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第2课时　指数幂及其运算
学习任务 核心素养
1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点) 2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点) 1．通过分数指数幂的运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养．
国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%．你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2013年的经费支出为基础，预测2026年及以后各年的经费支出吗？
知识点1　分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数 指数幂 规定：
(a>0，m，n∈N且n≥2)
0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于__________， 0的负分数指数幂__________意义
在分数指数幂与根式的互化公式中，为什么必须规定a>0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)0的任何指数幂都等于0． (　　)
(2)． (　　)
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如． (　　)
可以理解为个a相乘． (　　)
2．将下列根式化为分数指数幂：
①＝________；
②＝________；
③＝________(m＞0)．
知识点2　有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝__________(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝__________(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝__________(a>0，b>0，r∈Q)．
3．下列运算结果中，正确的是(　　)
A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．0＝1 D．(－a2)3＝a6
知识点3　有理数指数幂的基本不等式
(1)有理数指数幂的基本不等式：对任意的正有理数r和正数a，若a>1则ar__________1；若a<1则ar__________1．
(2)推论：对任意的负有理数r和正数a，若a>1则ar__________1；若a<1则ar__________1．
(3)性质：对任意的正数a>1和两有理数r>s，有＝ar－s__________1，即ar__________as．
对任意的正数a<1和两有理数r>s，有＝ar－s__________1，即ar__________as．
4．比较大小：____1；____1；____1；____1．(填“>”或“<”)
知识点4　无理数指数幂
(1)概念：一般地，无理数指数幂au(a>0，u是无理数)是一个确定的__________．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．在幂的表达式au中，a叫作底数，u叫作指数．
(2)幂运算基本不等式
对任意的正数u和正数a，若a>1则au__________1；若a<1则au__________1．
对任意的负数u和正数a，若a>1则au__________1；若a<1则au__________1．
5．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)5是一个确定的实数． (　　)
(2)指数幂au的指数u只能取无理数． (　　)
(3)＝8． (　　)
类型1　根式与分数指数幂的互化
【例1】　【链接教材P96例3】
将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
[跟进训练]
1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　利用分数指数幂的运算性质化简求值
【例2】　【链接教材P96例4】
计算下列各式(式中字母均是正数)：
；
8；
(3)÷．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
[跟进训练]
2．化简求值(式中字母均为正数)：
(1)＋＋－3-1＋π0；
(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)；
(3)2．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　条件求值问题
【例3】　已知＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a-1；(2)a2＋a-2．
代数式“”与“a＋a-1、a2＋a-2”间存在怎样的关系，可以借助哪些公式实现它们间的转化与化归？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．在本例条件不变的条件下，求a－a-1的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解决条件求值的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
[跟进训练]
3．已知＝m，求a＋a-1及a2＋a-2的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　)
和 和
和 和
2．(教材P97练习T2改编)把根式a化成分数指数幂是(　　)
A． B．－
C． D．
3．已知＝5，则的值为(　　)
A．5 B．23
C．25 D．27
4．若10x＝3，10y＝4，则102x－y＝________．
5．计算：－(0.01)0.5＝______．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．用分数指数幂如何表示？
2．分数指数幂有哪些性质？
3．已知的值，如何求a＋的值？反之呢？
6/6第2课时　指数幂及其运算
学习任务 核心素养
1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点) 2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点) 1．通过分数指数幂的运算性质的推导，培养逻辑推理素养． 2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养．
国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%．你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2013年的经费支出为基础，预测2026年及以后各年的经费支出吗？
知识点1　分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数 指数幂 规定：
(a>0，m，n∈N且n≥2)
0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义
在分数指数幂与根式的互化公式中，为什么必须规定a>0
[提示]　①若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即＝＝0，无研究价值．
②若a<0，不一定成立，如无意义，故为了避免上述情况规定了a>0．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)0的任何指数幂都等于0． (　　)
(2)． (　　)
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如． (　　)
可以理解为个a相乘． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．将下列根式化为分数指数幂：
①＝________；
②＝________；
③＝________(m＞0)．
[答案]　
知识点2　有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．下列运算结果中，正确的是(　　)
A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．0＝1 D．(－a2)3＝a6
A　[a2a3＝a2+3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A．]
知识点3　有理数指数幂的基本不等式
(1)有理数指数幂的基本不等式：对任意的正有理数r和正数a，若a>1则ar>1；若a<1则ar<1．
(2)推论：对任意的负有理数r和正数a，若a>1则ar<1；若a<1则ar>1．
(3)性质：对任意的正数a>1和两有理数r>s，有＝ar－s>1，即ar>as．
对任意的正数a<1和两有理数r>s，有＝ar－s<1，即ar4．比较大小：____1；____1；____1；____1．(填“>”或“<”)
[答案]　(1)>　(2)<　(3)<　(4)>
知识点4　无理数指数幂
(1)概念：一般地，无理数指数幂au(a>0，u是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．在幂的表达式au中，a叫作底数，u叫作指数．
(2)幂运算基本不等式
对任意的正数u和正数a，若a>1则au>1；若a<1则au<1．
对任意的负数u和正数a，若a>1则au<1；若a<1则au>1．
5．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)5是一个确定的实数． (　　)
(2)指数幂au的指数u只能取无理数． (　　)
(3)＝8． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
类型1　根式与分数指数幂的互化
【例1】　【链接教材P96例3】
将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；．
[解]　(1)原式＝．
(2)原式＝．
(3)原式＝＝．
【教材原题·P96例3】
例3　用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：
(1)a·；
(2)a2·；
(3)．
[解]　(1)a·；
(2)a2·；
(3)．
　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
[跟进训练]
1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．
[解]　(1)a3·＝a3·＝＝．
(2)
＝
＝．
类型2　利用分数指数幂的运算性质化简求值
【例2】　【链接教材P96例4】
计算下列各式(式中字母均是正数)：
；
8；
(3)÷．
[解]　
＝
＝4ab0＝4a．
8＝8
＝m2n-3＝．
(3)
＝
＝
＝－a
＝－a．
【教材原题·P96例4】
例4　计算下列各式(式中字母都是正数)：
6；
．
[解]　6＝；
＝＝2n．
　指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
[跟进训练]
2．化简求值(式中字母均为正数)：
(1)＋＋－3-1＋π0；
(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)；
(3)2．
[解]　(1)原式＝＋＋＋1＝0.3－．
(2)原式＝－4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)＝－a-3-(-4)b-2-(-2)c-1＝－．
(3)原式＝÷()×
＝．
类型3　条件求值问题
【例3】　已知＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a-1；(2)a2＋a-2．
代数式“”与“a＋a-1、a2＋a-2”间存在怎样的关系，可以借助哪些公式实现它们间的转化与化归？
[解]　(1)将＝4两边平方，得a＋a-1＋2＝16，故a＋a-1＝14．
(2)将a＋a-1＝14两边平方，得a2＋a-2＋2＝196，故a2＋a-2＝194．
[母题探究]
1．在本例条件不变的条件下，求a－a-1的值．
[解]　令a－a-1＝t，则两边平方得a2＋a-2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a-1＝．
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a-2的值．
[解]　由上题可知，a2－a-2＝(a－a-1)(a＋a-1)＝×14＝±112．
　解决条件求值的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
[跟进训练]
3．已知＝m，求a＋a-1及a2＋a-2的值．
[解]　∵＝m，
∴2＝a＋a-1－2＝m2，
即a＋a-1＝m2＋2．
∴a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2．
1．(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　)
和 和
和 和
BC　[A不符合题意和均符合分数指数幂的定义，但＝1；
B符合题意；
C符合题意；
D不符合题意和均符合分数指数幂的定义，但＝23＝8．]
2．(教材P97练习T2改编)把根式a化成分数指数幂是(　　)
A． B．－
C． D．
D　[由题意可知a≥0，故排除A，B，C选项，故选D．]
3．已知＝5，则的值为(　　)
A．5 B．23
C．25 D．27
B　[∵＝5，∴x＋x-1＝23，即＝23．]
4．若10x＝3，10y＝4，则102x－y＝________．
　[∵10x＝3，
∴102x＝9，
又10y＝4，
∴102x－y＝．]
5．计算：－(0.01)0.5＝______．
　[原式＝1＋．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．用分数指数幂如何表示？
[提示]　．
2．分数指数幂有哪些性质？
[提示]　(1)as·ar＝as＋r(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．已知的值，如何求a＋的值？反之呢？
[提示]　设＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝．即．
课时分层作业(二十六)　指数幂及其运算
一、选择题
1．(多选题)下列各式运算正确的是(　　)
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18
ABD　[对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝故C错误；对于D，易知正确，故选ABD．]
2．(多选题)下列根式与分数指数幂的互化错误的是(　　)
A．－＝(x>0)
B．＝(y<0)
C．x(x>0)
D．x(x≠0)
ABD　[＝＝(y<0)；(x>0)；
(x≠0)．故选ABD．]
3．计算：(－27＝(　　)
A．－3　　 　B．－　　　C．3　 　　D．
D　[(－27＝[(－3)3×(32＝(－3)2×3-3＝9×．故选D．]
4．设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　)
A． B．
C． D．
C　[由题意．故选C．]
5．在，2-1中，最大的是(　　)
A． B．2
C． D．2-1
C　[＝－2，，所以>>>－2．故选C．]
二、填空题
6．已知3a＝2，3b＝，则32a－b＝________．
20　[]
7．已知x>0，则＝________．
　[∵x>0，∴＝．]
8．若α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．
　[由题意可知α＋β＝－2，αβ＝，
∴2α·2β＝2α＋β＝2-2＝；(2α)β＝2αβ＝．]
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)；
(2)2；
(3)＋．
[解]　(1)原式＝[34×(＝(＝(．
(2)2×(3×22
＝＝2×3＝6．
(3)原式＝(0.14＋(33
＝0.
＝0.1-1＋32－
＝10＋9－．
10．已知0＜a＜1，h＞0，对任意的实数u，求证：au＋h－au+2h＜au－au＋h．
[证明]　由au，au＋h，au+2h都是正数，
且＝ah＜1，
得au＋h－au+2h＞0，au－au＋h＞0，
所以＝＝＝ah＜1，
所以au＋h－au+2h＜au－au＋h．
11．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞)
B．
C．
D．
D　[∵，∴1－2x>0，得x<．]
12．已知ab＝－5，则a的值是(　　)
A．2　 　 B．0 　　　　
C．－2　　 D．±2
B　[由题意知ab<0，a＝0，故选B．]
13．在算式2中＋2国＋2精＋2神＝29中，“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
B　[由题意得，24＋23＋22＋20＝29，国字所对应的数字为3．]
14．设2x＝8y+1，9y＝3x-9，则x＋y＝________．
27　[由2x＝8y+1，得2x＝23y+3，
所以x＝3y＋3．①
由9y＝3x-9，得32y＝3x-9，所以2y＝x－9．②
由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，
所以x＋y＝27．]
15．已知x＋y＝12，xy＝9，且x>y，求的值．
[解]　∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108．∵x>y，∴x－y＝6，
∴＝．
11/11

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