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4.1　实数指数幂和幂函数
4.1.1　有理数指数幂
4.1.2　无理数指数幂
第1课时　根式
学习任务 核心素养
1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 1．通过学习n次方根、根式，培养数学抽象素养． 2．借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养．
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了．
若x2＝3，则这样的x有几个？它们叫作3的什么？如何表示？
知识点1　根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即__________，则称x是a的n次方根．
(2)a的n次方根的表示
当n是奇数时，数a的n次方根记作________．
当n是偶数时，__________数a的n次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n次方根叫作__________，记作．当a>0时，如xn＝a，则x＝________．
(3)根式
式子(n∈N，n≥2)叫作根式，n叫作__________，a叫作__________．
1．根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(1)27的立方根是________；
(2)已知x6＝2 025，则x＝________；
(3)若有意义，则实数x的取值范围为________．
知识点2　根式的性质(n∈N，n≥2)
(1)n为奇数时，＝__________．
(2)n为偶数时，＝__________＝
(3)＝__________．
(4)负数没有__________方根．
2．n中实数a的取值范围是任意实数吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数a的奇次方根只有一个． (　　)
(2)当n∈N＋时，n＝－2． (　　)
(3)＝π－4． (　　)
3．(1)＝________．
类型1　由根式的意义求取值范围
【例1】　写出使下列各式成立的实数x的取值范围．
(1)；
(2)＝(5－x)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　对于，当n为偶数时应注意的两点
(1)只有a≥0才有意义．
(2)只要有意义，则必有≥0．
[跟进训练]
1．若，则实数a的取值范围是________．
类型2　利用根式的性质化简求值
【例2】　【链接教材P95例1】
化简下列各式：
(1)＋5；
(2)＋6；
(3)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　正确区分与n
(1)n已暗含了有意义，依据n的奇偶性可知a的范围．
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
[跟进训练]
2．化简下列各式：
(1)(a≤1)；
(2)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　有限制条件的根式的化简
【例3】　(1)若x<0，则x＋＝________．
(2)若－3[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
[跟进训练]
3．已知－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选题)已知a∈R，n∈N＋，给出下列4个式子，其中有意义的是(　　)
A．　　 B．
C．
2．已知m10＝2，则m等于(　　)
A． B．－
C． D．±
3．4运算的结果是(　　)
A．2　　　B．－2　　　C．±2　　　D．不确定
4．若x3＝－5，则x＝________．
5．＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若xn＝a，则x的值有几个，如何表示？
2．与n相同吗？
5/54.1　实数指数幂和幂函数
4.1.1　有理数指数幂
4.1.2　无理数指数幂
第1课时　根式
学习任务 核心素养
1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 1．通过学习n次方根、根式，培养数学抽象素养． 2．借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养．
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了．
若x2＝3，则这样的x有几个？它们叫作3的什么？如何表示？
知识点1　根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根．
(2)a的n次方根的表示
当n是奇数时，数a的n次方根记作．
当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n次方根叫作算术根，记作．当a>0时，如xn＝a，则x＝．
(3)根式
式子(n∈N，n≥2)叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数．
1．根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？
[提示]　当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±．
1．(1)27的立方根是________；
(2)已知x6＝2 025，则x＝________；
(3)若有意义，则实数x的取值范围为________．
(1)3　(2)±　(3)[－3，＋∞)　[(1)27的立方根是3．
(2)因为x6＝2 025，所以x＝±．
(3)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3．
所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]
知识点2　根式的性质(n∈N，n≥2)
(1)n为奇数时，＝a．
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0．
(4)负数没有偶次方根．
2．n中实数a的取值范围是任意实数吗？
[提示]　不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；
当n为大于1的偶数时，a≥0．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数a的奇次方根只有一个． (　　)
(2)当n∈N＋时，n＝－2． (　　)
(3)＝π－4． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
3．(1)＝________．
(1)－8　(2)π－3　[(1)＝|3－π|＝π－3．]
类型1　由根式的意义求取值范围
【例1】　写出使下列各式成立的实数x的取值范围．
(1)；
(2)＝(5－x)．
[解]　(1)∵x－3≠0，∴x≠3．
即实数x的取值范围为{x|x≠3}．
(2)由题意可知∴－5≤x≤5，
∴实数x的取值范围为{x|－5≤x≤5}．
　对于，当n为偶数时应注意的两点
(1)只有a≥0才有意义．
(2)只要有意义，则必有≥0．
[跟进训练]
1．若，则实数a的取值范围是________．
　[因为，
∴1－3a≥0，
∴a≤．]
类型2　利用根式的性质化简求值
【例2】　【链接教材P95例1】
化简下列各式：
(1)＋5；
(2)＋6；
(3)．
[解]　(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4．
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4．
(3)原式＝|x＋2|＝
【教材原题·P95例1】
例1　化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)(a(5)．
[解]　(1)＝－2；
(2)＝2；
(3)＝3－a；
(4)因为a(5)＝|3－a|＝
　正确区分与n
(1)n已暗含了有意义，依据n的奇偶性可知a的范围．
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
[跟进训练]
2．化简下列各式：
(1)(a≤1)；
(2)．
[解]　(1)∵a≤1，
∴3a－3≤0，
∴＝|3a－3|＝3－3a．
(2)＝a＋|1－a|＝
类型3　有限制条件的根式的化简
【例3】　(1)若x<0，则x＋＝________．
(2)若－3(1)－1　[∵x<0，
∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，
∴x＋＝x－x－1＝－1．]
(2)[解]　
＝＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1综上，原式＝
[母题探究]
(变条件)将本例(2)的条件“－3[解]　原式＝＝|x－1|－|x＋3|．因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，
所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4．
　有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
[跟进训练]
3．已知－1[解]　∵－1∴x－2<0，x＋1>0，
∴＝|x－2|－|x＋1|＝2－x－(x＋1)＝1－2x．
1．(多选题)已知a∈R，n∈N＋，给出下列4个式子，其中有意义的是(　　)
A．　　 B．
C．
BCD　[结合根式的定义可知BCD均有意义，故选BCD．]
2．已知m10＝2，则m等于(　　)
A． B．－
C． D．±
D　[∵m10＝2，
∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±．]
3．4运算的结果是(　　)
A．2　　　B．－2　　　C．±2　　　D．不确定
[答案]　A
4．若x3＝－5，则x＝________．
－　[若x3＝－5，则x＝．]
5．＝________．
1　[]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若xn＝a，则x的值有几个，如何表示？
[提示]　当n为奇数时，若xn＝a，则x＝．
当n为偶数时，若xn＝a，则x＝±(其中a≥0)．
2．与n相同吗？
[提示]　与n不同，前者求解时，要注意n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者n＝a是恒等式，只要n有意义，其值恒等于a．
课时分层作业(二十五)　根式
一、选择题
1．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)
A．
C．
C　[当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．]
2．(多选题)下列说法正确的有(　　)
A．16的4次方根是2
B．的运算结果是±2
C．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义
D．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义
CD　[A中16的4次方根应是±2；B中＝2，所以正确的应为CD．]
3．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
B　[由题意可知
∴a≥2且a≠4．]
4．化简等于(　　)
A．6 B．2x
C．6或－2x D．6或－2x或2x
C　[原式＝|x＋3|－(x－3)＝
故选C．]
5．若nA．2m B．2n
C．－2m D．－2n
C　[原式＝＝|m＋n|－|m－n|，∵n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m．]
二、填空题
6．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________．
－11或7　[因为81的平方根为±9，所以a＝±9．
又因为－8的立方根为b，
所以b＝－2，所以a＋b＝－11或a＋b＝7．]
7．若＝0，则x2 024＋y2 025＝________．
0　[∵≥0，且＝0，
∴即
∴x2 024＋y2 025＝1－1＝0．]
8．若a>2b，则＝________．
2a－3b　[因为a>2b，
所以＝a－b＋|a－2b|＝a－b＋a－2b＝2a－3b．]
三、解答题
9．化简：(1)(x<π，n∈N＋)；
(2)．
[解]　(1)∵x<π，∴x－π<0，
当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，＝x－π．
综上，
(2)∵a≤，∴1－2a≥0，
∴＝|2a－1|＝1－2a．
10．设－2[解]　原式＝＝|x－1|－|x＋2|，
∵－2原式＝－(x－1)－(x＋2)＝－2x－1；
当1≤x<2时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3．
∴原式＝
11．当有意义时，化简的结果是(　　)
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
C　[因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝＝(2－x)－(3－x)＝－1．故选C．]
12．下列式子中成立的是(　　)
A．a B．a
C．a D．a
C　[由a可知a≤0，∴a≤0，故选C．]
13．已知＋1＝a，化简2＋＝________．
a－1　[由已知＋1＝a，
即|a－1|＝a－1，即a≥1．
所以原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1．]
14．已知f (x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则f (－1)＝________(用a，b表示)，式子可化为________．
a－b＋0.1　b－a　[∵f (－1)＝a－b＋0.1<0，
∴a－b<0，
∴＝b－a．]
15．化简y＝，并画出简图，写出最小值．
[解]　y＝
＝|2x＋1|＋|2x－3|＝
其图象如图所示．
由图易知函数的最小值为4．
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