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4.3　对数函数
4.3.1　对数的概念
学习任务 核心素养
1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．(重点) 2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．(难点) 1．通过生活实例形成对数的概念，培养数学抽象素养． 2．通过指数式与对数式的互化，对式子进行化简，提升数学运算素养．
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……
依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？
如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
知识点1　对数的概念
如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN．其中a叫作对数的底数，N叫作对数的真数．
对数运算是指数运算的逆运算
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积． (　　)
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3． (　　)
(3)对数运算的实质是求幂指数． (　　)
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(　　)
A．log2M＝a　　　　　　 B．logaM＝2
C．log22＝M D．log2a＝M
B　[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B．]
知识点2　对数的基本性质
(1)对数的基本恒等式：
＝N(N>0，a>0且a≠1)，b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)．
(2)负数和零没有对数．
(3)loga1＝0(a>0且a≠1)．
(4)logaa＝1(a>0且a≠1)．
为什么零和负数没有对数？
[提示]　由对数的定义：ab＝N(a>0且a≠1)知，总有N>0，所以转化为对数式b＝logaN时，不存在N≤0的情况．
3．填空：(1)log22＝________；(2)log51＝________；(3)＝________；＝________．
[答案]　(1)1　(2)0　(3)4　(4)2
类型1　指数式与对数式的互化
【例1】　【链接教材P115例1】
将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(1)2-7＝；
(2)32＝－5；
(3)log5125＝3；
(4)＝2．
[解]　(1)由2-7＝，可得log2＝－7．
(2)由32＝－5，可得＝32．
(3)由log5125＝3，可得53＝125．
(4)由＝2，可得＝x．
【教材原题·P115例1】
例1　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)23＝8；
(2)105＝100 000；
(3)3x＝7；
(4)log2 32＝5；
(5)log3＝－3；
(6)logxb＝2．
[解]　(1)log28＝3；
(2)log10100 000＝5；
(3)log37＝x；
(4)25＝32；
(5)3-3＝；
(6)x2＝b(x>0且x≠1)．
　指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[跟进训练]
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3-2＝；(2)＝16；(3)＝－3；(4)＝－6．
[解]　(1)log3＝－2；
(2)＝－2；
(3)＝27；
(4)()-6＝64．
类型2　利用指数式与对数式的关系求值
【例2】　求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－； (2)logx 8＝6； (3)log4 64＝x； (4)－log28＝x．
[解]　(1)x＝＝4-2＝．
(2)x6＝8，所以x＝＝．
(3)4x＝64＝43，于是x＝3．
(4)由－log28＝x，得－x＝log28，
∴2－x＝8＝23，∴－x＝3，即x＝－3．
　求对数式logaN(a>0且a≠1，N>0)的值的步骤
(1)设logaN＝m．
(2)将logaN＝m写成指数式am＝N．
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b．
[跟进训练]
2．计算：(1)log9 27；；．
[解]　(1)设x＝log9 27，则9x＝27，32x＝33，∴x＝．
(2)设x＝，则(＝34，∴x＝16．
(3)令x＝，∴()x＝＝54，∴x＝3．
类型3　应用对数的基本性质求值
【例3】　(1)设＝25，则x的值等于(　　)
A．10　　　B．13　　　C．100　　　D．±100
(2)若log3(log5x)＝0，则x的值等于________．
等式＝N(a>0且a≠1，N>0)成立吗？
(1)B　(2)5　[(1)法一：由＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B．
法二：由＝52得log5(2x－1)＝2，即2x－1＝52＝25，∴x＝13，故选B．
(2)由log3(log5x)＝0得log5x＝1，∴x＝5．]
[母题探究]
若本例(2)的条件改为“log2(log3x)＝1”，则x的值为________．
9　[由log2(log3x)＝1得log3x＝2，∴x＝32＝9．]
　1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质＝N与logaab＝b的作用
(1)＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
[跟进训练]
3．求下列各式中x的值：
(1)log3()＝1；(2)x＝．
[解]　(1)∵log3()＝1，
∴＝3，
∴x＝＝．
(2)x＝＝＝．
1．(多选题)下列说法正确的有(　　)
A．只有正数有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以5为底25的对数等于2
D．＝a(a>0)成立
ACD　[ACD均正确．(－2)3＝－8不能化成对数式．]
2．(教材P116练习T1(2)改编)2-3＝化为对数式为(　　)
A．＝－3　　　　　 B．＝2
C．log2＝－3 D．log2(－3)＝
[答案]　C
3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<0 B．0C．0B　[由对数的定义可知
解得04．计算：＋2log31－3log77＝________．
0　[原式＝3＋0－3＝0．]
5．若log2(logx9)＝1，则x＝________．
3　[由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．指数式与对数式存在怎样的关系？
[提示]　(1)若ab＝N logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)．
(2)在关系式ab＝N中，已知a和b求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求b的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
2．若方程logaf (x)＝0，则f (x)等于多少？若方程＝1呢？(其中a>0且a≠1)
[提示]　若logaf (x)＝0，则f (x)＝1；若＝1，则f (x)＝a．
3．下列等式成立吗？
(1)logaab＝b；(2)＝N．(其中a>0且a≠1，N>0)
[提示]　均成立．
课时分层作业(三十)　对数的概念
一、选择题
1．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是(　　)
A．100＝1与log10 1＝0
B．＝与log27＝－
C．log39＝2与＝3
D．log55＝1与51＝5
ABD　[C不正确，由log39＝2可得32＝9．故选ABD．]
2．若＝c，则(　　)
A．a2b＝c　　　　　　　　 B．a2c＝b
C．bc＝2a D．c2a＝b
B　＝c (a2)c＝b a2c＝b．]
3．log3 ＝(　　)
A．4　　　B．－4　　　C．　　　D．－
B　[令log3＝t，则3t＝＝3-4，
∴t＝－4．]
4．方程＝的解是(　　)
A．9 B． C． D．
D　[∵＝＝2-2，
∴log3x＝－2，
∴x＝3-2＝．]
5．log5(log3(log2x))＝0，则等于(　　)
A． B． C． D．
C　[∵log5(log3(log2x))＝0，
∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，
∴x＝23＝8，
∴＝＝＝＝．]
二、填空题
6．log33＋＝________．
3　[log33＋＝1＋2＝3．]
7．已知＝3，则＝________．
　[∵＝3，
∴x＝，∴＝＝．]
8．使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是________．
(1，2)∪(2，＋∞)　[要使log(x－1)(x＋2)有意义，则∴x>1且x≠2．]
三、解答题
9．求下列各式中的x的值：
(1)logx27＝；(2)log2x＝－；(3)x＝log27；(4)x＝16．
[解]　(1)由logx27＝，可得＝27，
∴x＝＝32＝9．
(2)由log2x＝－，可得x＝，
∴x＝＝．
(3)由x＝log27，可得27x＝，
∴33x＝3-2，∴x＝－．
(4)由x＝16，可得＝16，
∴2－x＝24，∴x＝－4．
10．若＝m，＝m＋2，求的值．
[解]　∵＝m，∴＝x，x2＝．
∵＝m＋2，∴＝y，y＝，
∴＝＝＝＝16．
11．(多选题)下列各式正确的有(　　)
A．＝0
B．log2(lo)＝0
C．若2＝log3x，则x＝9
D．若log25x＝，则x＝±5
ABC　[对于A，∵＝＝0，∴A正确；
对于B，∵log2(lo)＝log21＝0，∴B正确；
对于C，∵2＝log3x，∴x＝32＝9，C正确；
对于D，∵log25x＝，∴x＝＝5．∴只有ABC正确．]
12．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是(　　)
A．1 B．0 C．x D．y
B　[由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴logx(yx)＝log2(12)＝0．]
13．计算＝________．
25　[＝25．]
14．已知方程loga(5x－3x)＝x(其中a>0，a≠1)，若x＝2是方程的解，则a＝________；当a＝2时，方程的解x＝________．
4　1　[当x＝2时，loga(52－32)＝loga16＝2，
∴a＝4．当a＝2时，log2(5x－3x)＝x，
∴5x－3x＝2x，∴x＝1．]
15．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴R(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．函数[x]叫作“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．求[log10 1]＋[log10 2]＋[log10 3]＋…＋[log10 10]＋[log10 11]＋[log10 12]＋…＋[log10 2 024]的值．
[解]　根据定义，[log10 1]＝[log10 2]＝[log10 3]＝…＝[log10 9]＝0；
[log10 10]＝[log10 11]＝[log10 12]＝…＝[log10 99]＝1；
[log10 100]＝[log10 101]＝[log10 102]＝…＝[log10 999]＝2；
[log10 1 000]＝[log10 1 001]＝[log10 1 002]＝…＝[log10 2 024]＝3．
所以[log10 1]＋[log10 2]＋[log10 3]＋…＋[log10 10]＋[log10 11]＋[log10 12]＋…＋[log10 2 024]＝1×(99－9)＋2×(999－99)＋3×(2 024－999)＝90＋2×900＋3×1 025＝4 965．
10/104.3　对数函数
4.3.1　对数的概念
学习任务 核心素养
1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．(重点) 2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．(难点) 1．通过生活实例形成对数的概念，培养数学抽象素养． 2．通过指数式与对数式的互化，对式子进行化简，提升数学运算素养．
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……
依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？
如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
知识点1　对数的概念
如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作__________．其中a叫作对数的__________，N叫作对数的__________．
对数运算是指数运算的逆运算
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积． (　　)
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3． (　　)
(3)对数运算的实质是求幂指数． (　　)
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)． (　　)
2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(　　)
A．log2M＝a　　　　　　 B．logaM＝2
C．log22＝M D．log2a＝M
知识点2　对数的基本性质
(1)对数的基本恒等式：
＝N(N>0，a>0且a≠1)，b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)．
(2)负数和零__________对数．
(3)loga1＝__________(a>0且a≠1)．
(4)logaa＝__________(a>0且a≠1)．
为什么零和负数没有对数？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．填空：(1)log22＝________；(2)log51＝________；(3)＝________；＝________．
类型1　指数式与对数式的互化
【例1】　【链接教材P115例1】
将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(1)2-7＝；
(2)32＝－5；
(3)log5125＝3；
(4)＝2．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[跟进训练]
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3-2＝；(2)＝16；(3)＝－3；(4)＝－6．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　利用指数式与对数式的关系求值
【例2】　求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－； (2)logx 8＝6； (3)log4 64＝x； (4)－log28＝x．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求对数式logaN(a>0且a≠1，N>0)的值的步骤
(1)设logaN＝m．
(2)将logaN＝m写成指数式am＝N．
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b．
[跟进训练]
2．计算：(1)log9 27；；．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　应用对数的基本性质求值
【例3】　(1)设＝25，则x的值等于(　　)
A．10　　　B．13　　　C．100　　　D．±100
(2)若log3(log5x)＝0，则x的值等于________．
等式＝N(a>0且a≠1，N>0)成立吗？
[母题探究]
若本例(2)的条件改为“log2(log3x)＝1”，则x的值为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质＝N与logaab＝b的作用
(1)＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
[跟进训练]
3．求下列各式中x的值：
(1)log3()＝1；(2)x＝．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选题)下列说法正确的有(　　)
A．只有正数有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以5为底25的对数等于2
D．＝a(a>0)成立
2．(教材P116练习T1(2)改编)2-3＝化为对数式为(　　)
A．＝－3　　　　　 B．＝2
C．log2＝－3 D．log2(－3)＝
3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<0 B．0C．04．计算：＋2log31－3log77＝________．
5．若log2(logx9)＝1，则x＝________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．指数式与对数式存在怎样的关系？
2．若方程logaf (x)＝0，则f (x)等于多少？若方程＝1呢？(其中a>0且a≠1)
3．下列等式成立吗？
(1)logaab＝b；(2)＝N．(其中a>0且a≠1，N>0)
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