)改编)下列函数中，与函数y＝x是同一个函数的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝|x| D．y＝
3．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(　　)
A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
4．将函数y＝的定义域用区间表示为________．
5．函数f (x)＝的值域为________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何判断两个函数是否是同一个函数？
2．求函数值域的常用方法有哪些？
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