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类型1　求函数的定义域
求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集．
【例1】　(1)函数y＝的定义域为________．
(2)已知函数y＝f (x－1)的定义域是[－1，2]，则y＝f (1－3x)的定义域为________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　求函数的解析式
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f (g(x))的解析式求f (x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．
(3)含f (x)与f (－x)或f (x)与f ，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求其对称区间的解析式，可用奇偶性转移法．
【例2】　已知f ＝，则f (x)的解析式为________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　函数的性质及应用
函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意易漏定义域的影响．
【例3】　定义在(－1，1)上的函数f (x)满足：对任意的x，y∈(－1，1)，都有f (x)＋f (y)＝f ．
(1)求证：函数f (x)是奇函数；
(2)若当x∈(－1，0)时，有f (x)＞0，求证：f (x)在(－1，1)上是减函数；
(3)在(2)的条件下，若f ＝－1，f (x)≤t2－2at＋1对所有x∈，a∈[－1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型4　函数图象的画法及应用
利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等．
【例4】　已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
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3/3类型1　求函数的定义域
求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集．
【例1】　(1)函数y＝的定义域为________．
(2)已知函数y＝f (x－1)的定义域是[－1，2]，则y＝f (1－3x)的定义域为________．
(1){x|1≤x≤5且x≠3}　(2)[0，1]　[(1)由题意得解得
故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．
(2)由题意得，－1≤x≤2，
则－2≤x－1≤1，即－2≤1－3x≤1，
∴0≤x≤1．]
类型2　求函数的解析式
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f (g(x))的解析式求f (x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．
(3)含f (x)与f (－x)或f (x)与f ，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求其对称区间的解析式，可用奇偶性转移法．
【例2】　已知f ＝，则f (x)的解析式为________．
f (x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)　[令t＝＝＋1，则t≠1．把x＝代入f ＝，
得f (t)＝＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1．
所以所求函数的解析式为
f (x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]
类型3　函数的性质及应用
函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意易漏定义域的影响．
【例3】　定义在(－1，1)上的函数f (x)满足：对任意的x，y∈(－1，1)，都有f (x)＋f (y)＝f ．
(1)求证：函数f (x)是奇函数；
(2)若当x∈(－1，0)时，有f (x)＞0，求证：f (x)在(－1，1)上是减函数；
(3)在(2)的条件下，若f ＝－1，f (x)≤t2－2at＋1对所有x∈，a∈[－1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
[解]　(1)证明：令x＝y＝0，得f (0)＝0．
设任意x∈(－1，1)，则－x∈(－1，1)，令y＝－x，
∴f (x)＋f (－x)＝f (0)＝0，即f (－x)＝－f (x)，∴函数f (x)是奇函数．
(2)证明：设x1和x2是区间(－1，1)上任意两个实数，且x1＜x2，则f (x1)－f (x2)＝f (x1)＋f (－x2)＝f ．
由－1＜x1＜x2＜1知x1－x2＜0，且|x1|＜1，|x2|＜1，∴|x1x2|＜1，即1－x1x2＞0，∴＜0，
又－(－1)＝＞0，即∈(－1，0)，∴f ＞0，即f (x1)－f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2)．
∴f (x)在(－1，1)上是减函数．
(3)由(2)知函数f (x)在(－1，1)上是减函数，则当x∈时，函数f (x)的最大值为f ＝－f ＝1，则t2－2at＋1≥1，即t2－2at≥0，对任意a∈[－1，1]恒成立，
设g(a)＝t2－2at＝－2ta＋t2，
则即即
解得t≥2或t＝0或t≤－2．
即实数t的取值范围是[2，＋∞)∪{0}∪(－∞，－2]．
类型4　函数图象的画法及应用
利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等．
【例4】　已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
(0，1)∪(1，4)　[y＝＝
函数y＝的图象如图所示：
y＝kx－2的图象恒过(0，－2)，结合图象可知，实数k的取值范围是(0，1)∪(1，4)．]
章末综合测评(三)　函数的概念与性质
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f (x)＝的定义域是(　　 )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞)
D．R
C　[要使函数有意义，需满足
即x≥－1且x≠0．]
2．已知f (x)＝则f (3)＝(　　 )
A．7　　　　B．2　　　　C．10　　　　D．12
D　[∵3>1，
∴f (3)＝32＋3＝12．]
3．已知函数f (x)＝x2－4x，x∈[1，5]，则函数f (x)的值域是(　　 )
A．[－4，＋∞) B．[－3，5]
C．[－4，5] D．(－4，5]
C　[由f (x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，
当x＝2时，f (x)取到最小值－4，
当x＝5时，f (x)取得最大值5，
故值域为[－4，5]．]
4．函数f (x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f (5)＝10，则f (－5)等于(　　 )
A．－10 B．－2
C．－6 D．14
B　[∵f (5)＝125a＋5b＋4＝10，
∴125a＋5b＝6，
∴f (－5)＝－125a－5b＋4＝－(125a＋5b)＋4＝－6＋4＝－2．]
5．偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，若f (－2)＝1，则f (x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[0，2] B．[－2，2]
C．[0，4] D．[－4，4]
C　[因为函数f (x)是偶函数，f (－2)＝1，所以f (2)＝1．因为f (x－2)≤1，所以－2≤x－2≤2，解得0≤x≤4．故选C．]
6．已知定义域为R的奇函数f (x)满足f ＝f ，且当0≤x≤1时，f (x)＝x3，则f 等于(　　)
A．－ B．－
C．
B　[f ＝f ＝f ＝f ，
∵f (x)为奇函数，
∴f ＝－f ＝－．
∴f ＝－．]
7．如果函数f (x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t都有f (2＋t)＝f (2－t)，那么(　　 )
A．f (2)C．f (4)A　[由题意知f (x)的对称轴是直线x＝2，再由二次函数的单调性，可得f (2)8．若定义在R上的函数f (x)满足：对任意x1，x2∈R，有f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，则下列说法一定正确的是(　　)
A．f (x)－1为奇函数 B．f (x)－1为偶函数
C．f (x)＋1为奇函数 D．f (x)＋1为偶函数
C　[令x1＝x2＝0，则f (0)＝2f (0)＋1，
解得f (0)＝－1，令x1＝x，x2＝－x，
则f (0)＝f (x)＋f (－x)＋1，
化为f (－x)＋1＝－[f (x)＋1]，
∴函数f (x)＋1为奇函数．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题为真命题的是(　　)
A．函数y＝|x－1|既是偶函数又在区间[1，＋∞)上是增函数
B．函数f (x)＝的最小值为2
C．“x＝2”是“x－2＝”的充要条件
D． x∈R，CD　[y＝|x－1|，当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝2，所以y＝|x－1|不是偶函数，选项A错误；令t＝∈[3，＋∞)，g(t)＝t＋．根据对勾函数的单调性可得，g(t)在[3，＋∞)是增函数，g(t)的最小值为，即f (x)的最小值为，选项B错误；x－2＝≥0，2－x≥0，∴x＝2，选项C正确；当x＝1时，10．已知定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f (－x)＝f (x)；② x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0；③f (－1)＝0．则下列选项成立的是(　　)
A．f (3)>f (－4)
B．若f (m－1)C．若>0，则x∈(－1，0)∪(1，＋∞)
D． x∈R， M∈R，使得f (x)≥M
CD　[由条件①得f (x)是偶函数，条件②得f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (3)若f (m－1)若>0，则或
因为f (－1)＝f (1)＝0，
所以x>1或－1因为定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的，且在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x)min＝f (0)，所以 x∈R，只需M≤f (0)即可，故D正确．故选CD．]
11．对于定义域为D的函数y＝f (x)，若同时满足下列条件：①f (x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b] D，使f (x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f (x)(x∈D)称为闭函数．下列结论正确的是(　　)
A．函数y＝x是闭函数
B．函数y＝x2＋1是闭函数
C．函数y＝－x2(x≤0)是闭函数
D．函数f (x)＝(x＞－1)是闭函数
AC　[选项A，因为y＝x是R上的单调递增的一次函数，且在R上任意子区间都满足新定义，所以A正确，
选项B，y＝x2＋1在定义域R上不单调，故不是闭函数；
选项C，y＝－x2在(－∞，0]上单调递增，则有解得a＝－1，b＝0，C正确；
选项D，f (x)＝＝＝1－，在(－1，＋∞)上单调递增，则即＝a，＝b，解得a＝b＝0，又a＜b，所以D不正确．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数f (x)＝在[－5，－4]上的值域是________．
　[函数y＝f (x)＝在(－∞，－2)上单调递减，∵－5≤x≤－4，∴≤y≤，
即－≤y≤－1，值域为．]
13．已知函数f (x)＝若f (2－a2)>f (a)，则实数a的取值范围是________．
(－2，1)　[∵f (x)＝
由函数图象(图略)知f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴由f (2－a2)>f (a)，得a2＋a－2<0，解得－214．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①不超过200元，不予优惠；②超过200元但不超过500元的按标价给予9折优惠；③超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．
560.4　[依题意，付款金额y与标价x之间的关系为
y＝
∵某人分两次去购物，分别付款168元和423元，
∴优惠前，购物应付款168＋＝638(元)，
∴一次性购买上述同样的商品，应付款为
0.9×500＋(638－500)×0.8＝560.4(元)．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知函数f (x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)．
(1)证明：函数f (x)是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；
(3)写出函数的值域．
[解]　(1)证明：由于函数定义域是R，且f (－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f (x)，
∴f (x)是偶函数．
(2)f (x)＝
图象如图所示：
(3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)．
16．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝，f (x)为R上的奇函数且f (1)＝．
(1)求a，b；
(2)判断f (x)在[1，＋∞)上的单调性并证明；
(3)当x∈[－4，－1]时，求f (x)的最大值和最小值．
[解]　(1)∵f (x)为R上的奇函数，
∴f (0)＝0，得b＝0，
又f (1)＝＝，∴a＝1，
∴f (x)＝．
(2)f (x)在[1，＋∞)上为减函数，证明如下：
设x1和x2是区间[1，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
∴f (x2)－f (x1)＝
＝
＝＝．
∵x2＞x1≥1，
∴x1x2－1＞0，x1－x2＜0，
∴f (x2)－f (x1)＜0，即f (x2)＜f (x1)，
∴f (x)在[1，＋∞)上为减函数．
(3)∵f (x)为奇函数且f (x)在[1，＋∞)上是减函数，
∴f (x)在(－∞，－1]上为减函数，
又x∈[－4，－1]，
∴f (x)的最大值为f (－4)＝－，f (x)的最小值为f (－1)＝－．
17．(本小题满分15分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止．降低的温度大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃．
(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km的上空为y ℃，求a，x，y间的函数关系式；
(2)问当地表的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是多少？
[解]　(1)由题设知，可设y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)，即y＝a＋kx．
依题意，当x＝12时，y＝－55，
∴－55＝a＋12k，
解得k＝－．
∴当0≤x≤12时，y＝a－(55＋a)．
又当x＞12时，y＝－55．
∴所求的函数关系式为y＝
(2)当a＝29，x＝3时，y＝29－(55＋29)＝8，
即3 km上空的温度为8 ℃．
18．(本小题满分17分)已知f (x)是二次函数，且满足f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝2x＋3．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)设h(x)＝f (x)－2tx，当x∈[1，3]时，求函数h(x)的最小值．
[解]　(1)设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴f (0)＝c＝2，
∵f (x＋1)－f (x)＝2x＋3，
∴[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2x＋3，
即2ax＋a＋b＝2x＋3，
∴∴a＝1，b＝2，
∴f (x)＝x2＋2x＋2．
(2)由(1)知h(x)＝x2＋(2－2t)x＋2，x∈[1，3]，
∴h(x)的对称轴为x＝t－1，
当t－1≤1，即t≤2时，h(x)在[1，3]上单调递增，
∴h(x)最小值＝h(1)＝5－2t，
当1当t－1≥3，即t≥4时，h(x)在[1，3]上递减，
∴h(x)最小值＝h(3)＝17－6t．
综上：当t≤2时，h(x)最小值 ＝5－2t；
当2当t≥4时，h(x)最小值＝17－6t．
19．(本小题满分17分)设函数f (x)的定义域为U＝{x|x∈R且x>0}，且满足条件f (4)＝1．对任意的x1，x2∈U，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)，且当x1≠x2时，有>0．
(1)求f (1)的值；
(2)如果f (x＋6)＋f (x)>2，求x的取值范围．
[解]　(1)因为对任意的x1，x2∈U，有f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f (1×1)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0．
(2)设00．
又因为当x1≠x2时，>0，
所以f (x2)－f (x1)>0，即f (x2)＞f (x1)，
所以f (x)在定义域内为增函数．
令x1＝x2＝4，得f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝1＋1＝2，
即f (16)＝2．
当即x>0时，
原不等式可化为f (x(x＋6))>f (16)．
又因为f (x)在定义域上为增函数，
所以x(x＋6)>16，解得x>2或x<－8．
又因为x>0，所以x>2．
所以x的取值范围为(2，＋∞)．
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