资源简介

第2课时　对数函数的图象与性质
学习任务 核心素养
1．会用描点法画出对数函数的简图． 2．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题．(重点) 1．通过对数函数图象的绘制，提升数学抽象素养． 2．借助对数函数的图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养．
分别求出对数函数y＝log2x在自变量取，1，2，4，8时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测对数函数y＝log2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．
x 1 2 4 8
y＝log2x
知识点1　反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
1．(1)函数y＝log2x的反函数是________；
(2)函数y＝的反函数是________．
知识点2　对数函数的图象与性质
a的范围 01
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 (－∞，＋∞)
性质 定点 __________，即x＝__________时，y＝__________
单调性 在(0，＋∞)上是__________ 在(0，＋∞)上是__________
对数函数图象的“上升”或“下降”与谁有关？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　　　 B．
C．
3．函数f (x)＝loga(x＋1)的图象必经过定点________．
类型1　对数函数的图象问题
【例1】　(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b＝________，c＝________．
(3)已知f (x)＝loga|x|(a>0且a≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
把本例(3)改为f (x)＝＋2，试作出其图象．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f (x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f (x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f (|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f (x)|的图象与y＝f (x)的图象在f (x)≥0的部分相同，在f (x)<0的部分关于x轴对称．
[跟进训练]
1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　 　D
类型2　比较对数值的大小
【例2】　【链接教材P122例11】
比较下列各组中两个数的大小：
(1)log5与log5；
(2)2与2；
(3)log23与log54．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
提醒：比较对数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．
[跟进训练]
2．比较下列各组中两个数的大小：
0.6；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　解对数不等式
【例3】　已知函数f (x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f (x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f (x)≤g(x)中x的取值范围．
结合对数函数的单调性，思考解对数不等式要注意哪些问题？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　常见的对数不等式的3种类型
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．
[跟进训练]
3．(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函数y＝loga(x－1)(0A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
2．(教材P124练习T2(4)改编)函数y＝的定义域是(　　)
A．　　 B．[2，＋∞)
C．
3．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
4．若函数y＝f (x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________．
5．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是________．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝，y＝，y＝，y＝的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
2．函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？
3．如何解对数不等式logaf (x)>logag(x)(a>0且a≠1)
4．比较对数值大小的常用方法有哪些？
6/6第2课时　对数函数的图象与性质
学习任务 核心素养
1．会用描点法画出对数函数的简图． 2．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题．(重点) 1．通过对数函数图象的绘制，提升数学抽象素养． 2．借助对数函数的图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养．
分别求出对数函数y＝log2x在自变量取，1，2，4，8时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测对数函数y＝log2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．
x 1 2 4 8
y＝log2x
知识点1　反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
1．(1)函数y＝log2x的反函数是________；
(2)函数y＝的反函数是________．
[答案]　(1)y＝2x　(2)y＝
知识点2　对数函数的图象与性质
a的范围 01
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 (－∞，＋∞)
性质 定点 (1，0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
对数函数图象的“上升”或“下降”与谁有关？
[提示]　底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当02．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　　　 B．
C．
A　[由题图可知，a>1，故选A．]
3．函数f (x)＝loga(x＋1)的图象必经过定点________．
(0，0)　[由x＋1＝1得x＝0，∴f (x)的图象必过定点(0，0)．]
类型1　对数函数的图象问题
【例1】　(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b＝________，c＝________．
(3)已知f (x)＝loga|x|(a>0且a≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象．
(1)B　(2)－2　2　[(1)结合图象可知0(2)由于函数图象恒过定点(3，2)，故
∴∴]
(3)[解]　因为f (－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f (x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
[母题探究]
把本例(3)改为f (x)＝＋2，试作出其图象．
[解]　第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
(1)　　　　　　　(2)　
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
(3)　　　　　　　　(4)
　函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f (x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f (x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f (|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f (x)|的图象与y＝f (x)的图象在f (x)≥0的部分相同，在f (x)<0的部分关于x轴对称．
[跟进训练]
1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　 　D
C　[∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C．]
类型2　比较对数值的大小
【例2】　【链接教材P122例11】
比较下列各组中两个数的大小：
(1)log5与log5；
(2)2与2；
(3)log23与log54．
[解]　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，
所以log5法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，
所以log5(2)法一(单调性法)：由于2＝，2＝，
又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以<，所以2<2．
法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝x及y＝x的图象，
由图易知：2<2．
(3)取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54．
【教材原题·P122例11】
例11　比较下列各组中两个数的大小：
(1)log27.6和log28.7；
(2)和；
(3)loga7.6和loga8.7(a>0且a≠1)；
(4)log0.82和20.8．
[解]　(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且7.6<8.7，所以log27.6(2)因为函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，且7.6<8.7，所以>．
(3)当a>1时，因为函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，且7.6<8.7，所以loga7.6当0loga8.7．
(4)因为函数y＝log0.8x在(0，＋∞)上是减函数，所以log0.82又因为20.8>0，所以log0.82<20.8．
　比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
提醒：比较对数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．
[跟进训练]
2．比较下列各组中两个数的大小：
0.6；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8．
[解]　(1)因为函数y＝lox是减函数，且0.5<0.6，
所以lo0.6．
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，
所以log1.51.6>log1.51.4．
(3)因为0>log70.6>log70.5，
所以<，即log0.67(4)因为log3π>log31＝0，log20.8所以log3π>log20.8．
类型3　解对数不等式
【例3】　已知函数f (x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f (x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f (x)≤g(x)中x的取值范围．
结合对数函数的单调性，思考解对数不等式要注意哪些问题？
[解]　(1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f (x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于解得≤x<3．
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为．
　常见的对数不等式的3种类型
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．
[跟进训练]
3．(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)[解]　(1)由loga>1得loga>logaa．
①当a>1时，
有a<，此时无解．
②当0有从而所以a的取值范围是．
(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由log0.7(2x)1．
即x的取值范围是(1，＋∞)．
1．函数y＝loga(x－1)(0A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
A　[函数y＝loga(x－1)(02．(教材P124练习T2(4)改编)函数y＝的定义域是(　　)
A．　　 B．[2，＋∞)
C．
D　[依题意0<2x－3≤1，解得3．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
D　[a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log524．若函数y＝f (x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________．
　[由题意可知f (x)＝logax(a>0且a≠1)，由f (＝，∴a＝．]
5．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是________．
(2，7]　[由题意可得lg (2x－4)≤lg 10，∴0<2x－4≤10，即2回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝，y＝，y＝，y＝的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
[提示]　作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0．
2．函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？
[提示]　两函数的图象关于直线y＝x对称．
3．如何解对数不等式logaf (x)>logag(x)(a>0且a≠1)
[提示]　分01两类分别求解．
当0logag(x) 0当a>1时，logaf (x)>logag(x) f (x)>g(x)>0．
4．比较对数值大小的常用方法有哪些？
[提示]　(1)单调性法；(2)图象法；(3)中间量法．
课时分层作业(三十三)　对数函数的图象与性质
一、选择题
1．若函数y＝f (x)是函数y＝3x的反函数，则f 的值为(　　)
A．－log23　　 B．－log32
C．
B　[由题意可知f (x)＝log3x，
所以f ＝log3＝－log32，故选B．]
2．已知函数f (x)＝loga(x－1)＋4(a>0且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是(　　)
A．(0，5) B．(1，4)
C．(2，4) D．(2，5)
C　[令x－1＝1，即x＝2，则f (x)＝4．即函数图象恒过定点Q(2，4)．故选C．]
3．函数f (x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A　[∵f (x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，
∴其图象如图所示，
故选A．
]
4．函数f (x)＝|x|的单调递增区间是(　　)
A． B．(0，1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
D　[f (x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
]
5．已知loga>logb>0，则下列关系正确的是(　　)
A．0C．1A　[由loga>0，logb>0，可知a，b∈(0，1)，
又loga>logb，作出图象如图所示，
结合图象易知a>b，∴0]
二、填空题
6．如果函数f (x)＝(3－a)x与g(x)＝logax(a>0且a≠1)的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
(1，2)　[由题意可知或
解得1∴实数a的取值范围是(1，2)．]
7．若loga<1，则a的取值范围是________．
∪(1，＋∞)　[原不等式等价于或
解得01，
故a的取值范围为∪(1，＋∞)．]
8．设a>1，函数f (x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________．
4　[由题意可知f (x)＝logax在[a，2a]上单调递增，
∴f (x)max－f (x)min＝loga(2a)－logaa＝，
∴loga2＝，
∴＝2，
∴a＝4．]
三、解答题
9．(源自苏教版教材)画出函数y＝log2|x|的图象，并根据图象写出函数的单调区间．
[解]　由于函数y＝f (x)＝log2|x|满足对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有
f (－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f (x)，
所以函数y＝log2|x|是偶函数，它的图象关于y轴对称．
当x>0时，log2|x|＝log2x．因此，我们先画出函数y＝log2x(x>0)的图象C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2．C1和C2构成函数y＝log2|x|的图象，如图．
由图象可以知道，函数y＝log2|x|的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)．
10．已知a＞0且满足不等式22a+1＞25a-2．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上有最小值为－2，求实数a的值．
[解]　(1)∵22a+1＞25a-2，
∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，
∴a＜1，即0＜a＜1．
∴实数a的取值范围是(0，1)．
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)∴即解得即不等式的解集为．
(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a-2＝＝5，解得a＝．
11．已知lg a＋lg b＝0，则函数f (x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)
A　　 　B　　　　C　　 　D
B　[由lg a＋lg b＝0，得lg (ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1．
又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称，利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．]
12．(多选题)已知函数f (x)＝logax(a>0，a≠1)图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　)
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若x>1，则f (x)>0
D．若0ACD　[由题知2＝loga4，a＝2，故f (x)＝log2x．
所以函数为增函数，故A正确；
f (x)＝log2x不为偶函数，故B错误；
当x>1时，f (x)＝log2x>log21＝0成立，故C正确；
因为f (x)＝log2x往上凸，故若0则13．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系为________．
a>c>b　[∵a＝＝2log43.6＝log43.62，又函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上是增函数，3.62>3.6>3.2，
∴log43.62>log43.6>log43.2．∴a>c>b．]
14．已知函数f (x)＝则f (f (－1))＝________；若直线y＝a与函数f (x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
－1　(0，1]　[∵f (－1)＝3-1＝，∴f (f (－1))＝f ＝log3＝－1．
函数f (x)的图象如图所示，要使直线y＝a与f (x)的图象有两个不同的交点，则0]
15．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　由x2－logmx<0，得x2要使x2∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm ≥＝logm，∴≤，即≤m．
又0∴≤m<1．
即实数m的取值范围是．
13/13

展开更多......

收起↑