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4.3.2　对数的运算法则
学习任务 核心素养
1．理解对数的运算法则．(重点) 2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用运算法则进行一些简单的化简与证明．(易混点) 1．借助对数的运算法则化简、求值，培养数学运算素养． 2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养．
(1)计算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？
(2)计算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能发现什么规律？
知识点1　对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；
(3)loga＝logaM－logaN．
当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
[提示]　不一定．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)log2x2＝2log2x． (　　)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．计算log84＋log82等于(　　)
A．log86 B．8 C．6 D．1
D　[log84＋log82＝log88＝1．]
3．计算log510－log52等于(　　)
A．log58 B．lg 5 C．1 D．2
C　[log510－log52＝log55＝1．]
知识点2　常用对数与自然对数
4．(1)lg 100＝______，(2)ln ＝______．
(1)2　(2)－1　[(1)lg 100＝lg 102＝2；
(2)ln ＝ln e-1＝－1．]
知识点3　对数的换底公式
若b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0，则有logbN＝．
几个常用推论：
＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
(3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．
5．(多选题)下列等式正确的有(　　)
A．log34＝ B．log34＝
C．log34＝ D．log34＝
[答案]　ABC
类型1　对数的运算法则的应用
【例1】　【链接教材P118例5】
计算下列各式的值：
(1)lg lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22；
(3)．
[解]　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－lg 2＋
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10
＝．
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg22
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋lg210＝2＋1＝3．
(3)原式＝
＝
＝
＝．
【教材原题·P118例5】
例5　计算：
(1)log535－log5 －log5 14；
(2)log1012.5－log10 ＋log10 ．
[解]　(1)log535－log5 －log514＝log5＝log5125＝log5 53＝3；
(2)log1012.5－log10 ＋log10 ＝log10＝log1010＝1．
　1．利用对数运算法则求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
[跟进训练]
1．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25．
[解]　(1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1．
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg25＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝2＋lg 5＋lg 2＝3．
类型2　对数的换底公式
【例2】　(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)；
(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
[解]　(1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13．
(2)∵18b＝5，
∴b＝log185．
又log189＝a，
∴log3645＝．
[母题探究]
在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)．
[解]　∵log189＝a，
∴log183＝．
又log185＝b，
∴log915＝．
　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
[跟进训练]
2．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解]　(1)原式＝＝4．
(2)原式＝
＝
＝
＝．
类型3　对数的运算法则的综合应用
【例3】　(1)若3x＝4y＝36，求的值；
(2)已知3x＝4y＝6z，求证：．
以指数式与对数式间的内在联系为切入点，思考如何求解相应问题．
[解]　(1)∵3x＝4y＝36，∴x＝log336，y＝log436．
∴＝2log363＝log369，＝log364．
∴＝log369＋log364＝log3636＝1．
(2)证明：设3x＝4y＝6z＝m(m>0)，则x＝log3m，y＝log4m，z＝log6m．
所以＝logm3，＝logm4，＝logm6．
故＝logm3＋logm4＝＝logm3＋logm2＝logm(3×2)＝logm6＝．
　条件求值问题的求解方法
带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式互化进行解题．
[跟进训练]
3．已知3a＝5b＝c，且＝2，求c的值．
[解]　∵3a＝5b＝c，
∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＝logc15．
由logc15＝2得c2＝15，又c>0，∴c＝．
1．2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．4
C　[∵2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2．∴选C．]
2．(教材P125习题4.3 T4(3)改编)计算log92·log43＝(　　)
A．4 B．2 C． D．
D　[]
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)
A． B．
C．ab D．a＋b
B　[∵10a＝2，
∴lg 2＝a，
∴log26＝．]
4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N＋，则下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga；
(4)logax；
(5)＝loga．
其中正确的有________．(填序号)
(3)(5)　[根据对数的运算法则logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．对数的运算法则有哪些？
[提示]　(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
＝nlogaM．
其中(a>0且a≠1，M>0，N>0)
2．你能用对数的换底公式证明吗？
[提示]　能logNM．
3．常见的换底公式变形有哪些？
[提示]　(1)logab＝．
(2)logab·logba＝1(其中a>0且a≠1，b>0且b≠1)．
课时分层作业(三十一)　对数的运算法则
一、选择题
1．＝(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．
B　[原式＝log39＝log332＝2log33＝2．]
2．已知3a＝2，则log38－2log36＝(　　)
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
A　[∵3a＝2，∴a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2．]
3．若lg x－lg y＝a，则lg －lg 等于(　　)
A．3a B．a C．a D．
A　[∵lg x－lg y＝a，∴lg －lg ＝3lg ＝3lg x－3lg y＝3a．]
4．(多选题)若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　)
A．logax2＝2logax
B．logax2＝2loga|x|
C．loga(xy)＝logax＋logay
D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|
AC　[∵xy>0，∴A中，若x<0，则不成立；C中，若x<0，y<0也不成立，故选AC．]
5．已知x，y为正实数，则(　　)
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y
B．2lg (x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x－lg y＝2lg x＋2lg y
D．2lg (xy)＝2lg x·2lg y
[答案]　D
二、填空题
6．lg ＋lg ＝________．
1　[＋lg ＝lg ＝lg 10＝1．]
7．若logab·log3a＝4，则b＝________．
81　[∵logab·log3a＝4，∴＝4，即lg b＝4lg 3＝lg 34，∴b＝34＝81．]
8．已知a>1，，则a＝________．
64　[log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，
所以log2a＝6，故a＝26＝64．]
三、解答题
9．(源自人教B版教材)用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga；(2)loga(x3y5)；(3)loga．
[解]　(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz．
(2)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay．
(3)loga＝loga()
＝
＝2logax＋logay－logaz．
10．计算：
(1)；
(2)lg －lg ＋lg －log92·log43．
[解]　(1)原式＝＝1．
(2)法一：原式＝lg ＋lg
＝lg ＝lg 1－．
法二：原式＝(lg 1－lg 2)－(lg 5－lg 8)＋(lg 5－lg 4)－＝－lg 2＋lg 8－lg 4－＝－(lg 2＋lg 4)＋lg 8－＝－lg (2×4)＋lg 8－．
11．已知2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为(　　)
A．1 B．4 C．1或4 D．或4
B　[由对数的运算法则可得，lg (x－2y)2＝lg (xy)，
所以(x－2y)2＝xy，即x2－5xy＋4y2＝0，
所以(x－y)(x－4y)＝0，
所以＝1或＝4，
又x－2y>0，x>0，y>0，
所以>2，所以＝4．]
12．(多选题)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)
A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac
C． D．
AD　[由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>0)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，
对于选项A，由ab＋bc＝2ac，可得＝2，因为＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误；
对于选项C，＝2logk4＋logk6＝logk96，＝2logk9＝logk81，故≠，即C错误；
对于选项D，＝2logk6－logk4＝logk9，＝logk9，故，即D正确．]
13．设a，b，c为△ABC的三边的长，且关于x的方程x2－2x＋log2(c2－b2)－2log2a＋1＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状是________．
直角三角形　[由题意得Δ＝4－4log2(c2－b2)＋8log2a－4＝0，
∴2log2a＝log2(c2－b2)．
∴a2＝c2－b2，故有a2＋b2＝c2．
∴△ABC为直角三角形．]
14．已知函数f (x)＝a ln x＋b lg x＋2，且f ＝4，则f (2 024)＝__________．
0　[∵f ＝a ln ＋b lg ＋2
＝－a ln 2 024－b lg 2 024＋2＝4，
∴a ln 2 024＋b lg 2 024＝－2．
∴f (2 024)＝a ln 2 024＋b lg 2 024＋2
＝－2＋2＝0．]
15．甲、乙两人解关于x的方程log2x＋b＋clogx2＝0，甲写错了常数b，得到根；乙写错了常数c，得到根，64．求原方程的根．
[解]　原方程可变形为(log2x)2＋blog2x＋c＝0，
∵甲写错了常数b，得到的根为和，
∴c＝log2×log2＝6．
∵乙写错了常数c，得到的根为和64，
∴b＝－＝－(－1＋6)＝－5．
故原方程等价为(log2x)2－5log2x＋6＝0，
即(log2x－2)(log2x－3)＝0，
∴log2x＝2或log2x＝3，即x＝4或x＝8．
∴原方程的根为4，8．
11/114.3.2　对数的运算法则
学习任务 核心素养
1．理解对数的运算法则．(重点) 2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用运算法则进行一些简单的化简与证明．(易混点) 1．借助对数的运算法则化简、求值，培养数学运算素养． 2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养．
(1)计算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？
(2)计算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能发现什么规律？
知识点1　对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝__________；
(2)logaMn＝__________(n∈R)；
(3)loga＝__________．
当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)log2x2＝2log2x． (　　)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　)
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　)
2．计算log84＋log82等于(　　)
A．log86 B．8 C．6 D．1
3．计算log510－log52等于(　　)
A．log58 B．lg 5 C．1 D．2
知识点2　常用对数与自然对数
4．(1)lg 100＝______，(2)ln ＝______．
知识点3　对数的换底公式
若b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0，则有logbN＝_____．
几个常用推论：
＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
(3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．
5．(多选题)下列等式正确的有(　　)
A．log34＝ B．log34＝
C．log34＝ D．log34＝
类型1　对数的运算法则的应用
【例1】　【链接教材P118例5】
计算下列各式的值：
(1)lg lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22；
(3)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．利用对数运算法则求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
[跟进训练]
1．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　对数的换底公式
【例2】　(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)；
(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
[跟进训练]
2．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　对数的运算法则的综合应用
【例3】　(1)若3x＝4y＝36，求的值；
(2)已知3x＝4y＝6z，求证：．
以指数式与对数式间的内在联系为切入点，思考如何求解相应问题．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　条件求值问题的求解方法
带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式互化进行解题．
[跟进训练]
3．已知3a＝5b＝c，且＝2，求c的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．4
2．(教材P125习题4.3 T4(3)改编)计算log92·log43＝(　　)
A．4 B．2 C． D．
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)
A． B．
C．ab D．a＋b
4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N＋，则下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga；
(4)logax；
(5)＝loga．
其中正确的有________．(填序号)
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．对数的运算法则有哪些？
2．你能用对数的换底公式证明吗？
3．常见的换底公式变形有哪些？
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