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4.3.3　对数函数的图象与性质
第1课时　对数函数的概念
学习任务 核心素养
1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型．(重点) 2．会求简单的对数型函数的定义域．(重点) 1．通过具体实例形成对数函数的概念，提升数学抽象的核心素养． 2．通过实例体会对数函数的应用，提升应用意识和数学运算的核心素养．
我们已经知道，假设有机体生存时碳14的含量为1，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量y满足y＝，也就是说，y是x的函数．
在得到古生物的样品时，考古学家能够测量出其中的碳14含量y，你认为考古学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间x吗？给定一个y值，有多少个x值与之对应？这里的x能看成y的函数吗？为什么？
知识点　对数函数的概念
函数y＝logax(x>0，a>0且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量．
函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
[提示]　不是，其不符合对数函数的形式．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由y＝logax，得x＝ay，所以x>0． (　　)
(2)y＝log2x2是对数函数． (　　)
(3)若函数y＝logax为对数函数，则a>0且a≠1． (　　)
(4)函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
类型1　对数函数的概念及应用
【例1】　(1)下列给出的函数：
①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0且a≠1)；③y＝；④y＝log3x；
⑤y＝logx；⑥y＝x．
其中是对数函数的为(　　)
A．③④⑤　　　 B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________．
(3)已知对数函数的图象过点(16，4)，则f ＝________．
(1)D　(2)4　(3)－1　[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D．
(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，所以解得a＝4．
(3)设对数函数为f (x)＝logax(a>0且a≠1)，
由f (16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f (x)＝log2x，∴f ＝log2＝－1．]
　判断一个函数是对数函数的方法
[跟进训练]
1．若函数f (x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________．
2　[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2．
又a>0且a≠1，
所以a＝2．]
类型2　对数函数的定义域
【例2】　【链接教材P122例10】
求下列函数的定义域：
(1)f (x)＝＋ln (x＋1)；
(2)f (x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[解]　(1)函数式若有意义，需满足即
解得－1(2)由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为．
【教材原题·P122例10】
例10　求下列函数的定义域：
(1)y＝log0.5(3－x)；
(2)y＝log2x－3(x2＋3)．
[解]　(1)要使函数有意义，需3－x>0，即x<3．
所以函数y＝log0.5(3－x)的定义域是(－∞，3)．
(2)要使函数有意义，需2x－3>0且2x－3≠1，即x>且x≠2．
所以函数y＝log2x－3(x2＋3)的定义域是∪(2，＋∞)．
　求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0．
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．
[跟进训练]
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3x2；
(2)y＝loga(4－x)(a>0且a≠1)；
(3)y＝；
(4)y＝log7．
[解]　(1)∵x2>0，即x≠0．
∴函数y＝log3x2的定义域为{x|x≠0}．
(2)∵4－x>0，即x<4．
∴函数y＝loga(4－x)的定义域为{x|x<4}．
(3)∵x＞0，且lg x≠0．
∴x＞0且x≠1．
∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
(4)∵>0，∴1－3x>0，即x<．
∴函数y＝log7的定义域为．
类型3　对数函数模型的应用
【例3】　已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位．求y与x的关系式．
结合题设信息思考如何从增长率角度分析变量x与y之间存在的关系？
[解]　由题意可知
(1－20%)y＝x，0即y＝log0.8x，0y与x的关系式为y＝log0.8x，0　利用指数、对数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax．
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算法则、换底公式计算．
[跟进训练]
3．人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：
C(t)＝C0e－rt，
其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量．
为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．14C的半衰期大约是5 730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．
1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其14C的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min)．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．
[解]　因为14C的半衰期大约是5 730年，所以由衰减规律，得＝e-5 730r．
解得r＝．因此14C的衰减规律服从指数型函数C(t)＝=．
设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时(1950年)，该木炭已衰减了t0年．因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比，所以＝，
于是 ＝．
两边取以2为底的对数，得－＝log2．
解得t0＝5 730log2≈5 730×0.707 7≈4 055．
所以该木炭已衰减了约4 055年，即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年．
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝log2x　　 B．y＝ln (x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
[答案]　A
2．如果函数f (x)＝logax(a>0且a≠1)的图象经过点(4，2)，那么a的值为(　　)
A．
C．2 D．4
C　[由f (4)＝loga4＝2得a2＝4，
∴a＝±2，
又a>0且a≠1，∴a＝2，故选C．]
3．函数f (x)＝的定义域是(　　)
A．[4，＋∞)
B．(10，＋∞)
C．(4，10)∪(10，＋∞)
D．[4，10)∪(10，＋∞)
D　[由得
∴x≥4且x≠10，故选D．]
4．若函数f (x)＝(a－1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
2　[∵f (x)是对数函数，
∴a－1＝1，
∴a＝2，
经检验a＋1＝3>0，且a＋1≠1，故a＝2．]
5．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
128　[由题意得5＝2log4x－2，
即7＝log2x，得x＝128．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何判断一个函数是不是对数函数？
[提示]　判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1．
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x．
2．解决对数函数定义域问题应从哪些方面考虑？
[提示]　除了要特别注意真数和底数外，还要遵循前面学习过的求函数定义域的方法，比如函数解析式为分式、根式等情形．
课时分层作业(三十二)　对数函数的概念
一、选择题
1．(多选题)下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝　　 B．y＝
C．y＝log(x＋1)x D．y＝logπx
[答案]　BD
2．设函数f (x)＝则f (f (10))的值为(　　)
A．lg 101　　　B．1　　　C．2　　　D．0
C　[f (f (10))＝f (lg 10)＝f (1)＝12＋1＝2．]
3．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)
C　[要使函数有意义，则解得x＞2且x≠3，故选C．]
4．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f (xy)＝f (x)＋f (y)”的函数f (x)可以是(　　)
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝2x
C．f (x)＝log2x D．f (x)＝eln x
C　[∵对数运算法则中有logaM＋logaN＝loga(MN)，
∴f (x)＝log2x满足题目要求．]
5．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位：只)与引入时间x(单位：年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到(　　)
A．300只 B．400只
C．600只 D．720只
D　[由题意可知alog2(1＋1)＝180，∴a＝180，∴y＝180log2(x＋1)，∴当x＝15时，y＝180log2(15＋1)＝180log216＝180×4＝720．故选D．]
二、填空题
6．函数y＝的定义域是，则a＝________．
2　[由题意可知3x－a>0，即x>，
∴函数y＝的定义域是，
由题知函数y＝的定义域为，∴＝，∴a＝2．]
7．已知函数f (x)＝log3x，则f ＋f (15)＝________．
3　[f ＋f (15)＝log3＋log315＝log327＝3．]
8．已知对数函数f (x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，则f (27)＝________．
3　[∵f (x)是对数函数，∴
解得m＝2．
∴f (x)＝log3x，∴f (27)＝log327＝3．]
三、解答题
9．若函数y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
[解]　(1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2．
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，
所以函数的定义域为{x|x>－2}．
10．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝．其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
[解]　(1)M＝lg A－lg A0＝lg ＝lg
＝lg 104＝4，
即这次地震的震级为4．
(2)由题意得：
∴lg A8－lg A5＝3，
即lg ＝3，∴＝103＝1 000，
即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍．
11．与函数y＝10lg (x-1)是同一个函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝|x－1|
C．y＝x－1 D．y＝
A　[y＝10lg (x-1)＝x－1(x＞1)，而y＝＝x－1(x＞1)，故选A．]
12．设函数f (x)＝f lg x＋1，则f (10)的值是(　　)
A．1 B．－1
C．10 D．
A　[∵f (x)＝f lg x＋1，将式中x换成，
∴f ＝f (x)lg ＋1．
由以上两式，得f (x)＝，
∴f (10)＝＝1．]
13．设函数f (x)＝logax(a>0且a≠1)，若f (x1x2…x2 024)＝8，则的值等于________．
16　
＝
＝loga(x1x2x3…x2 024)2
＝2loga(x1x2x3…x2 024)＝2×8＝16．]
14．若函数f (x)＝loga(x－1)＋8(a>0且a≠1)的图象过点M(2，m)，则m＝________．当幂函数g(x)的图象过M点时，g(x)的解析式为g(x)＝________．
8　x3　[由题意可知m＝loga(2－1)＋8＝8，
∴M(2，8)．
设g(x)＝xα，则g(2)＝2α＝8，∴α＝3．∴g(x)＝x3．]
15．已知函数f (x)＝loga(3－ax)(a＞0且a≠1)．
当x∈[0，2]时，函数f (x)恒有意义，求实数a的取值范围．
[解]　设t(x)＝3－ax，
∵a＞0且a≠1，∴t(x)＝3－ax为减函数，
则当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a．
∵当x∈[0，2]时，f (x)恒有意义，
即当x∈[0，2]时，3－ax＞0恒成立．
∴3－2a＞0，∴a＜．又a＞0且a≠1，
∴0＜a＜1或1＜a＜，
∴实数a的取值范围为(0，1)．
10/104.3.3　对数函数的图象与性质
第1课时　对数函数的概念
学习任务 核心素养
1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型．(重点) 2．会求简单的对数型函数的定义域．(重点) 1．通过具体实例形成对数函数的概念，提升数学抽象的核心素养． 2．通过实例体会对数函数的应用，提升应用意识和数学运算的核心素养．
我们已经知道，假设有机体生存时碳14的含量为1，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量y满足y＝，也就是说，y是x的函数．
在得到古生物的样品时，考古学家能够测量出其中的碳14含量y，你认为考古学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间x吗？给定一个y值，有多少个x值与之对应？这里的x能看成y的函数吗？为什么？
知识点　对数函数的概念
函数y＝__________(x>0，a>0且a≠1)叫作对数函数，其中__________是自变量．
函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由y＝logax，得x＝ay，所以x>0． (　　)
(2)y＝log2x2是对数函数． (　　)
(3)若函数y＝logax为对数函数，则a>0且a≠1． (　　)
(4)函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)． (　　)
类型1　对数函数的概念及应用
【例1】　(1)下列给出的函数：
①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0且a≠1)；③y＝；④y＝log3x；
⑤y＝logx；⑥y＝x．
其中是对数函数的为(　　)
A．③④⑤　　　 B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________．
(3)已知对数函数的图象过点(16，4)，则f ＝________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断一个函数是对数函数的方法
[跟进训练]
1．若函数f (x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________．
类型2　对数函数的定义域
【例2】　【链接教材P122例10】
求下列函数的定义域：
(1)f (x)＝＋ln (x＋1)；
(2)f (x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0．
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．
[跟进训练]
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3x2；
(2)y＝loga(4－x)(a>0且a≠1)；
(3)y＝；
(4)y＝log7．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　对数函数模型的应用
【例3】　已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位．求y与x的关系式．
结合题设信息思考如何从增长率角度分析变量x与y之间存在的关系？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用指数、对数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax．
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算法则、换底公式计算．
[跟进训练]
3．人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：
C(t)＝C0e－rt，
其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量．
为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．14C的半衰期大约是5 730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．
1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其14C的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min)．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝log2x　　 B．y＝ln (x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
2．如果函数f (x)＝logax(a>0且a≠1)的图象经过点(4，2)，那么a的值为(　　)
A．
C．2 D．4
3．函数f (x)＝的定义域是(　　)
A．[4，＋∞)
B．(10，＋∞)
C．(4，10)∪(10，＋∞)
D．[4，10)∪(10，＋∞)
4．若函数f (x)＝(a－1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
5．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何判断一个函数是不是对数函数？
2．解决对数函数定义域问题应从哪些方面考虑？
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