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第2课时　指数函数的性质的应用
学习任务 核心素养
1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点) 2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点) 借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养．
类型1　利用指数函数的单调性比较大小
【例1】　【链接教材P111例4】
比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6-1.2和0.6-1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间量来判断．
(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0[跟进训练]
1．比较下列各值的大小：，．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　利用指数函数的单调性解不等式
【例2】　(1)解不等式≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，a≠1)，求x的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af (x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法：
当a>1时，f (x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0且a≠1)，a－x＝(a>0且a≠1)等．
[跟进训练]
2．求解下列不等式：
(1)已知3x≥，求实数x的取值范围；
(2)若a-5x>ax+7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　指数型函数的单调性及应用
【例3】　判断f (x)＝的单调性．
如果令u＝x2－2x，试分别写出y＝及u＝x2－2x的单调区间，并思考y＝的单调性同y＝及u＝x2－2x单调性存在怎样的关系．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．把本例的函数改为“f (x)＝”，求其单调区间．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．本例函数不变，求f (x)的值域．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函数y＝af (x)(a>0且a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af (x)(a>0且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数是a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过f (u)和φ(x)的单调性，求出y＝f (φ(x))的单调性．
[跟进训练]
3．求下列函数的单调区间：
(1)y＝ (a>1)；(2)y＝2|x-1|．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若2x+1<1，则x的取值范围是(　　)
A．(－1，1)　　　　 B．(－1，＋∞)
C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
2．(教材P112练习T3改编)下列判断正确的是(　　)
A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83
D．0.90.3＞0.90.5
3．函数y＝(x≥8)的值域是(　　)
A．R B．
C．
4．函数y＝的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
5．函数y＝的定义域是________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何比较两个指数式值的大小？
2．函数y＝af (x)的单调性同y＝f (x)的单调性存在怎样的对应关系？
3．如何求函数y＝af (x)的值域？
4/5第2课时　指数函数的性质的应用
学习任务 核心素养
1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点) 2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点) 借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养．
类型1　利用指数函数的单调性比较大小
【例1】　【链接教材P111例4】
比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6-1.2和0.6-1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[解]　(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2．
(2)0.6-1.2，0.6-1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，
所以0.6-1.2<0.6-1.5．
(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1．
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0【教材原题·P111例4】
例4　比较下列各组中两个数的大小：
(1)3.51.5，3.51.3；(2)0.31.5，0.31.3；(3)0.70.8，0.80.7．
[解]　(1)3.51.5，3.51.3可看作函数y＝3.5x的两个函数值．
由于底数3.5>1，所以指数函数y＝3.5x在R上是增函数．
因为1.5>1.3，所以3.51.5>3.51.3．
(2)0.31.5，0.31.3可看作函数y＝0.3x的两个函数值．
由于底数0.3<1，所以指数函数y＝0.3x在R上是减函数．
因为1.5>1.3，所以0.31.5<0.31.3．
(3)因为y＝0.7x在R上是减函数，所以0.70.8<0.70.7．
由＝>1得0.70.7<0.80.7．
所以0.70.8<0.70.7<0.80.7．
　比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间量来判断．
(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0[跟进训练]
1．比较下列各值的大小：，．
[解]　先根据幂的特征，将这4个数分类：
(1)负数：；(2)大于1的数：，；
(3)大于0且小于1的数：．
(2)中，<< (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)，
故有<<<
类型2　利用指数函数的单调性解不等式
【例2】　(1)解不等式≤2；
(2)已知0，a≠1)，求x的取值范围．
[解]　(1)∵2＝，∴原不等式可以转化为．
∵y＝在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05；当a>1时，－1　指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af (x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法：
当a>1时，f (x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0且a≠1)，a－x＝(a>0且a≠1)等．
[跟进训练]
2．求解下列不等式：
(1)已知3x≥，求实数x的取值范围；
(2)若a-5x>ax+7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
[解]　(1)因为＝30.5，所以由3x≥可得3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5．
(2)①当0ax+7可得－5x－．
②当a>1时，函数y＝ax是增函数，则由a-5x>ax+7可得－5x>x＋7，解得x<－．
综上，当0－；当a>1时，x<－．
类型3　指数型函数的单调性及应用
【例3】　判断f (x)＝的单调性．
如果令u＝x2－2x，试分别写出y＝及u＝x2－2x的单调区间，并思考y＝的单调性同y＝及u＝x2－2x单调性存在怎样的关系．
[解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞) 上递减．
[母题探究]
1．把本例的函数改为“f (x)＝”，求其单调区间．
[解]　函数y＝的定义域是R．
令u＝－x2＋2x，则y＝2u．
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝是增函数，
所以函数y＝在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝是增函数，所以函数y＝在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝的单调递减区间是[1，＋∞)，单调递增区间是(－∞，1]．
2．本例函数不变，求f (x)的值域．
[解]　法一：∵f (x)在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减，∴f (x)max＝f (1)＝＝3．
又f (x)>0，∴f (x)的值域为(0，3]．
法二：∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，∴0<＝3，∴原函数的值域为(0，3]．
　函数y＝af (x)(a>0且a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af (x)(a>0且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数是a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过f (u)和φ(x)的单调性，求出y＝f (φ(x))的单调性．
[跟进训练]
3．求下列函数的单调区间：
(1)y＝ (a>1)；(2)y＝2|x-1|．
[解]　(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－＋，易知u在上是增函数，在上是减函数，∴当a>1时，y＝au在R上是增函数，
故函数y＝ (a＞1)单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝2x-1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，
∴y＝2x-1在[1，＋∞)上为增函数；
当x∈(－∞，1)时，函数y＝21-x．
而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，
∴y＝21-x在(－∞，1)上为减函数．故函数y＝2|x-1|的单调递增区间为[1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．
1．若2x+1<1，则x的取值范围是(　　)
A．(－1，1)　　　　 B．(－1，＋∞)
C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
D　[∵2x+1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1．]
2．(教材P112练习T3改编)下列判断正确的是(　　)
A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83
D．0.90.3＞0.90.5
D　[∵y＝0.9x在定义域上是减函数＞0.90.5．]
3．函数y＝(x≥8)的值域是(　　)
A．R B．
C．
B　[因为y＝在[8，＋∞)上单调递减，所以0<＝．]
4．函数y＝的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
A　[由已知得，y＝f (x)的定义域为R．
设u＝1－x，则y＝．
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝在(－∞，＋∞)上为增函数，
所以选A．]
5．函数y＝的定义域是________．
[0，＋∞)　[由1－≥0得≤1＝，
∴x≥0，
∴函数y＝的定义域为[0，＋∞)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何比较两个指数式值的大小？
[提示]　(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn．
2．函数y＝af (x)的单调性同y＝f (x)的单调性存在怎样的对应关系？
[提示]　当a>1时，y＝af (x)与f (x)单调性相同；
当0即“同增异减”．
3．如何求函数y＝af (x)的值域？
[提示]　函数y＝af (x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f (x)；
(2)求t＝f (x)的定义域x∈D；
(3)求t＝f (x)的值域t∈M；
(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
课时分层作业(二十九)　指数函数的性质的应用
一、选择题
1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝，则(　　)
A．c>a>b
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
D　[a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b．]
2．若<，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　 B．
C．(－∞，1) D．
B　[∵函数y＝在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>．]
3．若函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．
C．∪(1，＋∞) D．
A　[由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f (x)＝3(2a-1)x+3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，故选A．]
4．已知函数f (x)＝3x－，则f (x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
A　[因为f (x)＝3x－，定义域为R，所以f (－x)＝3－x－＝－3x＝－＝－f (x)，即函数f (x)是奇函数．
又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，所以f (x)＝3x－在R上是增函数．]
5．函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0，1]上的最大值是(　　)
A．6 B．1
C．3　　　　 D．
C　[函数y＝ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上是增函数，故当x＝1时，y最大值＝3．]
二、填空题
6．已知a＝，函数f (x)＝ax，若实数m，n满足f (m)>f (n)，则m，n的大小关系为________．
mf (n)，∴m7．若函数f (x)＝则函数f (x)的值域是________．
(－1，0)∪(0，1)　[由x<0，得0<2x<1；由x>0，
∴－x<0，0<2－x<1，
∴－1<－2－x<0．
∴函数f (x)的值域为(－1，0)∪(0，1)．]
8．函数f (x)＝的单调递增区间为________．
[0，＋∞)　[由于底数∈(0，1)，所以函数f (x)＝的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f (x)＝的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数，所以函数f (x)＝的单调递增区间为[0，＋∞)．]
三、解答题
9．(源自苏教版教材)(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；
(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．
[解]　(1)因为3>1，
所以指数函数y＝3x是增函数．
由3x≥30.5可得x≥0.5．
故x的取值范围为区间[0.5，＋∞)．
(2)因为0<0.2<1，
所以指数函数y＝0.2x是减函数．
因为25＝＝0.2-2，
所以0.2x<0.2-2．
由此可得x>－2．
故x的取值范围为区间(－2，＋∞)．
10．已知f (x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1，2]．
(1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值；
(2)求f (x)的最大值与最小值．
[解]　(1)t＝3x，∵x∈[－1，2]，函数t＝3x在[－1，2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为．
(2)由f (x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，
故当t＝1时，函数f (x)有最小值为3，当t＝9时，函数f (x)有最大值为67．
11．(多选题)若f (x)＝3x＋1，则(　　)
A．f (x)在[－1，1]上单调递增
B．y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称
C．f (x)的图象过点(0，1)
D．f (x)的值域为[1，＋∞)
AB　[f (x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f (0)＝2，得f (x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f (x)>1，则D错误．故选AB．]
12．(多选题)关于函数f (x)＝的说法中，正确的是(　　)
A．偶函数
B．奇函数
C．在(0，＋∞)上是增函数
D．在(0，＋∞)上是减函数
BC　[∵f (－x)＝＝－＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数．
又y＝πx在(0，＋∞)上单调递增，y＝π－x在(0，＋∞)上单调递减，
∴y＝πx－π－x在(0，＋∞)上单调递增，故f (x)在(0，＋∞)上单调递增．故选BC．]
13．设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．
　[由题意可知1＋2x＋a·4x≥0在(－∞，1]上恒成立，
即a≥－－在(－∞，1]上恒成立．
又y＝－－＝－－在(－∞，1]上的最大值为－，∴a≥－．]
14．定义运算：a?b＝则函数f (x)＝3－x?3x的值域为________．
(0，1]　[由题意得，f (x)＝函数f (x)的图象如图所示，
由图可知f (x)的值域为(0，1]．]
15．已知函数f (x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f (x)在R上为增函数；
(2)是否存在实数a使f (x)为奇函数？证明你的结论；
(3)在(2)的条件下，求f (x)在区间[1，5]上的最小值．
[解]　(1)证明：∵f (x)的定义域为R，设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则f (x1)－f (x2)＝＝．
∵x1>0，
∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)∴不论a为何实数，f (x)在R上为增函数．
(2)存在．若f (x)在R上为奇函数，
则f (0)＝0，即a－＝0，解得a＝．
(3)由(2)知，f (x)＝，由(1)知，f (x)为增函数，∴f (x)在区间[1，5]上的最小值为f (1)．
∵f (1)＝＝，
∴f (x)在区间[1，5]上的最小值为．
3/11

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