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3.1.3　简单的分段函数
学习任务 核心素养
1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点、难点) 2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点) 1．通过分段函数求值问题培养数学运算素养． 2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．
设x为任意实数，y是不超过x的最大整数，填写下表．
x 6.35 5 π － －1.5 －2
y 6
(1)y是关于x的函数吗？
(2)当－1≤x≤1时，y与x的关系如何表示？
知识点　分段函数
一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数．
分段函数是一个函数还是几个函数？
[提示]　分段函数是一个函数，而不是几个函数．
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分段函数由几个函数构成． (　　)
(2)函数f (x)＝是分段函数． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√
2．下列给出的式子是分段函数的是(　　)
①f (x)＝
②f (x)＝
③f (x)＝
④f (x)＝
A．①②　　　　 B．①④
C．②④ D．③④
B　[结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B．]
类型1　分段函数的求值问题
【例1】　已知函数f (x)＝
(1)求f (－5)，f (－)，f 的值；
(2)若f (a)＝3，求实数a的值．
[解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，
f (－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2．
∵f ＝－＋1＝－，
而－2<－<2，
∴f ＝f ＝＋2×＝－3＝－．
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，
即a＝2>－2，不合题意，舍去．
当－2即a2＋2a－3＝0．
∴(a－1)(a＋3)＝0，
解得a＝1或a＝－3．
∵1∈(－2，2)，－3 (－2，2)，
∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f (a)＝3时，a＝1或a＝2．
　1．分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
[跟进训练]
1．已知a∈R，函数f (x)＝若f (f ())＝3，则a＝________．
2　[因为>2，所以f ()＝6－4＝2，
所以f (f ())＝f (2)＝1＋a＝3，解得a＝2．]
类型2　分段函数的图象及应用
【例2】　已知函数f (x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f (x)，g(x)}(即f (x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域、值域．
[解]　(1)在同一个坐标系中画出函数f (x)，g(x)的图象如图①．
①　　　　　　　　②
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②．
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1．
结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1]．
　分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示f (x)；
(2)画出f (x)的图象；
(3)写出函数f (x)的值域．
[解]　(1)当0≤x≤2时，f (x)＝1＋＝1，
当－2f (x)＝1＋＝1－x，
∴f (x)＝
(2)函数f (x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f (x)在(－2，2]上的值域为[1，3)．
类型3　分段函数的实际应用
【例3】　【链接教材P74例6】如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
当直线l从B点向右移动时左边部分分别是什么图形，相应图形的面积能否直接套用公式求解．
[解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm．
(1)当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10．
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图象如图所示．
【教材原题·P74例6】
例6　为推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展，推动形成绿色低碳的生产方式和生活方式，某地采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100 kW·h，按0.57元/(kW·h)计费；每月用电量超过100 kW·h，其中100 kW·h仍按原标准收费，超过部分按1.5元/(kW·h)计费．
(1)设月用电x kW·h，应交电费y元，写出y关于x的函数解析式．
(2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表：
月份 1 2 3 合计
计费金额/元 114 75 45.6 234.6
问：小赵家第一季度共用电多少？
[解]　(1)当0≤x≤100时，月电费＝月用电量×标准电价，可得y＝0.57x；
当x>100时，月电费＝100 kW·h的电费＋超过100 kW·h部分的电费，可得y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93．
所以y＝
(2)由(1)可知，当电费不超过57元时，说明月用电量不超过100 kW·h；当电费超过57元时，说明月用电量超过100 kW·h．因此，用电量应使用函数的不同关系式来计算．
因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即1.5x－93＝114，1.5x－93＝75，分别算出1月份用电138 kW·h，2月份用电112 kW·h；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，有0.57x＝45.6，算出3月份用电80 kW·h．
因此，小赵家第一季度共用电330 kW·h．
　分段函数的建模
(1)当函数在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
[跟进训练]
3．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5千米以内(含5千米)，票价2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按照5千米计算)．
如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
[解]　设票价为y元，里程为x千米，定义域为(0，20]．
由题意得函数的解析式如下：
y＝
函数图象如图所示：
1．已知函数f (x)＝则f (3)的值是(　　)
A．1 B．2
C．8 D．9
A　[f (3)＝3－2＝1．]
2．(教材P76练习T1改编)函数f (x)＝|x－1|的图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
B　[f (x)＝|x－1|＝故选B．]
3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站匀减速停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
B　[火车从某站出发，先匀加速行驶再匀速行驶，速度从0均匀增加，然后速度不变，然后速度均匀减到0，一段时间后，重复匀加速和匀速过程．]
4．已知函数f (x)＝则f (3)＝________．
　[因为3＞0，所以f (3)＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何求分段函数的定义域和值域？
[提示]　分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
2．画分段函数的图象应注意哪些问题？
[提示]　分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心圈还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．
3．分段函数求值的关键是什么？
[提示]　分段函数求值的关键是找准自变量所在的区间．
课时分层作业(二十)　简单的分段函数
一、选择题
1．设函数f (x)＝则f (f (3))＝(　　)
A． B．3
C．
D　[∵f (3)＝≤1，
∴f (f (3))＝＋1＝．]
2．函数f (x)＝x＋的图象是(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
C　[当x>0时，f (x)＝x＋＝x＋1，
当x<0时，f (x)＝x－1，且x≠0，
根据一次函数图象可知C正确．故选C．]
3．函数f (x)＝的值域是(　　)
A．R B．[0，2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0，3]
B　[当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f (x)≤2；当14．已知函数f (x)＝若f (x)＝3，则x的值是(　　)
A． B．9
C．－1或1 D．－或
A　[依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若05．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　)
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
A　[该单位职工每月应缴水费y(元)与实际用水量x(立方米)满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10．令2mx－10m＝16m，解得x＝13．]
二、填空题
6．已知f (x)＝则f ＋f ＝________．
4　[∵f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝2×＝，
f ＝2×＝，
∴f ＋f ＝＝＝4．]
7．已知实数a≠0，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (1＋a)，则a的值为________．
－　[当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－(舍去)．
当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－．]
8．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
－　[当a≥0时，两图象有两个交点，所以a<0，当a<0时，在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．
由题意，可知2a＝－1，则a＝－．]
三、解答题
9．(源自人教B版教材)北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价．其中年用水量不超过180 m3的部分，综合用水单价为5元/m3；超过180 m3但不超过260 m3的部分，综合用水单价为7元/m3．如果北京市一居民年用水量为x m3，其要缴纳的水费为f (x)元．假设0≤x≤260，试写出f (x)的解析式，并作出f (x)的图象．
[解]　如果x∈[0，180]，则f (x)＝5x；
如果x∈(180，260]，按照题意有
f (x)＝5×180＋7(x－180)＝7x－360．
因此f (x)＝
注意到f (x)在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此y＝f (x)在每个区间上的图象都是直线的一部分，又因为
f (180)＝5×180＝900，
f (260)＝7×260－360＝1 460，
由此可作出函数的图象，如图所示．
10．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f (x)的解析式．
[解]　当点P在BC上运动，即0≤x≤4时，y＝×4×x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8综上可知，f (x)＝
11．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D(D(x))等于(　　)
A．0 B．1
C．
B　[当x为无理数时，D(x)＝0，∴D(D(x))＝D(0)＝1；
当x为有理数时，D(x)＝1，∴D(D(x))＝D(1)＝1．
综上可知B正确．]
12．(多选题)已知函数f (x)＝关于函数f (x)的结论正确的是(　　)
A．f (x)的值域为(－∞，4)
B．f (1)＝3
C．若f (x)＝3，则x的值是
D．f (x)<1的解集为(－1，1)
AC　[当x≤－1时，f (x)的取值范围是(－∞，1]，当－113．定义符号函数sgn (x)＝则不等式x＋2＞(2x－1)sgn (x)的解集为________．
　[当x＞0时，原不等式化为
x＋2＞2x－1，解得0＜x＜3；
当x＝0时，原不等式化为x＋2＞1，此时解得x＝0；
当x＜0时，2x－1＜0，原不等式化为x＋2＞，
即(x＋2)(2x－1)＜1，此时解得－＜x＜0．
综上可得，原不等式的解集为．]
14．若定义运算a⊙b＝则函数f (x)＝x⊙(2－x)的解析式为________，值域为________．
f (x)＝(－∞，1]　[由题意可知，
f (x)＝
画出函数f (x)的图象得值域为(－∞，1]．]
15．已知函数f (x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x－3|．
(1)在同一平面直角坐标系中作出f (x)，g(x)的图象；
(2) x∈R，用min(x)表示f (x)，g(x)中的较小者，记作min(x)＝{f (x)，g(x)}，请用图象法和解析法表示min(x)；
(3)求满足f (x)>g(x)的x的取值范围．
[解]　(1)f (x)＝
g(x)＝
则对应的图象如图：
(2)min(x)图象如图：
解析式为min(x)＝
(3)若f (x)>g(x)，
则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件．
此时对应的x满足x>0或x<－2，即不等式f (x)>g(x)的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
14/143.1.3　简单的分段函数
学习任务 核心素养
1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点、难点) 2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点) 1．通过分段函数求值问题培养数学运算素养． 2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．
设x为任意实数，y是不超过x的最大整数，填写下表．
x 6.35 5 π － －1.5 －2
y 6
(1)y是关于x的函数吗？
(2)当－1≤x≤1时，y与x的关系如何表示？
知识点　分段函数
一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由__________的解析式给出，这种函数叫作分段函数．
分段函数是一个函数还是几个函数？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分段函数由几个函数构成． (　　)
(2)函数f (x)＝是分段函数． (　　)
2．下列给出的式子是分段函数的是(　　)
①f (x)＝
②f (x)＝
③f (x)＝
④f (x)＝
A．①②　　　　 B．①④
C．②④ D．③④
类型1　分段函数的求值问题
【例1】　已知函数f (x)＝
(1)求f (－5)，f (－)，f 的值；
(2)若f (a)＝3，求实数a的值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
[跟进训练]
1．已知a∈R，函数f (x)＝若f (f ())＝3，则a＝________．
类型2　分段函数的图象及应用
【例2】　已知函数f (x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f (x)，g(x)}(即f (x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域、值域．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示f (x)；
(2)画出f (x)的图象；
(3)写出函数f (x)的值域．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　分段函数的实际应用
【例3】　【链接教材P74例6】如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
当直线l从B点向右移动时左边部分分别是什么图形，相应图形的面积能否直接套用公式求解．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分段函数的建模
(1)当函数在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
[跟进训练]
3．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5千米以内(含5千米)，票价2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按照5千米计算)．
如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知函数f (x)＝则f (3)的值是(　　)
A．1 B．2
C．8 D．9
2．(教材P76练习T1改编)函数f (x)＝|x－1|的图象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站匀减速停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
4．已知函数f (x)＝则f (3)＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何求分段函数的定义域和值域？
2．画分段函数的图象应注意哪些问题？
3．分段函数求值的关键是什么？
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