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第2课时　函数的最大(小)值
学习任务 核心素养
1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点) 2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点) 3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点) 1．借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养． 2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．
科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图说说气温的变化情况．
(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为f (x)，则f (x)在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
知识点　函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设D是函数f (x)的定义域，如果有a∈D， x∈D，都有
f (x)__________f (a)＝M f (x)__________f (a)＝M
结论 M是函数f (x)的最大值 M是函数f (x)的最小值
几何 意义 f (x)图象上最高点的__________ f (x)图象上最低点的__________
若函数f (x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有最大(小)值． (　　)
(2)函数f (x)在[a，b]上的最值一定是f (a)(或f (b))． (　　)
(3)函数的最大值一定比最小值大． (　　)
2．函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．－1，0　　B．0，2　　C．－1，2　　D．，2
类型1　图象法求函数的最值(值域)
【例1】　已知函数f (x)＝
(1)在直角坐标系内画出f (x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　图象法求最值的基本步骤
[跟进训练]
1．若x∈R，f (x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f (x)的最大值为(　　)
A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．无最大值
2．设函数f (x)＝2x－1(x<0)，则f (x)(　　)
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
3．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为(　　)
A．[0，3] B．[－1，0]
C．[－1，＋∞) D．[－1，3]
4．函数f (x)＝则f (x)的最大值为________，最小值为________．
5．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何理解函数最值的定义？
2．求函数最值的常用方法有哪些？
3．如何求分段函数的最值？
3/3第2课时　函数的最大(小)值
学习任务 核心素养
1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点) 2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点) 3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点) 1．借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养． 2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．
科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图说说气温的变化情况．
(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为f (x)，则f (x)在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
知识点　函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设D是函数f (x)的定义域，如果有a∈D， x∈D，都有
f (x)≤f (a)＝M f (x)≥f (a)＝M
结论 M是函数f (x)的最大值 M是函数f (x)的最小值
几何 意义 f (x)图象上最高点的纵坐标 f (x)图象上最低点的纵坐标
若函数f (x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
[提示]　不一定，只有定义域内存在一点x0，使f (x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有最大(小)值． (　　)
(2)函数f (x)在[a，b]上的最值一定是f (a)(或f (b))． (　　)
(3)函数的最大值一定比最小值大． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．－1，0　　B．0，2　　C．－1，2　　D．，2
C　[由题图可知，f (x)的最大值为f (1)＝2，f (x)的最小值为f (－2)＝－1．]
类型1　图象法求函数的最值(值域)
【例1】　已知函数f (x)＝
(1)在直角坐标系内画出f (x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[解]　(1)图象如图所示：
(2)由图可知f (x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]．
　图象法求最值的基本步骤
[跟进训练]
1．若x∈R，f (x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f (x)的最大值为(　　)
A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．无最大值
B　[f (x)的图象如图所示，则f (x)的最大值是1，故选B．
]
类型2　单调性法求函数的最值(值域)
【例2】　【链接教材P81例2】
已知函数f (x)＝．
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
[解]　(1)f (x)在(－1，＋∞)上单调递增，证明如下：设x1和x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1＜x2，
则f (x1)－f (x2)＝＝，
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f (x1)－f (x2)<0 f (x1)所以f (x)在(－1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知f (x)在[2，4]上单调递增，
所以f (x)的最小值为f (2)＝＝，
最大值为f (4)＝＝．
【教材原题·P81例2】
例2　证明函数f (x)＝x＋(x>0)在区间(0，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增，并指出函数在区间(0，＋∞)上的最值点和最值．
[解]　①设x1和x2是区间(0，1]上任意两个实数，且x1由01，
于是k＝1－<0．
所以，函数f (x)在区间(0，1]上单调递减．
②设x1和x2是区间[1，＋∞)上任意两个实数，且x1由x2>x1≥1，得x1x2>1，<1，
于是k＝1－>0．
所以，函数f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
综合①②可知，在区间(0，＋∞)上，函数f (x)在x＝1处取到最小值，最小值f (1)＝2，最小值点为1．
　函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b)．
(2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
[跟进训练]
2．求函数f (x)＝x＋在[1，4]上的最值．
[解]　设x1和x2是区间[1，2)上任意两个实数，且x1＜x2，则f (x1)－f (x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2)·＝．
∵1≤x10，
∴f (x1)>f (x2)，∴f (x)在[1，2)上单调递减．
同理f (x)在[2，4]上单调递增．
∴当x＝2时，f (x)取得最小值4；
当x＝1或x＝4时，f (x)取得最大值5．
类型3　函数最值的实际应用
【例3】　一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
由年销售总收入随x的不同而有不同的对应关系，思考选择什么模型构建y与x的函数关系式．
[解]　(1)当020时，y＝260－100－x＝160－x．故y＝(x∈N＋)．
(2)当020时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
　解实际应用题的4个步骤
[跟进训练]
3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
[解]　设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000．
故当x＝70时，y最大值＝9 000．
即售价为70元时，利润最大值为9 000元．
1．(教材P82练习T1改编)函数y＝在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．1，　　B．2，1　　C．　　D．2，
A　[因为函数y＝在区间[2，4]上单调递减，所以其最大值、最小值分别是＝1，＝．故选A．]
2．设函数f (x)＝2x－1(x<0)，则f (x)(　　)
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
D　[∵f (x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f (x)3．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为(　　)
A．[0，3] B．[－1，0]
C．[－1，＋∞) D．[－1，3]
D　[∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数取得最小值为－1，
当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D．]
4．函数f (x)＝则f (x)的最大值为________，最小值为________．
10　6　[当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，∴f (x)最小值＝f (－1)＝6，f (x)最大值＝f (2)＝10．]
5．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m．
3　[设隔墙长为x(0则y＝x·＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，
∴当x＝3时y最大值＝18．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何理解函数最值的定义？
[提示]　函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．
2．求函数最值的常用方法有哪些？
[提示]　(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；
(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；
(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．
3．如何求分段函数的最值？
[提示]　可先分段求出每段的最值，再采用“大中取大，小中取小”的原则求出最值．
课时分层作业(二十二)　函数的最大(小)值
一、选择题
1．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)
A．2　　　　B．　　　　C．　　　　D．－
B　[∵函数y＝在[2，3]上单调递减，∴当x＝3时，y最小值＝＝．]
2．函数f (x)＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为(　　)
A．[－6，－2] B．[－11，－2]
C．[－11，－6] D．[－11，－1]
B　[函数f (x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0，5]，所以当x＝2时，f (x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；当x＝5时，f (x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，所以函数f (x)的值域是[－11，－2]．故选B．]
3．函数y＝|x＋1|＋2的最小值是(　　)
A．0 B．－1 C．2 D．3
C　[y＝|x＋1|＋2的图象如图所示．
由图可知函数的最小值为2．]
4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
C　[设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝＋30＋，
∴当x＝9或10时，L的最大值为120万元．]
5．(多选题)下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0，2]的说法正确的是(　　)
A．当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1
B．当a<0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1
C．当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1
D．当a>0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1
AD　[当a>0时，y＝ax＋1在[0，2]上单调递增，
∴当x＝0时，y最小值＝1，
当x＝2时，y最大值＝2a＋1；
当a<0时，y＝ax＋1在[0，2]上单调递减，
∴当x＝0时，y最大值＝1，
当x＝2时，y最小值＝2a＋1．故选AD．]
二、填空题
6．函数f (x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________．
4　[因为f (x)＝在[1，b]上单调递减，所以f (x)在[1，b]上的最小值为f (b)＝＝，所以b＝4．]
7．已知函数f (x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值为________．
1　[函数f (x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0，1]，且函数有最小值－2．
故当x＝0时，函数有最小值，
当x＝1时，函数有最大值．
∵当x＝0时，f (0)＝a＝－2，
∴f (x)最大值＝f (1)＝－1＋4－2＝1．]
8．函数f (x)＝－3x在区间[2，4]上的最大值为________．
－4　[∵y＝在区间[2，4]上单调递减，y＝－3x在区间[2，4]上单调递减，∴函数f (x)＝－3x在区间[2，4]上单调递减，∴f (x)最大值＝f (2)＝－3×2＝－4．]
三、解答题
9．已知函数f (x)＝(x>0)．
(1)求证：f (x)在(0，1]上单调递增；
(2)求函数f (x)的最大值和最小值．
[解]　(1)证明：设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f (x1)－f (x2)＝＝＝．
当00，x1x2－1<0，
∴f (x1)－f (x2)<0，f (x1)∴f (x)在(0，1]上单调递增．
(2)由(1)知，当1≤x10，x1x2－1>0，
f (x1)－f (x2)>0，f (x1)>f (x2)，
∴f (x)在[1，＋∞)上单调递减．
∴结合(1)(2)可知，f (x)最大值＝f (1)＝，无最小值．
10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f (x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
[解]　(1)因为f (x)是一次函数，设f (x)＝ax＋b(a≠0)，由表格得方程组解得
所以y＝f (x)＝－3x＋162．
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]．
(2)由题意得，
P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860
＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]．
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
11．函数f (x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A． B．－ C．－2 D．2
A　[∵f (x)＝－x＋在上单调递减，
∴f (x)最大值＝f (－2)＝2－＝．]
12．(多选题)已知函数f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，下列结论正确的是(　　)
A． x∈[－2，2]，f (x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3
B． x∈[－2，2]，f (x)>a，则实数a的取值范围是a<－3
C． x∈[0，3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3
D． x∈[－2，2]， t∈[0，3]，f (x)＝g(t)
AC　[在A中，因为f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1，3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中， x∈[－2，2]， t∈[0，3]，f (x)＝g(t)等价于f (x)的值域是g(t)的值域的子集，而f (x)的值域是[－3，5]，g(t)的值域是[－1，3]，D错误．]
13．已知函数f (x)＝则函数f (x)的最大值为________，最小值为________．
2　－　[作出f (x)的图象如图．由图象可知，当x＝2时，f (x)取最大值为2；
当x＝时，f (x)取最小值为－．
所以f (x)的最大值为2，最小值为－．]
14．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f (x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f (x)的最大值为________．
6　[在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．
根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f (x)的图象应为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6)．
由图象可知，其最大值为交点的纵坐标，所以f (x)的最大值为6．]
15．已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
(1)已知f (x)＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f (x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f (x)和函数g(x)＝－x－2a，若对于任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g(x2)＝f (x1)成立，求实数a的值．
[解]　(1)f (x)＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，故y＝u＋－8，u∈[1，3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f (x)单调递减，所以递减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f (x)单调递增，所以递增区间为．
由f (0)＝－3，f ＝－4，f (1)＝－，得f (x)的值域为[－4，－3]．
(2)由于g(x)＝－x－2a，在x∈[0，1]上单调递减，
故g(x)∈[－1－2a，－2a]．
由题意，知f (x)的值域为g(x)的值域的子集，从而解得a＝．
12/12

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